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(讲案、练案、考案)数学高三第一轮复习方案(大纲)2.4


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课前自主研习
温故而知新 可以为师矣

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知 识 导 读 1.函数的值域 (1)定义 函数值 在函数 y=f(x)中,与自变量 x 的值对应的__________的集 合叫函数的值域. (2)基本初等函数的值域

R ①y=kx+b(k≠0)的值域是__________.
②y=ax2+bx+c(a≠0)的值域是: 4ac-b2 [ ,+∞) 4a 当 a>0 时,值域为__________________; 4ac-b2 (-∞, ] 当 a<0 时,值域为________________. 4a
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k {y|y∈R 且 y≠0} ③y= (k≠0)的值域是______________. x

(0,+∞) ④y=ax(a>0 且 a≠1)的值域是__________. R ⑤y=logax(a>0 且 a≠1)的值域是______.
[-1,1] ⑥y=sinx,y=cosx 的值域是__________.

R ⑦y=tanx 的值域是__________.

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2.求函数值域的常用方法 定义域与对应法则 (1)函数的________________直接制约着函数的值域,对于 一些比较简单的函数可通过观察法求得值域. 配方 (2)二次函数可用__________法求值域. (3)分子、分母是一次函数的有理函数,可用__________法 反函数 分离常数 求得值域,或用__________法. (4)无理函数可用__________法,尤其是三角代换求得值域. 换元 判别式 (5)分子、分母中含有二次项的有理函数,可用________法. 单调性 (6)单调函数可根据函数的__________求得值域. 数形结合 (7)函数图象是掌握函数性质的重要手段,利用__________ 方法,根据图象求得函数值域.

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(8)有 的 函 数 可 拆 配 成 能 利 用 重 要 不 等 式 的 形 式 , 利 用 重要不等式 __________求值域. 解析几何知识 (9)解析法:将某些式子根据其几何意义,运用__________ 求值域(或最值). 3.函数值域的表示方法 集合或区间 函数的值域必须用____________表示.

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基 础 热 身 x2-1 1.函数 y= 2 的值域是( x +1 A.{y|-1≤y<1} C.{y|-1<y≤1}

) B.{y|-1≤y≤1} D.{y|-1<y<1}

x2+1-2 2 解析:y= 2 =1- 2 . x +1 x +1 2 2 ∵x +1≥1,∴0< 2 ≤2, x +1 2 ∴-2≤- 2 <0,∴-1≤y<1.选 A. x +1 答案:A
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2.已知 f(x)=|x|(-2<x<2),则 y=f(x-1)的值域是( A.[0,2) B.[0,3) C.[0,2] D.[0,3]

)

解析:∵-2<x<2,∴0≤f(x)=|x|<2, ∴f(x)的值域为[0,2). y=f(x-1)的图象可由 y=f(x)的图象 而 向右平移 1 个长度单位,值域不变,故 y=f(x-1)的值域与 y= f(x)的值域相同,所以 y=f(x-1)的值域为[0,2). 答案:A

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1 2

3.若函数 y=log (x2-2kx+k)的值域为 R,则 k 的取值范 围是( ) A.0<k<1 C.k≤0 或 k≥1 B.0≤k<1 D.k=0 或 k≥1

解析:∵函数 y=log (x2-2kx+k)值域为 R,即 y∈R
1 2

∴u=x2-2kx+k 能取所有正值, ∴Δ≥0 即 4k2-4k≥0. 解得 k≥1 或 k≤0. 答案:C

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4.(2010· 重庆卷)函数 y= 16-4x的值域是( A.[0,+∞) B.[0,4] C.[0,4) D.(0,4)

)

解析:要使函数有意义,则 16-4x≥0.又因为 4x>0, ∴0≤16-4x<16,即函数 y= 16-4x的值域为[0,4). 答案:C

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5 . (2010· 津 卷 ) 若 函 数 g(x) = x2 - 2(x∈R) , f(x) = 天 ?g?x?+x+4,x<g?x?, ? ? 则 f(x)的值域是( ) ?g?x?-x,x≥g?x?, ? ? 9 ? ? A.?-4,0?∪(1,+∞) B.[0,+∞) ? ? ? ? 9 ? ? 9 ? ? ? ? C.?-4,+∞? D.?-4,0?∪(2,+∞) ? ? ? ? ?

