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第一轮总复习课件(理数):第73讲 直线与圆、圆与圆的位置关系新课标高中数学


新课标高中一轮总复习

理数

第73讲
直线与圆、圆与圆的位置 关系

能充分利用几何性质判定直 线与圆、圆与圆的位置关系,能熟 练地分析求解与圆的切线和弦有关 的综合问题,提升运算和推理能力
.

1. 对 于 x∈R , 直 线 (3k+2)x-ky-2=0 与 圆 x

2+y2-2x-2y-2=0的位置关系是( D ) A.相交
B.相切

C.相离
D.可以相交,也可能相切,但不可能相离

由圆的方程可知,圆心为(1,1),半径为
r=2.
d? ? 圆心到直线的距离 2 2 (3k ? 2) ? k 3k ? 2 ? k ? 2 2k (3k ? 2) 2 ? k 2

2 ?≤2, 3

所以直线与圆相交或相切(当k=

时,相切).

故选D.

2. 两圆 C1:x2+y2-6x+4y+12=0 与圆 C2:x2+y2-14x2y+14=0的位置关系是( D ) A.相交 B.内含

C.外切

D.内切

由已知,圆C1:(x-3)2+(y+2)2=1,圆C2:(x7)2+(y-1)2=36,则|C1C2|=5=6-1,故选D.

3.过圆(x-1)2+(y+2)2=9和圆x2+y2=4两交点 的直线方程是 x-2y=0 .

两方程相减得-2x+1+4y+4=5, 即-2x+4y=0,故所求方程为x-2y=0.

4.直线x+2y=0被圆C:x2+y2-6x-2y-15=0所 截得的弦长等于 4 5 .

由已知,圆心C(3,1),半径r=5.又 3? 2 d ? ? 5 , 圆心C到直线l的距离 5 则弦长=
2? r2 ? d 2 ? 4 5

.

5. 过 定 点 A(1,2) 可 作 两 直 线 与 圆 C:x2+y2+kx+2y+k2-15=0 相切,则 k的取值范 8 3 8 3 ( ? , ? 3) ? (2, ) . 围是 3 3

由已知可知定点A在圆C外,



k 2 ? 4 ? 4( k 2 ?15) ? 0 1? 22 ? k ? 4 ? k 2 ?15? 0

,
8 3 3

解得

?

8 3 3

<k<-3或2<k<

.

1.直线与圆的位置关系

设直线的方程为Ax+By+C=0(A2+B2≠0),圆 Aa ? Bb ? C 的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2. A ?B (1)圆心到直线的距离d=① , ? b=r 相切?②___________ ? b>r 圆与直线 相离?③___________(几何法). ? b<r 相交?④___________
2 2

(2)判别式法:由方程组

Ax ? By ?C ?0

( x ? a )2 ? ( y ?b )2 ? r 2

得关于x(或y)的一元二次方程,则判别式 相交 ? >0 ⑤____________ 相切 ? Δ =0? ⑥ (代数法). 相离 ? <0? ⑦_____________ (3)直线与圆相离时,圆上各点到直线的距 离中的最大值和最小值的求法可用线心距法. (4)直线与圆相交时,弦长的求法可利用弦 心距、半径及半弦长组成的直角三角形,运用

2.圆的切线及圆的弦

(1) 过圆 x2+y2=r2 上一点 P(x0,y0) 的切线方 2 x x+y y=r 0 0 程为⑧ ____________ ;过圆 x2+y2=r2 外一点 P(x0,y0)作圆的两条切线,则切点弦所在直线 x0x+y0y=r2 的方程为⑨____________ . 2 2 2 r ? d (2) 圆的弦长 l=⑩________(d 为弦心距 ) ; 2 2 s ? r 圆的切线长l= (s为点到圆心的距离 ).

(3)公共弦所在直线的方程:

圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0, 圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0.若相交,

公 共 弦 所 在 直 线 的 方 程 为 (D1-D2)x+(E1E2)y+F1-F2=0.

3.两个圆的位置关系

设两圆的半径分别为R、r(R≥r),圆心距 |C1C2|=d,则两圆的位置关系如下: 11 d=R+r 12 d=R-r (1)外切: ______ ; (2)内切: ______ ; 13 14 < > (3)内含: d______R-r;(4)外离: d______R+r; 15 < 16 < (5)相交:R-r ____ d ____ R+r.

