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(教师版)高三数学暑假衔接第四讲


第一部分 ★忠于定义

(教师讲义)高三数学专题复习讲座(四) 知识与考点之立体几何,解析几何板块

x2 y2 1 【1】已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离心率等于 ,其焦点分别为 A,B,C 为椭圆上异于长轴 a b 3 sin A+sin B 端点的任意一点,则在△ABC 中, 的值等于________. sin C

sin A+sin B |CB|+|CA| 解析 在△ABC 中,由正弦定理得 = ,因为点 C 在椭圆上,所以由椭 sin C |AB| sin A+sin B 2a 1 圆定义知|CA|+|CB|=2a,而|AB|=2c,所以 = = =3. sin C 2c e 【 2 】 (2016 西安调考 ) 若实数 x, y 满足

x 2 ? y 2 ? 8 x ? 16 ? x 2 ? y 2 ? 8 x ? 16 ? 10 , 令
)课本改编 (C) 2 5 (D) 5

z ?| 4 x ? 5 y ? 40 | ,则 z 的最小值是(
(A)

15

( B)

15 41 41

x2 y 2 【3】双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 2 ,左,右焦点分别为 E , F ,从左焦点 E a b
引圆 x2 ? y 2 ? a 2 的切线 , 切点为 T , 延长 ET 交双曲线的右支于点 P . 则 | PT | ? | PF |? ( ) (B) (2 ? 3)a (C) (4 ? 2 3)a (D) (4 ? 3)a

(A) (2 ? 5)a

2 【4】椭圆 x ? y ? 1 的两焦点是 F1 , F2 , P 为椭圆上一点,且 ?PF 1 F2 的面积 S 的取值范

2 2

围为 [

3 ,1],则 ?F1PF2 的取值范围为________. 3

★离心率
x2 y2 【4】椭圆 2+ =1(a 为定值,且 a> 5)的左焦点为 F,直线 x=m 与椭圆相交于点 A,B. a 5 若△FAB 的周长的最大值是 12,则该椭圆的离心率是________. 解析 设椭圆的右焦点为 F′,如图,由椭圆定义知,|AF|+|AF′|=|BF|+|BF′| =2a.又△FAB 的周长为|AF|+|BF|+|AB|≤|AF|+|BF|+|AF′|+|BF′|=4a, 当且仅当 AB 过右焦点 F′时等号成立. x2 y2 c 2 此时 4a=12,则 a=3.故椭圆方程为 + =1,所以 c=2,所以 e= = . 9 5 a 3 x2 y2 【5】已知双曲线 2- 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1(-c,0),F2(c,0),若双曲线 a b

1

sin∠PF1F2 a 存在一点 P 使 = ,则该双曲线的离心率的取值范围是________. sin∠PF2F1 c 解析 在△PF1F2 中,由正弦定理知 sin∠PF1F2 a |PF2| |PF1| |PF2| a = ,又 = ,∴ = , c |PF1| c sin∠PF1F2 sin∠PF2F1 sin∠PF2F1 所以 P 在双曲线右支上,设 P(x0,y0),如图,又∵|PF1|-|PF2|=2a,∴|PF2| = 2a2 2a2 .由双曲线几何性质知|PF2|>c-a, 则 >c-a, 即 e2-2e-1<0, ∴1 c-a c-a

<e<1+ 2. x2 y2 【6】 (2014· 重庆卷)设 F1,F2 分别为双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上 a b 9 存在一点 P 使得|PF1|+|PF2|=3b, |PF1|· |PF2|= ab, 则该双曲线的离心率为___________. 4 解析 由双曲线的定义得||PF1|-|PF2||=2a,又|PF1|+|PF2|=3b,所以(|PF1|+|PF2|)2-(|PF1| -|PF2|)2=9b2-4a2, 即 4|PF1|· |PF2|=9b2-4a2, 又 4|PF1|· |PF2|=9ab, 因此 9b2-4a2=9ab, b?2 9b ?3b+1??3b-4?=0,解得b=4?b=-1舍去?,则双曲线的离心 即 9? - - 4 = 0 ,则 3 ?a? ?a ?? a ? ? a a 3? a 率 e= b?2 5 1+? ?a? =3.

