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2[1].2.圆锥曲线的参数方程


1.椭圆的参数方程

一、知识回顾
问 题 :圆 ( x ? a ) ? ( y ? b) ? r 的 参 数 方 程 是 什 么 ?
2 2 2

是怎样推导出来的?
? x?a? ? y?b? ? ? ?? ? ? r ? ? r ?
2 2

?1

?x ? a ? cos ? ? ? r 令 :? ? y ? b ? sin ? ? r ?

? x ? a ? r cos ? 得 :? ? y ? b ? r sin ?

(? 为参数 )

问题:你能仿此推导出椭圆
x a
2 2

x a

2 2

?

y b

2 2

?1

的参数方程吗?
2

?

y b

2 2

?1

?

? x? ? y? ? ? ?? ? ?1 ?a? ?b?

2

? ? 令? ? ?

x a y b

? cos ? ? sin ?

? x ? a cos ? (? 为参数 ) ?? ? y ? b sin ?

这就是椭圆的参数方程

如下图,以原点O为圆心,分别以a,b(a>b>0)为 半径作两个同心圆,设A为大圆上的任意一点,连接OA, 与小圆交于点B ,过点A作AN⊥ox,垂足为N,过点B作 BM⊥AN,垂足为M,求当半径OA绕点O旋转时点M的 轨迹参数方程.
分析: 点M的横坐标与点A的横坐标相同, 点M的纵坐标与点B的纵坐标相同. 而A、B的坐标可以通过 引进参数建立联系. 设∠XOA=φ
O

y A
B N

M

x

如下图,以原点O为圆心,分别以a,b(a>b>0)为 半径作两个同心圆,设A为大圆上的任意一点,连接OA, 与小圆交于点B ,过点A作AN⊥ox,垂足为N,过点B作 BM⊥AN,垂足为M,求当半径OA绕点O旋转时点M的 轨迹参数方程. 解: 设∠XOA=φ, M(x, y), 则 A: (acosφ, a sinφ), B: (bcosφ, bsinφ),
y A
B M

? x ? a cos ? 由已知: ? (?为参数) ?y ? b sin?

O

N

x

即为点M的轨迹参数方程.
消去参数得:
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1,

即为点M的轨迹普通方程.

1 .参数方程 数方程.

x ? a cos ? y ? b sin ? 是椭圆的参

2 .在椭圆的参数方程中,常数a、b分 别是椭圆的长半轴长和短半轴长. a>b

另外, ? 称为离心角,规定参数 ? 的取值范围是 ? ? [0, 2 ? )
? x ? a co s ? , 焦点在X 轴 ? ? y ? b sin ? .

? x ? b co s ? , 焦点在Y轴 ? ? y ? a sin ? .

知识归纳
椭圆的标准方程:
x
2

y
2

?

y

2 2

?1
O

A
B M N

φ
x

a b ? x ? a cos ? 椭圆的参数方程:? (?为参数) ?y ? b sin?

椭圆的参数方程中参数φ的几何意义: 是∠AOX=φ,不是∠MOX=φ.
圆的标准方程: x2+y2=r2
? x ? r cos ? 圆的参数方程: ? ?y ? r sin?

y

P θ

(?为参数)

O

A x

θ的几何意义是 ∠AOP=θ

圆的参数方程与椭圆的参数方程中参数的几何意义
Y Y

M (x,y)
B

A
M(x,y)
N

?
O
N

?
X

O

X

? x ? a cos ? (? 为参数 ) ? ? y ? a sin ?

? x ? a cos ? (? 为参数 ) ? ? y ? b sin ?

?为OX轴逆时针旋转到与 OM重合时所转过的角度

?并非为OX轴逆时针旋转到 与OM重合时所转过的角度

是∠AOX=φ,不是∠MOX=φ.

【练习1】把下列普通方程化为参数方程. 2 2 2 x y y 2 ? ?1 (2) x ? 1 6 ? 1 (1) 4 9
(1)

?

x ? 2 cos ? y ? 3 s in ?

x ? cos ? (2) y ? 4 s in ?
? x ? 8 cos ? ? ? y ? 1 0 s in ?

?

把下列参数方程化为普通方程

(3)
(3)

? x ? 3 cos ? ? ? y ? 5 s in ?

(4)

x 9

2

?

y

2

25

?1

(4)

x 64

2

?

y

2

100

?1

练习2:已知椭圆的参数方程为

? x ? 2 cos ? ( ? 是 ? ? y ? sin ?