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解析:由 x<g(x),得 x<x2-2,∴x<-1 或 x>2; 由 x≥g(x),得 x≥x2-2,∴-1≤x≤2. ?x2+x+2,x<-1或x>2, ? ∴f(x)=? 2 ?x -x-2,-1≤x≤2. ? ?? 1?2 7 ? x+ ? + ,x<-1或x>2, ?? 2? 4 ? ? 即 f(x)=?? ? ??x-1?2-9,-1≤x≤2. ?? 2? 4 ? ? 当 x<-1 时,y>2;当 x>2 时,y>8.

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∴当 x∈(-∞, -1)∪(2, +∞)时, 函数的值域为(2, +∞). 9 当-1≤x≤2 时,- ≤y≤0. 4 ? 9 ? ? ∴当 x∈[-1,2]时,函数的值域为?-4,0?. ? ? ? ? 9 ? ? 综上可知,f(x)的值域为?-4,0?∪(2,+∞). ? ? ? 答案:D

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1 6.函数 y= 2 (x∈R)的值域是__________. x +1

1 解析:∵x ≥0,∴1+x ≥1,∴0< 2≤1. 1+x 答案:(0,1]
2 2

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思维互动启迪
博学而笃志 切问而近思

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疑难精讲 1.函数值域的求法 (1)配方法:若函数类型为一元二次函数,则采用此法求其 值域,其关键在于正确化成完全平方式. (2)换元法:常用代数或三角代换法,把所给函数代换成值 域容易确定的另一函数,从而求得原函数的值域.形如 y=ax+ b± cx-d(a,b,c,d 均为常数且 ac≠0)的函数常用此法求解. (3)判别式法:若函数为分式结构,且分母中含有未知数 x2, 则常用此法.通常去掉分母转化为一元二次方程,再由判别式 Δ≥0,确定 y 的范围,即为原函数的值域. (4)不等式法:借助于重要不等式 a+b≥2 ab(a>0,b>0) 求函数的值域. 用不等式法求值域时, 要注意均值不等式的使用 条件“一正、二定、三相等”.
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(5)反函数法:若原函数的值域不易直接求解,可以考虑其 反函数的定义域, 根据互为反函数的两个函数定义域与值域互换 cx+d 的特点,确定原函数的值域,如 y= (a≠0)型函数的值域, ax+b 可采用反函数法,也可用分离常数法. (6)单调性法:首先确定函数的定义域,然后再根据其单调 p 性求函数的值域,常用到函数 y=x+ (p>0)的单调性:增区间 x 为(-∞,- p]和[ p,+∞),减区间为(- p,0)和(0, p). (7)数形结合法:分析函数解析式表示的几何意义,根据其 图象特点确定函数的值域.

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2.(1)用换元法求值域时,需认真分析换元后变量的范围变 化;用判别式求函数值域时,一定要注意自变量 x 是否属于 R. (2)用不等式法求函数值域时,需认真分析其等号能否成立; 利用单调性求函数值域时,准确地找出其单调区间是关键.分段 函数的值域应分段分析,再取并集. (3)不论用哪种方法求函数的值域,都一定要先确定其定义 域,这是求值域的重要环节.

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互动探究 题型 1 求具体函数的值域 例 1.求下列函数的值域: 3x+1 x2+5 x sinx (1)y= ;(2)y= 2 ;(3)y= 2 ;(4)y= . x-2 x +1 2-cosx x +4

【解析】 (1)函数的定义域是{x|x∈R 且 x≠2}, 3x+1 3?x-2?+7 7 ∵y= = =3+ ,结合图象. x-2 x-2 x-2 ∴函数的值域为{y|y∈R 且 y≠3}.

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(2)解法一:函数的定义域是 R,当 x=0 时,y=0;当 x≠0 1 时,y= , 1 x+ x 1 1 设 u=x+ ,利用函数 u=x+ 的单调性可推出 u∈(-∞, x x ? 1 ? ? 1? 1 ? ? ? -2]∪[2, +∞), 再由函数 y= 的图象可得 y∈?-2,0?∪?0,2?. ? x ? ? ? ? ? 1 1? 综上,函数的值域为 y∈?-2,2?. ? ? ? ?