4.圆系方程
2+(y-b)2=r2 (x-a) (1)同心圆圆系方程 _____________(其 中 a 、 b 为常数, r 为变量 ,r≠0), 表示以 (a,b) 为 圆心,半径为r的圆系.
17

(2) 过 定 直 线 l:Ax+By+C=0 和 定 圆 C:x2+y2+Dx+Ey+F=0 的 交 点 的 圆 系 方 程 为 x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(参数λ∈R).

(3) 过两定圆 C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0 和 C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点的圆系方程为

x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0
(其中参数λ∈R,不含圆C2的方程.当λ=-1时,方

程表示两圆公共弦所在直线的方程).

5.点与圆的位置关系

设点P到圆心的距离为d,圆的半径为r,则有: 圆外 18 (1)d>r,点P在 ____________; 圆上 19 (2)d=r,点P在 ______________; 圆内 20 (3)d<r,点P在 ______________. 2+y2+Dx+Ey+F=0,则有 设点 P(x ,y ), 圆的方程为 x 2 圆外 21 x 2 ? y0 ?0Dx ? Ey ? F
: x 2 ? y 2 ? Dx
0 0
0 0

0

0

0 0

0

(1)x 2 ? y 2 ? Dx (2)

? Ey0 ? F

22

0 ? Ey0 ? F

>0,点P在23 =0,点P在

圆上 圆内

; ;

典例精讲
题型一直线与圆的位置关系的判定与应用

例1 直线与圆的位置关系的判定与应用
已知圆 C:x2+y2=8 及定点 P(4,0) ,试问过定 ? 点P的直线的倾斜角α(α≠ )在什么范 2 围内取值时,该直线与已知圆C (1)相切;(2)相交;(3)相离.

由直线倾斜角α≠ .2 设直线的方程为y=tanα(x-4),
y=tanα(x-4) 由 消去y得 2 2 x +y =8 , (1+tan2α)x2-8xtan2α+16tan2α-8=0,

?

则Δ=32(1-tan2α).

(1)由Δ=0,即1-tan2α=0,得tanα=±1,

而α∈[0, 2)∪(
?

?

?

故α=

4或

3? 4

2 ,π),

时,直线与圆相切.
2

(2)由Δ>0,即? 1-tan2α>0, ? 得-1<tanα<1.

又α∈[0,
交.

2

?)∪( 3?
4
4

,π),

所以0≤α< 或

<α<π时,直线与圆相

(3)由Δ<0,即1-tan2α<0,得tanα<-1或tanα>1.

又α∈[0, ? )∪( ?,π), 2 所以π4<α< 2 或 <α< ? ? 2 2 离.

时,直线与圆相 3?
4

点评 直线与圆的位置关系探究,既可利用 几何性质,又可运用方程思想,问题求解 应视题设情境恰当选用.

2+(y-2)2=2,P 点的坐标 已知圆 C : (x-1) 变式 为(2,-1),过点P作圆C的切线,切点为A、B. (1)求直线PA、PB的方程; (2)求过P点的圆的切线长; (3)求直线AB的方程.

(1) 如图 , 设过 P 点的圆的切线方程为 y+1=k(x-2),即kx-y-2k-1=0.

因为圆心(1,2)到切线的距离为
?k ? 3

2,

即 1? k 2 ? 2 , 所以k2-6k-7=0, 解得k=7或k=-1, 所以所求的切线方程为7x-y-15=0或x+y-1=0.

(2)连接PC,CA.

在Rt△PCA中,|PA|2=|PC|2-|CA|2=8, 所以过P点的圆C的切线长为 2 2 . 7x-y-15=0 12 9 ,解得A( , ). (3)由 5
(x-1)2+(y-2)2=2
5

又由

x+y-1=0 ,解得B(0,1), (x-1)2+(y-2)2=2

所以直线AB的方程为x-3y+3=0.

题型二 圆与圆的位置关系的判定及应用
2+y2-2mx+4y+m2-5=0 , 已 知 圆 C : x 例2 1 圆C2:x2+y2+2x-2my+m2-3=0,当m为何值时, (1)圆C1与圆C2相外切; (2)圆C1与圆C2内含.