参数) ,则此椭圆的长轴长为( 4 ( 2 ),焦点坐标是((? (
3 2

),短轴长为

3 , 0)),离心率是

)。

例1、如图,在椭圆x2/9+y2/4=1上求一点M,使M 到直线 l:x+2y-10=0的距离最小.

分析1
平移直线 l 至首次与椭圆相切,切点即为所求.
y

?x ? 2y ? m ? 0 ? 2 2 4 x ? 9 y ? 36 ?
O x

消 元 , 利 用 ? ? 0, 求 出 m , 及 切 点 M ( x0 , y0 )
d ?

P

x0 ? 2 y0 ? m 5

? x ? 3 co s ? (? 为 参 数 ) 分析2 椭 圆 参 数 方 程 为 : ? ? y ? 2 sin ? 设 M (3 cos ? , 2 sin ? ),
5 -1 | 3 co s ? ? 4 sin ? -1 0 | | ( co s ? ? sin ? ) 0 | 则d ? 5 5 ? 5 5 3 4

例1、如图,在椭圆x2/9+y2/4=1上求一点M,使M 到直线 l:x+2y-10=0的距离最小.

?

| 5 co ( ? ? ? 0) 0 | s -1 5

? 当 ? ? ? 0 =0时 ,d 取 最 小 值
此 时 3 co s ? ? 3 co s ? 0 ? 9 5

5,

其 中 ? 0 满 足 co s ? 0 ?
8 5

3 5

, sin ? 0 ?

4 5

, 2 sin ? ? 2 sin ? 0 ?

9 8 ? M ( , )时 , 点 M 与 直 线 x ? 2 y ? 1 0 ? 0的 距 离 取 最 小 值 5 5

5。

小结:借助椭圆的参数方程,可以将椭圆上的任意一 点的坐标用三角函数表示,利用三角知识加以解决。

例2.已知椭圆
的最大值.

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) ,求椭圆内接矩形面积

解:设椭圆内接矩形的一个顶点坐标为

(a cos ? , b sin ? )
? S矩形 ? 4 a cos ? ? b sin ? ? 2ab sin 2?
?当? ? k? ?

? 2ab

?
4

(k ? Z )时,S矩形 ? 2ab最大。

所以椭圆内接矩形面积的最大值为2ab.

? 4 ?1 例3:已知A,B两点是椭圆 与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭 圆弧上求一点P,使四边形OAPB的面积最大.
x 9 y
解 :由 椭 圆 参 数 方 程 , 设 点 P(3cos? ,2sin ? )

2

2

S ? ABC 面 积 一 定 , 需 求 S ?ABP 最 大 即 可
即 求 点 P 到 直 线 A B的 距 离 的 最 大 值 。

x y 直 线 AB的 方 程 为 : ? ? 1 ? 2x ? 3y ? 6 ? 0 3 2
| 6 c o s ? ? 6 s in ? ? 6 | ? d ? 2 2 2 ?3

6 13

2 s in (

?
4

?? ) ?1

?当? =

?

4

时,d有最大值,面积最大 .

这 时 点 P的 坐 标 为 (

3 2

2

, 2)

2.双曲线的参数方程

双曲线的参数方程
探究:双曲线
x a
2 2

y
2 2

?

y b

?1

a

A o B

B'

?M
A' x

的参数方程
b

?

以 原 点 O 为 圆 心 , a , b为 半 径 分 别 作 同 心 圆 C 1 , C 2
设 A为 圆 C 1 上 任 意 一 点 , 作 直 线 O A , 设 O x 为 始 边 , O A为 终 边 的 角 为 ?

过 点 A作 圆 C 1的 切 线 AA 与 x 轴 交 于 点 A ,
过 圆 C 2 与 x 轴 的 交 点 B 作 圆 C 2的 切 线 B B 与 直 线 O A 交 于 点 B .
' '

'

'

过 点 A ,B 分 别 作 y轴 ,x轴 的 平 行 线 A M,B M 交 于 点 M.

'

'

'

'

双曲线的参数方程
设 M ( x, y )
则 A ( x , 0), B ( b , y ).
' '

y
a A o B b
a
B'

?M
A' x

? 点 A 在 圆 C 1上 ? A(acos ? ,asin ? ). ???? ??? ? ??? ???? ? ' ' 又 O A ? A A ,? O A ? A A = 0 ???? ' A A =(x-acos? ,-asin? )
2

?

解得:x ? ? a co s ? ( x ? a co s ? ) ? ( a sin ? ) ? 0 co s ? 1 ' ? sec ? ? x ? a sec ? 又 ? 点 B 在 角 ?的 终 边 上 , 记 co s ? y 由 三 角 函 数 定 义 有 : ? ? . ? y ? b tan ? tan b ? x ? a sec ? ?点M的轨迹的参数方程是 ? (? 为 参 数 ) ? y ? b ta n ?

