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选修2-1第2章圆锥曲线2.3.2双曲线的简单几何性质第1课时


2.3.2 双曲线的简单几何性质第 1 课时 姓名
一、选择题 1.双曲线 mx +y =1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m 的值为( 1 A.- 4
2 2 2 2

). 1 D. 4

B.-4 ).

C.4

2.双曲线 3x -y =3 的渐近线方程是( 1 A.y

=±3xB.y=± xC.y=± 3x 3

D.y=±

3 x 3

3.已知中心在原点,对称轴为坐标轴且经过点 P(1,3),离心率为 2的双曲线的标准方程 为( ).
2

A. - =1 B. - =1C. - =1 D. - =1 4 4 4 4 8 8 8 8 4.在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线的中心在坐标原点,焦点在 y 轴上, 一条渐近线的方 程为 x-2y=0,则它的离心率为( A. 5
2

x

y

2

y2 x2

x2 y2

y2 x2

).

B.

5 2

C. 3

D.2 -

5.若 0<k<a ,则双曲线 A.相同的虚轴 二、填空

x2

y2

a2-k b2+k

=1 与 2- 2=1 有(

x2 y2 a b

). D.相同的焦点

B.相同的实轴 C.相同的渐近线

6. 过双曲线 - =1 左焦点 F1 的直线交双曲线的左支于 M、 N 两点, F2 为其右焦点, 则|MF2| 4 3 +|NF2|-|MN|=________. 7.过双曲线的一个焦点 F2 作垂直于实轴的弦 PQ,点 F1 是另一个焦点,若∠PF1Q=90°,则 双曲线的离心率等于________. 8.双曲线 + =1 的离心率 e∈(1,2),则 k 的取值范围是________. 4 k 三、解答题 9.求双曲线 x - =1 的顶点坐标、焦点坐标、实半轴长、虚半轴长与渐近线方程. 4
2

x2 y2

x2 y2

y2

10.已知双曲线的中心在原点,焦点 F1、F2 在坐标轴上,离心率为 2,且过点(4,- 10). (1)求双曲线方程; → → (2)若点 M(3,m)在双曲线上,求证:MF1?MF2=0; (3)求△F1MF2 的面积.

11.求与双曲线 - =1 共渐近线且过 A(3 3,-3)的双曲线的方程. 16 9

x2

y2

→ 1 → → 12.已知点 N(1,2),过点 N 的直线交双曲线 x - =1 于 A、B 两点,且ON= (OA+OB) 2 2
2

y2

(1)求直线 AB 的方程; → → (2)若过点 N 的直线交双曲线于 C、D 两点,且CD?AB=0,那么 A、B、C、D 四点是否 共圆?为什么?

2.3.2 双曲线的简单几何性质第 1 课时 一.选择题 题号 答案 二.填空题 6. 8 7. 2+1 8. -12<k<0 三.解答题 9. 解 把方程化为标准方程为 2- 2=1,由此可知实半轴长 a=1,虚半轴长 b=2,顶点坐 1 2 标是(-1,0),(1,0),c= a +b = 1 +2 = 5, 焦点的坐标是(- 5,0),( 5,0),渐近线方程为 ± =0,即 y=±2x. 1 2 10. 解 (1)∵e= 2. ∴可设双曲线方程为 x -y =λ (λ ≠0). ∵过点(4,- 10), ∴λ =16-10=6. ∴双曲线的方程为 x -y =6. (2)由(1)可知,双曲线中 a=b= 6, ∴c=2 3. ∴F1(-2 3,0),F2(2 3,0). → → ∴MF1=(-2 3-3,-m),MF2=(2 3-3,-m). → → 2 2 ∴MF1?MF2=(3+2 3)(3-2 3)+m =-3+m . ∵M 在双曲线上, ∴9-m =6,∴-3+m =0. → → ∴MF1?MF2=0. (3)△F1MF2 的底|F1F2|=4 3, △F1MF2 的高 h=|m|= 3, 1 ∴S△F1MF2= ?4 3? 3=6. 2 11. 解
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 A

2 C

3 D

4 A

5 D

x2 y2

x y

设与 2- 2=1 共渐近线且过 A(3 3 ,-3)的双曲线的方程为 2- 2=λ ,则 4 3 4 3
2 2 2

x2 y2

x2 y2

(3 3) (-3) 11 x 16y - =λ ,从而有 λ = ,所求双曲线的方程为 - =1. 2 2 4 3 16 11 99 12. 解 (1)由题意知直线 AB 的斜率存在.

设直线 AB:y=k(x-1)+2,代入 x - =1 2 得(2-k )x -2k(2-k)x-(2-k) -2=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1、x2 是方程(*)的两根, ∴2-k ≠0. 2k(2-k) 且 x1+x2= . 2 2-k → 1 → → ∵ON= (OA+OB), 2 ∴N 是 AB 的中点, ∴
2 2 2 2

2

y2

(*)

x1+x2
2

=1,
2

∴k(2-k)=-k +2,k=1, ∴直线 AB 的方程为 y=x+1. (2)共圆.将 k=1 代入方程(*)得

x2-2x-3=0,解得 x=-1 或 x=3,
∴A(-1,0),B(3,4). → → ∵CD?AB=0,∴CD 垂直 AB, ∴CD 所在直线方程为

y=-(x-1)+2,
即 y=3-x,代入双曲线方程整理得 x +6x-11=0, 令 C(x3,y3),D(x4,y4)及 CD 中点 M(x0,y0) 则 x3+x4=-6,x3?x4=-11, ∴x0=
2

x3+x4
2

=-3,y0=6,

即 M(-3,6). |CD|= 1+k |x3-x4| = 1+k
2 2

(x3+x4) -4x3x4

2

=4 10, 1 |MC|=|MD|= |CD|=2 10, 2 |MA|=|MB|=2 10, 即 A、B、C、D 到 M 的距离相等, ∴A、B、C、D 四点共圆.


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