圆 C1:(x-m)2+(y+2)2=9, 圆 C2:(x+1)2+(ym)2=4,则C1(m,-2),C2(-1,m). (1)若圆C1与圆C2相外切, 2 2 ( m ? 1) ? ( m ? 2) 则有 =3+2, 即
(m+1)2+(m+2)2=25, 所以m2+3m-10=0,解得m=-5或m=2. 2 2 ( m ? 1) ? ( m ? 2) (2) 若圆 C 与圆 C 内含 , 则有 < 3-2, 1 2 从而,当m=-5或m=2时,圆C1与圆C2相外切. 即m2+3m+2<0, 解得-2<m<-1. 从而,当-2<m<-1时,圆C1与圆C2内含.

点评已知两圆方程判断两圆位置关 系,或已知两圆位置关系求方程时, 只要利用圆心距与两圆的半径之间的 几何关系,即可找到解决问题的途径 .

变式 已知圆 M:x2+y2-2mx-2ny+m2-1=0与圆 N: x2+y2+2x+2y-2=0 交于 A 、 B 两点,且 A 、 B 两 点平分圆N的圆周.
(1)求圆M的圆心的轨迹方程;
(2)求半径最小时,圆M的方程.

(1)由已知,圆心M(m,n),N(-1,-1).



x2+y2-2mx-2ny+m2-1=0 , x2+y2+2x+2y-2=0

两式相减得公共弦AB的直线方程为
2(m+1)x+2(n+1)y-m2-1=0.

因为AB平分圆N的圆周,则点N(-1,-1)在直 线AB上, 所以2(m+1)· (-1)+2(n+1)· (-1)-m2-1=0,

即m2+2m+2n+5=0. ① 因此,圆心M的轨迹方程为x2+2x+2y+5=0, 即(x+1)2=-2(y+2). (2)由题设,当圆M的半径最小时,点M到AB 的距离最小,即|MN|最小. 2 2 ( m ? 1) ? ( n ? 1) 又|MN|=
=
?2( n ? 2) ? ( n ? 1) 2 ? n2 ? 3

,

又由①可知n≤-2,因此|MN|min=1, 此时n=-2,m=-1, 故圆M的方程为(x+1)2+(y+2)2=5.

题型三 与位置关系有关的最值问题
:
2+y2-4x+1=0.求 已知实数 x 、 y 满足方程 x 例3

(1) yx的最大值和最小值; (2) y-x的最大值和最小值; 2+y2=3,表示以(2,0)为 2 2 原方程化为 (x-2) (3) x +y 的最大值和最小值. 3. 圆心,为半径的圆 y (1) x 的几何意义是圆上一点与原点连线的 y 斜率,所以设 x =k,即y=kx,

当直线y=kx与圆相切时,斜率取最大值和 2k ? 0 ? 3 最小值,此时 k ? 1 ,解得k= 3±,所 3 3 以yx的最大值是 ,最小值是- . (2)( 方法一 )y-x 可看作是直线 y=x+b 在 y 轴上的 截距 , 当直线 y=x+b 与圆相切时 , 纵截距取得最 2?0?b ? 3 大值和最小值,此时 ,解得b=-2± 6 , 2 所以y-x的最大值是-2+ 6 ,最小值是-2- 6 . (方法二)由已知得圆的参数方程为
2

x ? 2 ? 3 cos ? y ? 3 cos ?

(θ为参数),

则y-x= 3 sinθ- 3 cosθ-2= sin(θ 6 - )-2, 4 故(y-x)min=- 6 -2,(y-x)max= 6 -2. (3)(方法一)x2+y2表示圆上的一点与原点的距离的 平方,由平面几何知识知,在原点与圆心的连 线与圆的两个交点处取得最大值和最小值,又 (2 ? 0) 2 ? (0 ? 0) 2 ? 2 圆心到原点的距离为 ,所以 3 2 3 2 2 x +y 的最大值是(2+ ) =7+4 ,x2+y2的最小 3 2 3 值是(2- ) =7-4 .

?

( 方法二 ) 由(2)的参数方程及圆的方程可得 x2+y2=4x-1=8+4 3 cosθ-1=4 3 cosθ+7,故 cosθ=-1时,x2+y2取最小值为7-4 3;cosθ=1时, 3 2 2 x +y 取最大值为7+4 .

涉及与圆有关的最值问题时,既可考虑 点评

应用几何性质探究,也可考虑应用圆的参数 方程转化为三角函数最值求解.

备选题

已知点P(0,5)及圆C:x2+y2+4x-12y+24=0. (1) 若直线 l 过点 P 且被圆 C 截得的线段长为 4 ,求3 l的方程; (2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程.