双曲线的参数方程
x a
2 2

y a A
B'

-

y b

2 2

?M
A' x

=1(a>0,b>0)的 参 数 方 程 为 :
b

? x ? a sec ? (? 为 参 数 ) ? ? y ? b tan ?

o B

?

通 常 规 定 ? ? [ o , 2? ) 且 ? ?

?
2

,? ?

3? 2



说明:
⑴ 这里参数? 叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同. ⑵ 双曲线的参数方程可以由方程
2 2

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 与三角恒等式

sec ? ? 1 ? tan ? 相比较而得到,所以双曲线的参数方程

的实质是三角代换.

如 例2、 图 , 设 M 为 双 曲 线 a

x

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? 0 , b ? 0 ) 任 意 一 点 , O 为 原 点 ,

过 点 M 作 双 曲 线 两 渐 近 线 的 平 行 线 , 分 别 与 两 渐 近 线 交 于 A, B 两 点 。

解: 妨 设 M为 双 曲 线 右 支 上 一 点 , 其 坐 标 为 ( asec ? ,btan ?) , 不
双曲线的渐近线方程为:y ? ? 则 直 线 M A的 方 程 为 : y ? b tan ? ? ? 将 y= b b a b a x. ( x ? a sec ? ). ①

探 求 平 行 四 边 形 M A O B的 面 积 , 由 此 可 以 发 现 什 么 结 论 ?

y A M O x

x代 入 ① , 解 得 点 A的 横 坐 标 为 a a x A = ( s e c ? ? t a n ?) . 2 a 同 理 可 得 , 点 B 的 横 坐 标 为 x B = ( s e c ? ? t a n ?) . 2 b 设 ? AOx=? ,则 tan? ? . a
所 以 M A O B的 面 积 为

B

S ? M A O B = | O A |?| O B | s i n 2 ? =
= a (sec ? -tan ? )
2 2 2

xA cos?

?

xB cos?
2

sin2?
2

4cos ?
2

? s i n 2 ? = a ? tan ? ? a ? b ? a b . 2 2 a 2

由 此 可 见 , 平 行 四 边 形 M A O B的 面 积 恒 为 定 值 , 与 点 M在 双 曲 线 上 的 位 置 无 关 。

双曲线的参数方程
2

x

2 2

-

y b

2 2

=1(a>0,b>0)的 参 数 方 程 为 :

x 注意:双曲线: 2 ? 2 ? 1 的参数方程实质是由三角恒等式 a b sec ? ? tan ? ? 1而代换得来的
2 2

a 2 y

? x ? a sec ? (? 为 参 数 ) ? ? y ? b tan ?
y a
2 2

?为离心角

-

x

2 2

b

=1(a>0,b>0)的参数方程为:

? y ? a sec ? (? 为 参 数 ) ? ? x ? b tan ?

注意:双曲线还有什么参数方程?
1 ? x?t? ? ? t ( t为 参 数 ) ? ?y ? t ?1 ? t ?

?x ? e ? e ? ( t为 参 数 ) ? t ?t ?y ? e ?e ?
t

?t

3.抛物线的参数方程

抛物线的参数方程
设 抛 物 线 的 普 通 方 程 为 y ? 2 px ......(1)
2

抛 物 线 上 任 意 点 M x,y) (
y x ? tan ? .............( 2 )

?MOX ? ?

由三角函数的定义可得

2p ? x? 由 (1), (2) 解 出 x , y, 2 ? ? tan ? 得到 ? ?y ? 2p ? tan ? ?

(? 为 参 数 )

y
?

M(x,y)

这 就 是 抛 物 线 (1)( 不 包 括 顶 点 )的 参 数 方 程
如果令t ? 1 tan ? , t ? ( ? ? , 0 ) ? (0, ? ? ),
? x ? 2 pt 则有 ? ? y ? 2 pt

o
2

x
( t为 参 数 )

当 t ? 0时 , 由 参 数 方 程 表 示 的 点 正 好 就 是 抛 物 线 的 顶 点 (0, 0)
? x ? 2 pt 2 ? 当 t ? ( ? ? , ? ? )时 , 参 数 方 程 ? ( t为 参 数 ) 就 表 示 抛 物 线 。 ? y ? 2 pt
参 数 t表 示 抛 物 线 上 除 顶 点 外 的 任 意 一 点 与 原 点 连 线 的 斜 率 的 倒 数 。

抛 物 线 y ? 2 px p ? 0)的 参 数 方 程 为 : (
2

? x ? 2 pt 2 ? ? y ? 2 pt

( t为 参 数 )

参 数 t的 几 何 意 义 - - - - - 抛 物 线 上 除 顶 点 外 的 任 意 一 点 与原点连线的斜率的倒数。

思考:怎样根据抛物线的定义选取参数,建立抛物线 x ? 2 p y ( p ? 0 )的 参 数 方 程 ?
2

? x ? 2 p tan ? ? 2 y ? 2 p tan ? ?