【7】 (2014 湖北) 已知 F1, F2 是椭圆和双曲线的公共焦点, P 是它们的一个公共点, 且∠F1PF2 π = ,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( ) 3 4 3 2 3 A. B. C.3 D.2 3 3 [解析]设|PF1|=r1,|PF2|=r2,r1>r2,椭圆的长半轴长为 a1,双曲线的实半轴长为 a2,椭圆、 2 2 双曲线的离心率分别为 e1,e2.则由定义,得 r1+r2=2a1,r1-r2=2a2,平方得 4a2 1=r1+r2+ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2r1r2,4a2=r1-2r1r2+r2.又由余弦定理得 4c =r1+r2-r1r2,消去 r1r2,得 a1+3a2=4c ,即 2 1 1 3 ?2 1 3 1 16 1 3 1 1 4 3 ? 1 + 1 ? =? + × ? ≤? 2+ 2??1+ ?= .所以 + ≤ . 2+ 2=4.所以 ? ?e1 e2? ?e1 3 e2 ? ?e1 e2?? 3? 3 e1 e2 e1 e2 3 2 2 x y 【8】 (2016 衡中六调)已知 2+ 2=1(a>b>0),M,N 是椭圆的左、右顶点,P 是椭圆上 a b 任意一点,且直线 PM、PN 的斜率分别为 k1,k2(k1k2≠0),若|k1|+|k2|的最小值为 1,则椭圆 的离心率为________. y0 y0 解:设 P(x0,y0),不妨设 y0>0,则 k1= >0,k2= <0, x0+a x0-a ∴|k1|+|k2|=k1-k2= ∴|k1|+|k2|= y0 y0 2ay0 x2 y2 a2 2 0 0 - = 2 2.又∵ 2+ 2=1,∴a2-x2 0= 2y0, a b b x0+a x0-a a -x0

2ay0 2b2 2b2 2b 3 .∵0<y0≤b,∴当 y0=b 时,|k1|+|k2|的最小值为 = =1,∴e= 2 = a 2 ay0 ab a 2 y b2 0

2

【9】 (2016 年全国 II 卷)圆已知 F1 , F2 是双曲线 E : 上, MF 1与

x2 y 2 ? ? 1 的左,右焦点,点 M 在 E a 2 b2

x 轴垂直, sin ?MF2 F1 ? ,则 E 的离心率为( A )
(B)

1 3

(A) 2

3 2

(C) 3

(D)2

【10】 (2016 年全国 II)已知 O 为坐标原点,F 是椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦 a 2 b2

点,A,B 分别为 C 的左,右顶点.P 为 C 上一点,且 PF ? x 轴.过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M,与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点,则 C 的离心率为( A ) (A)

1 3

(B)

1 2

(C)

2 3

(D)

3 4

x2 2 x2 2 【11】 (2016 年浙江高考) 已知椭圆 C1: 2 +y =1(m>1)与双曲线 C2: 2 –y =1(n>0)的焦 m n
点重合,e1,e2 分别为 C1,C2 的离心率,则 A.m>n 且 e1e2>1 B.m>n 且 e1e2<1 C.m<n 且 e1e2>1 【答案】A 最值问题 7 ? 【12】已知 P 是抛物线 y2=2x 上动点,A? ?2,4?,若点 P 到 y 轴的距离为 d1,点 P 到点 A 的距离为 d2,则 d1+d2 的最小值是___________. 1 解析 因为点 P 在抛物线上,所以 d1=|PF|- (其中点 F 为抛物线的焦点),则 d1+d2=|PF| 2 1 1 +|PA|- ≥|AF|- = 2 2 交点时取等号,故选 B. 【13】 在平面直角坐标系 xoy 中,A1 , A2 , B1 , B2 为椭圆 D.m<n 且 e1e2<1

?7-1? +42-1=5-1=9, 当且仅当点 P 是线段 AF 与抛物线的 ?2 2? 2 2 2

2

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的四个顶点, F a 2 b2

为其右焦点,直线 A1 B2 与直线 B1 F 相交于点 T,线段 OT 与椭圆的交点 M 恰为线段 OT 的 中点,则该椭圆的离心率为 解:∵ A1 , A2 , B1 , B2 为椭圆 .