(1)如图所示,AB=4 3 ,D是线段AB的 中点,CD⊥AB,AD=2 3,AC=4,在Rt△ACD中, 可得CD=2. 当l的斜率存在时,设所求直线l的斜 率为k,

则直线l的方程为y-5=kx,即kx-y+5=0. 由点C到直线AB的距离公式:
?2k ? 6 ? 5 k ?1
2

?2

,

得k= ,此时直线l的方程为3x-4y+20=0. 又直线l的斜率不存在时,也满足题意,此 时方程为x=0. 所以所求直线l的方程为x=0或3x-4y+20=0. (2)设过P点的圆C的弦的中点为D(x,y), ??? ? ??? ? 则CD⊥PD,所以 CD ? PD =0, 所以(x+2,y-6)· (x,y-5)=0, 化简得所求轨迹方程为x2+y2+2x-11y+30=0.

3 4

方法提炼
1.探究点与圆、直线与圆、圆与圆的

位置关系,充分利用几何特征往往是问 题解决的切入点和突破口,因此分析探 索几何特征十分关键. 2.方程思想是解析几何问题分析求解 的重要思想,在分析解决有关圆的位置 关系问题时,应注意与数形结合思想综 合运用.

走进高考
江 西 卷 ) 设 直 线 系 M:xcosθ+(y学例1 (2009·
2)sinθ=1(0≤θ≤2π),对于下列四个命题: A. M中所有直线均经过一个定点 B. 存在定点P不在M中的任一条直线上 C. 对于任意整数 n(n≥3),存在正 n边形,其所 有边均在M中的直线上 D. M中的直线所能围成的正三角形面积都相等 B、C 其中真命题的代号是 (写出所有真命题

因为xcosθ+(y-2)sinθ=1, 所 以 点 P(0,2) 到 M 中 每 条 直 线 的 距 离 1 d= cos ? ? sin ? ? 1 , 即M为圆C:x2+(y-2)2=1的全体切线组成的集合, 从而M中存在两条平行直线,所以A错误; 又因为点(0,2)不在任何直线上,所以B正确; 对任意n≥3,存在正n边形使其内切圆为圆C,故C 正确;M中的边能组成两个大小不同的正三 角形,故D错误; 所以正确命题的序号是B、C.
2 2

江苏卷)在平面直角坐标系xOy 学例 (2009· 2+(y-1)2=4和圆C :(x中,已知圆 C :(x+3) 1 2 2
4)2+(y-5)2=4.

(1) 若直线 l 过点 A(4,0) ,且被圆 C1 截得的弦长 为2 3 ,求直线l的方程; (2)设P为平面上的点,满足:存在过点P的无 穷多对互相垂直的直线 l1和 l2,它们分别与 圆C1和圆C2相交,且直线l1被圆C1截得的弦 长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,试求所 有满足条件的点P的坐标.

(1)由于直线x=4与圆C1不相交,所以直 线l的斜率存在.

设直线l的方程为y=k(x-4),即kx-y-4k=0. 由垂径定理,得圆心 C1到直线l的距离 2 3
d=
22 ? ( 2 )2 ? 1

结合点到直线的距离公式,得

.

?3k ? 1 ? 4k k ?1
2

?1

,

化简得24k2+7k=0,解得k=0或k=所以直线l的方程为y=0或y=即y=0或7x+24y-28=0.
7 24

7 24

.

(x-4),

(2) 设点 P 的坐标为 (m,n) ,直线 l1 、 l2 的方程 1 分别为y-n=k(x-m)、y-n=- k (x-m),

即kx-y+n-km=0、m=0. 因为直线l1被圆C1截得的弦长与直线 l2被圆 C2截得的弦长相等,且两圆的半径相等, 故由垂径定理,得圆心C1到直线l1的距离与 圆心C2到直线l2的距离相等,

1 k

1 x-y+n+ k

故有

?3k ? 1 ? n ? km k ?1
2

? ?

4 1 ?5? n? m k k 1 ?1 2 k



化简得(2-m-n)k=m-n-3或(m-n+8)k=m+n-5. 上述关于k的方程有无穷多个解, m-n+8=0 2-m-n=0 则有 m-n-3=0 或 m+n-5=0, 5 3 m ? m ? 2 或 2 解得 1 13
m ? ? 2 m ? 2 5 2

13 所以点P的坐标为(? 3 , )或( 2 2

? ,

1 2

).

本节完,谢谢聆听
立足教育,开创未来


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