(? 为 参 数 )

如 果 令 t ? tan ? , t ? ( ? ? , ? ? )
? x ? 2 pt ? 2 ? y ? 2 pt

( t为 参 数 )

抛 物 线 x ? 2 p y ( p ? 0 )的 参 数 方 程 为 :
2

? x ? 2 pt ? 2 y ? 2 pt ?

( t为 参 数 )

参 数 t的 几 何 意 义 - - - - - 抛 物 线 上 除 顶 点 外 的 任 意 一 点 与原点连线的斜率。

抛物线的参数方程

y ? 2 px p ? 0) (
2

? x ? 2 pt 2 ? ? y ? 2 pt

( t为 参 数 )

y ? ? 2 p( p ? 0 ) x
2

? x ? ?2 pt 2 ? ? y ? ?2 pt

( t为 参 数 )

参 数 t的 几 何 意 义 : 抛物线上除顶点外的任意一点 与原点连线的斜率的倒数。

抛物线的参数方程

x ? 2 py ( p ? 0)
2

? x ? 2 pt ? 2 y ? 2 pt ?

( t为 参 数 )

x ? ?2 py ( p ? 0)
2

? x ? ?2 pt ? 2 y ? ?2 pt ?

( t为 参 数 )

参 数 t的 几 何 意 义 : 抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率。

例 、 如 图 O是 直 角 坐 标 原 点 , A, B是 抛 物 线 y ? 2 px ( p ? 0)
2

上 异 于 顶 点 的 两 动 点 , 且 O A ? O B , O M ? A B并 于 A B 相 交 于 点M,求点M的轨迹方程。

解 : 设 点 M ( x , y ),
A (2 p t1 , 2 p t1 ),
B (2 pt2 , 2 pt2 )
2

y
A M x

2

( t1 ? t 2 , 且 t1 ? t 2 ? 0 )

? ???? ? 2 OM ? ( x, y ), OA ? (2 pt1 , 2 pt1 ),

OB ? (2 pt2 , 2 pt2 ),
2

?

o

AB ? (2 p(t2 ? t1 ), 2 p(t2 ? t1 ))
2 2

?

? OA ? OB,

?

?

? (2 pt1t 2 ) ? (2 p ) t1t 2 ? 0,
2 2

B

例 、 如 图 O是 直 角 坐 标 原 点 , A, B是 抛 物 线 y ? 2 px ( p ? 0)
2

上 异 于 顶 点 的 两 动 点 , 且 O A ? O B , O M ? A B并 于 A B 相 交 于 点M,求点M的轨迹方程。
? OA ? OB,
? ?
? ?

? (2 pt1t 2 ) ? (2 p ) t1t 2 ? 0,
2 2
2 2

? t1t 2 ? ? 1 ......(1)

? O M ? A B , ? 2 p x ( t 2 ? t1 ) ? 2 p y ( t 2 ? t 1 ) ? 0
? A M ? ( x ? 2 p t1 , y ? 2 p t1 ),
2 ?

? t1 ? t 2 ? ?

y x

( x ? 0 )........( 2 )

M B ? (2 pt2 ? x, 2 pt2 ? y )
2

?

且 A, M , B三 点 共 线 ,
2

? ( x ? 2 pt1 )(2 pt 2 ? y ) ? (2 pt 2 ? x )( y ? 2 pt1 )
2

即 : y ( t1 ? t 2 ) ? 2 pt1t 2 ? x ? 0........(3)
将 (1), ( 2 ) 代 入 (3), 得 到 : y ( ?
2 2

y x

)?2p? x ? 0

即 x ? y ? 2 px ? 0( x ? 0)

这就是点M的轨迹方程

探 究 : 在 例 题 中 , 点 A , B 在 什 么 位 置 时 , ? A O B的 面 积 最小?最小值是多少 ?
由 例 可 得 : O A = ( 2 p t1 ) ? ( 2 p t1 )
2 2 2

? 2 p t1

t1 ? 1
2

OB ?