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x 解法二:(判别式法)∵函数的定义域是 R,∴y= 2 ,去 x +1 分母,整理得 yx2-x+y=0,当 y=0 时,x=0;当 y≠0 时,由 ? 1 ? ? 1? ? ? ? Δ≥0?y∈?-2,0?∪?0,2?. ? ? ? ? ? ? 1 1? 综上,函数的值域为 y∈?-2,2?. ? ? ? ?

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(3)函数的定义域是 R, x2+5 x2+4+1 1 2 y= 2 = = x +4+ 2 , 2 x +4 x +4 x +4 1 2 令 t= x +4(t≥2),∵函数 y=x+ 在[2,+∞)上是单调增 x 5 函数,∴y≥ 2 ? ? ? ? ? 5 ? ∴函数的值域为?y?y≥2 ?. ? ? ? ? ?

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(4)解法一(利用函数的有界性): sinx 由 y= 得 sinx+ycosx=2y 2-cosx 2y ∴sin(x+φ)= 1+y2 ∵|sin(x+φ)|≤1 2y ∴| 2|≤1 1+y 3 3 3 3 解得- ≤y≤ ,即 y∈[- , ]. 3 3 3 3

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解法二(利用数形结合): 0-sinx ∵-y= 2-cosx ∴-y 表示点(2,0)与圆 x2+y2=1 上的点连线的斜率,由图 3 3 3 3 易得- ≤y≤ ,即 y∈[- , ]. 3 3 3 3

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题型 2 求复合函数的值域 例 2.已知 f(x)=2+log3x,x∈[1,3],求函数 y=[f(x)]2+f(x2) 的值域.

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【解析】 由 f(x)=2+log3x, y=[f(x)]2+f(x2)=(2+log3x)2 得 +2+log3x2=log2x+6log3x+6.又因为函数 f(x)的定义域为[1,3], 3 所以,函数 y=[f(x)]2+f(x2)的定义域为 ?1≤x≤3, ? ? 解得 1≤x≤ 3. 2 ?1≤x ≤3. ? ? 1? ? 令 t=log3x,由 x∈[1, 3],得 t∈?0,2?. ? ? ? ? 1? ? 2 所以,y=t +6t+6,t∈ ?0,2? ,由二次函数单调性得, ? ? ? 37 6≤y≤ . 4 ? 37? ? 2 2 ∴函数 y=[f(x)] +f(x )的值域为?6, 4 ?. ? ? ?
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题型 3 定义域与值域的综合问题 25 例 3.若函数 y=x -3x-4 的定义域为[0,m],值域为[- , 4 -4],则 m 的取值范围是________.
2

3 2 25 【解析】 ∵y=x -3x-4=(x- ) - ,又 x∈[0,m], 2 4 25 3 y∈[- ,-4],∴m≥ . 4 2 令 m2-3m-4=-4, 3 ∴m=0 或 3,故 m 的取值范围是[ ,3]. 2
2

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错解辨析 ax+3 例 4.已知函数 y= 2 对定义域内的任意 x 值都有- x +1 1≤f(x)≤4,求 a 的取值范围.

【错解一】 把已知函数式变为 yx2-ax+y-3=0,当 y= 3 0 时,x=- ; a 当 y≠0 时,方程必有实根,则关于 y 的不等式 Δ=a2-4y(y -3)≥0,即 4y2-12y-a2≤0 的解必为[-1,4],从而-1,4 是方 程 4y2-12y-a2=0 的两个根,求得 a=± 4. 【错解二】 由题意知, [-1,4]应为不等式 4y2-12y-a2≤0 的解集的子集,分离出 a2≥4y2-12y,当 y∈[-1,4]时,t=4y2 -12y 最大值为 16,故 a2≥16,从而解得 a≥4 或 a≤-4.
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ax+3 【错因】 错解一中误认为[-1,4]是函数 y= 2 的值域. 错 x +1 解二中误认为[-1,4]是此函数的值域的子集,其实由题意,函数 ax+3 y= 2 的值域是[-1,4]的子集. x +1

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【正解】 由已知可得,对任意实数 x,有 ?ax+3 ? 2 ≤4, ? x +1 ? ?ax+3 ? x2+1 ≥-1, ?
?4x2-ax+1≥0 ? 即? 2 ?x +ax+4≥0, ?

恒成立,由 Δ=a2 -

16≤0,解得-4≤a≤4.

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