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高中数学必修五 解三角形


解三角形
1. 正弦定理 1.1

a b c a?b?c ? ? = = 2 R (试证明?) sin A sin B sin C sin A ? sin B ? sin C

【例题】在△ABC 中,已知 a ? 5 2 , c ? 10, A ? 300 ,则 B=. ★练习在△ABC 中,已知 a ? 2 , B ? 60

?, C ? 45? ,则

a?b?c =. sin A ? sin B ? sin C

【例题】在△ABC 中,若 a : b : c ? 2 : 3 : 4 ,则

2 sin A ? sin B =. sin C

★练习在△ABC 中,若 b ? 2a, B ? A ? 600 ,则 A=.

【例题】在△ABC 中,

a b ? ,则△ABC 一定是( cos B cos A



A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 ★练习如果

1 ? cos A a ? ,那么△ABC 是. 1 ? cos B b

1.2 三角形的面积公式 (1) S ?

1 1 1 ab sin C = bc sin A = ca sin B 2 2 2

(2)S= 2R 2 sin A sin B sin C (3) S ?

abc 4R

2 【例题】△ABC 中,a=3,b=5,cosC 是方程 5x ? 7 x ? 6 ? 0 的根,则△ABC 的面积为.

★练习已知△ABC 的外接圆半径为 2,且 A=60°,B=45°,则△ABC 的面积为. 2.余弦定理

? b2 ? c2 ? a 2 cos A ? , ? 2 bc 2 2 2 ? a ? b ? c ? 2bc cos A, ? a 2 ? c 2 ? b2 ? 2 ? 2 2 b ? a ? c ? 2 ac cos B , ? cos B ? , ? 2 ? 2 2 2 ac ? 2 2 2 ?c ? a ? b ? 2ab cos C. ? ? cos C ? a ? b ? c . ? 2ab ?

【例题】在△ABC 中,已知 a ? 8, b ? 4 3, c ? 4 ,则△ABC 的最小角为() A.

? 3

B.

? 4

C.

? 6

D.

? 12

★练习在△ABC 中,如果 (a ? b ? c)(b ? c ? a) ? 3bc ,则 A=. 【例题】已知锐角三角形的边长为 1、3、 a ,则 a 的取值范围是. ★练习 如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则这个新的三角形的形状为( A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.由增加的长度决定 3. 正、余弦定理的综合问题 【例题】在 ?ABC 中,若 sin A : sin B : sin C ? 5 : 7 : 8 ,则 ? B 的大小是___________. 1 ★练习△ABC 的两边长分别为 2,3,其夹角的余弦值为 ,则其外接圆的半径为_______. 3 【例题】在△ABC 中,已知 b ? 1, A ? 60 ,S△ABC= 3 ,则
0

)

a ?. sin A

★练习在△ABC 中,AB=5,BC=8,∠ABC? 600 ,D 是其外接圆 AC 弧上一点,且 CD=3, 则 AD 的长是. 4.正、余弦定理的应用 【例题】在一座 20 m 高的观测台顶测得地面一水塔塔顶仰角为 60°,塔底俯角为 45°,那 么这座塔的高为_____. ★练习一船向正北航行,看见正西方向有相距 10 海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上, 继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南 60°西,另一灯塔在船的南 75°西,则这只船的 速度是每小时() A.5 海里? B.5 3 海里 C.10 海里? D.10 3 海里

【例题】已知 D、C、B 三点在地面同一直线上,DC=a,从 C、D 两点测得 A 的点仰角分 别为 α、β(α>β)则 A 点离地面的高 AB 等于() A.

a sin ? sin ? sin(? ? ? )

B.

a sin ? sin ? cos(? ? ? )

C.

a cos? cos ? sin(? ? ? )

D.

a cos? cos ? cos(? ? ? )

★练习如图,为了测量塔 AB 的高度,先在塔外选和塔脚在一直线上的三点 C 、 D 、 E , 测得塔的仰角分别是 ? ,2? ,4? , CD ? 30m, DE ? 10 3m ,求 ? 的大小及塔的高。


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