(2 pt2 ) ? (2 pt2 )
2 2

2

? 2 p t2
2

t2 ? 1
2

? S ?AOB ?

1 2

OA ? OB
? 2p
2 2 2

? 2 p t1 t 2
2
2

( t1 ? 1) ? ( t 2 ? 1)
2

t1 ? t 2 ? 2 ? 2 p

( t1 ? t 2 ) ? 4 ? 4 p
2

2

当 且 仅 当 t1 ? ? t 2,

即 当 点 A, B 关 于 x轴 对 称 时 ,

? A O B的 面 积 最 小 ,

最 小 值 为4 p .

2

练习:
? x ? 2 pt 2 1、 若 曲 线 ? ( t为 参 数 ) 上 异 于 原 点 的 不 同 ? y ? 2 pt 两 点 M 1, M 2 所 对 应 的 参 数 分 别 是 t1 , t 2 , 则 弦 M 1 M 所在直线的斜率是(
2

c
1

) 1

A、 t1 ? t 2, B 、 t1 ? t 2, C 、 , D、 t1 ? t 2 t1 ? t 2
解 : 设 M 1 (2 p t1 , 2 p t1 ), M 2 (2 p t 2 , 2 p t 2 )
2 2

? kM

1M

2

?

2 p t1 ? 2 p t 2 2 p t1 ? 2 p t 2
2 2

?

1 t1 ? t 2

练习:
2、 设 M 为 抛 物 线 y ? 2 x 上 的 动 点 , 给 定 点 M 0 ( ? 1, 0 ),
2

点 P 为 线 段 M 0 M 的 中 点 , 求 点 P的 轨 迹 方 程 。
解 : 设 P ( x, y )

? M 为 抛 物 线 y ? 2 x上 的 动 点 ,
2 2

? 可 设 M 2 pt , 2 pt ) ( 又 定 点 M 0 ( ? 1, 0), 点 P 为 线 段 M 0 M 的 中 点 ,
2 ? 2 pt ? 1 消 参 数 t, x? ? ? 2 ?? ( t 为 参 数 ) 得 点 P的 轨 迹 方 程 : ? y ? 2 pt p 2 y ? px ? . ? ? 2 2

练习4
1、动点P(x,y)在曲线 ? ? 1上变化 ,求2x+3y的最 9 4 大值和最小值
x ? 3 cos ? , y ? 2 sin ? 2 x ? 3 y ? 6 cos ? ? 6 sin ? ? 6 2 sin (? ? 4 )

x

2

y

2

最大值6 2 , 最小值 ? 6 2 .
?

2、θ取一切实数时,连接A(4sinθ,6cosθ)和B(-4cosθ, B 6sinθ)两点的线段的中点轨迹是 . A. 圆
2

B. 椭圆
2

设中点M (x, y)

C. 直线 D. 线段 x=2sinθ-2cosθ y=3cosθ+3sinθ

x

?

y

?2

4

9

练习5
1、 当 参 数 ? 变 化 时 , 动 点 P (3 co s ? , 2 sin ? ) 所 确 定 的 曲 线 必 过 A .点 ( 2, 3) B .点 (3, 0 ) C .点 (1, 3) D .点 (0,

?
2

)

它的焦距是多少?

2 5

B

? x ? 3 ? 1 7 co s ? 2.椭 圆 ? (? 为 参 数 )的 中 心 坐 标 为 _ _ _ _ _ , ? y ? 8 sin ? ? 2 准 线 方 程 为 _____ .

(3, ? 2)

x ? 3?

289 15

3 . 已 知 圆 的 方 程 为 x ? y ? 4 x co s ? ? 2 y sin ? ? 3 co s ? ? 0,
2 2 2

2 (? 为 参 数 ), 那 么 圆 心 的 轨 迹 的 普 通 方 程 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ? x

? y ?1
2

4
解 : 方 程 x ? y ? 4 x cos ? ? 2 y sin ? ? 3 cos ? ? 0
2 2 2

可 化 为 ( x ? 2 co s ? ) ? ( y ? sin ? ) ? 1
2 2

? x ? 2 co s ? ?圆 心 的 参 数 方 程 为 ? ? y ? sin ?

(? 为 参 数 )

化为普通方程是

x

2

? y ?1
2

4

小结
(1)椭圆的参数方程与应用
x a
2 2

?

y b

2 2

?1

?

? x ? a cos ? (? 为参数 ) ? ? y ? b sin ?

注意:椭圆参数与圆的参数方程中参数的几何意义不同。

(2)椭圆与直线相交问题


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