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的四个顶点, F 为其右焦点, a 2 b2 x y x y ∴直线 A1B2 的方程为: ? ? 1 ;直线 B1F 的方程为: ? ? 1 。二者联立解得: ?a b c ?b

T(

ac b(a ? c) 2ac b(a ? c) , )。 , ) 。又∵点 M 恰为线段 OT 的中点,∴ M ( a ? c 2(a ? c) a ?c a ?c
3

又∵点 M 在椭圆 ∴

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上, a 2 b2

c2 (a ? c) 2 c 2 10c 2 2 ? ? 1 ? c ? 10 ac ? 3 a ? 0 ? ? ? 3 ? 0 ,解得: e ? 2 7 ? 5 (a ? c)2 4(a ? c)2 a2 a

【14】已知点 P 是抛物线 y2=4x 上的动点,点 P 在 y 轴上的射影是 M,点 A 的坐标是(4, a),则当|a|>4 时,|PA|+|PM|的最小值是________. 将 x=4 代入抛物线方程 y2=4x,得 y=± 4,|a|>4,所以 A 在抛物 线的外部,如图.由题意知 F(1,0),抛物线上点 P 到准线 l:x= -1 的距离为|PN|, 由定义知, |PA|+|PM|=|PA|+|PN|-1=|PA|+|PF| -1.当 A,P,F 三点共线时,|PA|+|PF|取最小值,此时|PA|+|PM| 也最小,最小值为|AF|-1= 9+a2-1.

【15】 (2016 四川卷)设 O 为坐标原点,P 是以 F 为焦点的抛物线 y 2 ? 2 px(p ? 0) 上任意 一点,M 是线段 PF 上的点,且 PM =2 MF ,则直线 OM 的斜率的最大值为( C )

(A) 轨迹

3 3

(B)

2 3

(C)

2 2

(D)1

【16】 (特别的二次曲线种类初探)若曲线 C1:x2+y2-2x=0 与曲线 C2:y(y-mx-m)=0 有四个不同的交点,则实数 m 的取值范围是( A.(- )

3 3 3 3 3 3 3 3 , ) B.(- ,0)∪(0, )C.[- , ] D.(-∞,- )∪( ,+∞) 3 3 3 3 3 3 3 3

解析:B.整理曲线 C1 方程得,(x-1)2+y2=1,知曲线 C1 为以点 C1(1,0)为圆心,以 1 为半 径的圆;曲线 C2 则表示两条直线,即 x 轴与直线 l:y=m(x+1),显然 x 轴与圆 C1 有两个交 |m? 1 +1?-0| 点, 知直线 l 与 x 轴相交, 故有圆心 C1 到直线 l 的距离 d= <r=1, 解得 m∈(- m2+1 3 3 , ),又当 m=0 时,直线 l 与 x 轴重合,此时只有两个交点,应舍去. 3 3 【17】 (2016 高考四川卷文科)在平面直角坐标系中,当 P(x,y)不是原点时,定义 P 的―伴 随点‖为 P (
'

y ?x , 2 ) ;当 P 是原点时,定义 P 的―伴随点‖为它自身,现有下列命 2 x ? y x ? y2
2

题:?若点 A 的―伴随点‖是点

,则点

的―伴随点‖是点 A.?单元圆上的―伴随点‖还在单

位圆上.?若两点关于 x 轴对称, 则他们的―伴随点‖关于 y 轴对称④若三点在同一条直线上,
4

则他们的―伴随点‖一定共线.其中的真命题是

.

【18】 A, B 两点的距离是 4 ,到 A, B 两点的距离都为 d 的直线恰有四条,则( A. d ? 4 B. d ? 2 C. d ? 2

)D

D. 0 ? d ? 2 A

【19】直线 y ? 1 ? k ( x ? 1) 与圆 x 2 ? y 2 ? r 2 (r ? A.2 个 B.1 个 C.0 个

2 ) 的交点个数是

D. 视斜率 k 和半径 r 的取值而定

1 ? x? ? ? 1 ? t 2 ( t 是参数)的交点个数是 【20】 曲线 y ? ? 1 ? x 2 和曲线 ? 2 ?y ? t ? 1? t2 ?
A.2 个 B.1 个 C.0 个 D. 视 t 的取值而定

C

【21】关于 x , y 的方程 Ax 2 ? Bxy ? Cy 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,下列说法错误的是 C A. 此方程可能表示两条平行直线 C. 当 A ? C ? 0 时, 此方程表示一个圆
.w.

