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1.3直线的极坐标方程


1、负极径的定义
说明:一般情况下,极径都是正值; 在某些必要情况下,极径也可以取 负值。(?)
对于点M(?,?)负极径时的规定: P X

[1]作射线OP,使?XOP= ?
O

?

[2]在OP的反向延长

M

线上取一点M,使?OM?=

? ? ?

2、负极径的实例 在极坐标系中画出点 M(-3,?/4)的位置
[1]作射线OP,使?XOP= ?/4 [2]在OP的反向延长 线上取一点M,使 ?OM?= 3 O P ?= ?/4 X

M

? 练习:写出点 的负极径的极坐标 ( 6, ) 6 ? 11? 答:(-6, +π) 或(-6,- +π) 6 6

负极径小结:极径变为负,极角增加 ? 。

特别强调:一般情况下(若不作特别 说明时),认为? ≥ 0 。因为负极径只 在极少数情况用。

§1.3.2直线的极坐标方程

新课引入:
思考:在平面直角坐标系中 1、过点(3,0)且与x轴垂直的直线方程 为 x=3 ;过点(3,3)且与x轴垂直的直 线方程为 x=3 2、过点(a,b)且垂直于x轴的直线 x=a 方程为_______ 特点:所有点的横坐标都是一样, 纵坐标可以取任意值。

怎样求曲线的极坐标方程?

答:与直角坐标系里的情况一样,求 曲线的极坐标方程就是找出曲线上动 点P的坐标?与?之间的关系,然后列 出方程?(?,?)=0 ,再化简并讨论。

新课讲授 ? 例题1:求过极点,倾角为 4 的射线 的极坐标方程。 M 分析: 如图,所求的射线 ? 上任一点的极角都 ﹚ 4 o x 是 ? / 4,其 极径可以取任意的非负数。故所求 直线的极坐标方程为 ? ? ? ( ? ? 0)
4

思考: 5? 1、求过极点,倾角为 的射线的极 4 坐标方程。
5 易得 ? ? ? ( ? ? 0) 4 ? 2、求过极点,倾角为 的直线的极 4

坐标方程。 ? 5 ? ? 或? ? ?
4 4

和前面的直角坐标系里直线方程 的表示形式比较起来,极坐标系里的 直线表示起来很不方便,要用两条射 线组合而成。原因在哪?

??0

为了弥补这个不足,可以考虑允许 极径可以取全体实数。则上面的直 线的极坐标方程可以表示为
?? ?
4 ( ? ? R)



5 ? ? ? ( ? ? R) 4

例题2、求过点A(a,0)(a>0),且垂直 于极轴的直线L的极坐标方程。 解:如图,设点 M ( ? , ? ) M ? 为直线L上除点A外的任 意一点,连接OM ﹚? o A x 在 Rt ?MOA 中有

OM cos ?MOA ? OA 即 ? cos ? ? a 可以验证,点A的坐标也满足上式。

求直线的极坐标方程步骤 1、根据题意画出草图; 2、设点 M ( ? , ? ) 是直线上任意一点; 3、连接MO; 4、根据几何条件建立关于 ? ,? 的方 程,并化简; 5、检验并确认所得的方程即为所求。

练习:设点P的极坐标为A( a , 0) ,直 l 线 过点P且与极轴所成的角为? ,求直l 线 的极坐标方程。 M ? 解:如图,设点 M ( ? , ? ) ? ? ﹚ 为直线 l 上异于的点 o A x 连接OM, 在?MOA 中有
? a ? sin(? ? ? ) sin(? ? ? ) 即

? sin(? ? ? ) ? a sin ?

显然A点也满 足上方程。

例题3设点P的极坐标为( ?1 ,?1 ) ,直线 l 过点P且与极轴所成的角为 ? ,求直线l 的极坐标方程。
? ?1 P

M

o

? ﹚ ? ﹚
1

x

解:如图,设点 M ( ? , ? ) 为直线上除 点P外的任意一点,连接OM 则 OM ? ? , ?xOM ? ? 由点P的极坐标知 OP ? ?1 ?xOP ? ?1
设直线L与极轴交于点A。则在?MOP

?OMP ? ? ? ? , ?OPM ? ? ? (? ? ?1 )
由正弦定理 得
?1 ? ? sin[? ? (? ? ?1 )] sin(? ? ? )

显然点 P 的坐标 ? sin(? ? ? ) ? ?1 sin(? ? ?1 ) 也是它的解。

小结:直线的几种极坐标方程 1、过极点 2、过某个定点,且垂直于极轴

3、过某个定点,且与极轴成一定
的角度


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