B.此方程可能表示两相交直线 D. 此方程表示圆时, 一定有 B ? 0

【 22 】 ( 2016 B A.关于 x 轴对称

山 东 联 考 ) 方 程

x2 ? y2 ? 2 y ? 0 表 示 的 曲 线
D. 关于 y ? x 对称

B.关于 y 轴对称

C. 关于原点对称
.w.

★点参
→ → 【23】 已知抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F, △ ABC 的顶点都在抛物线上, 且满足FA+FB+ → 1 1 1 FC=0,则 + + =________. kAB kBC kCA
5

解析

p ? p p ? ? ? ? 设点 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),F ? ?2,0?,则?x1-2,y1?+?x2-2,y2? +

1 2 (y2 2-y1) 2 p p x - x y2+y1 1 2 1 ?x3- ,y3?=(0,0),故 y1+y2+y3=0.因为 = = = ,同理可 2 ? ? kAB y2-y1 2p y2-y1 2(y1+y2+y3) 1 y3+y2 1 y3+y1 知 = , = ,所以原式= =0. kBC 2p kCA 2p 2p 【24】 (2011 重庆第 2 问) (1)第(1)问求出椭圆的标准方程

x2 y2 ? ?1. 4 2

(2)设动点 P 满足

,其中 M,N 是椭圆上的点.直线 OM 与 ON 的斜率之积

为﹣ .问:是否存在两个定点 F1,F2,使得|PF1|+|PF2|为定值.若存在,求 F1,F2 的坐标; 若不存在,说明理由. 【 25 】 ( 2016 树德高三模拟考试) (已知平面直角坐标系中, O 是坐标原点 , 椭圆 C0 :

x2 y2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 的右焦点 F 到上顶点 A 的距离为 2 ,且 ?OFA ? 45? . 2 a b
(I)求椭圆 C 0 的方程; (II)①若 M 0 , N 0 是椭圆 C 0 上两点,满足 OM 0 , ON0 的斜率之积与 C 0 的离心率的平方互为相 反数,动点 P 1 满足 OP1 ? a OM 0 ? b ON 0 ,求动点 P 1 的轨迹形成的曲线 C1 的方程; ②若 M 1 , N1 是椭圆 C1 上两点,满足 OM1 , ON1 的斜率之积与 C1 的离心率的平方互为相反 数,动点 P2 满足 OP 2 ? a OM 1 ? b ON1 ,其轨迹形成曲线 C 2 ,…, 以此类推,动点 Pn 的 轨迹形成曲线 C n ; 若直线 y ? x 与曲线 C 0 , ..., C n 在第一象限的交点分别为 T0 , T1 ,...,Tn , C1 , 设 an ?| Tn?1Tn | .证明: {an } 是等比数列,并求其通项公式. ① 设 , 则
? ? ?
? ? ?

P( x, y), M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 )

OP ? 2 OM ? ON ?

?

?

?

( 2x1 ? x2 , 2 y1 ? y2 ) ? ( x, y) ,
于是 x ? 2x1 ? x2 , y ? 2 y1 ? y2 ,将两式平方得:
2 2 x 2 ? 2 x1 ? x2 ? 2 2 x1 x2 , ?

y 2 ? 2 y1 ? y2 ? 2 2 y1 y2 ,
2

2

2

?
2 2

由椭圆的方程知: x1 ? 2 y1 ? 2, x2 ? 2 y2 ? 2

2

,

2 得: x2 ? 2 y 2 ? 2( x12 ? 2 y12 ) ? ( x2 2 ? 2 y2 2 ) ? 2 2 ( x1 x2 ? 2 y1 y2 ) (※) 于是?+ ?×

x2 ? 2 y 2 ? 6 ? 2 2 ( x1x2 ? 2 y1 y2 ) ,又由题意,

y1 y2 1 ? ? ? x1 x2 ? 2 y1 y2 ? 0 , x1 x2 2
x2 y2 ? ? 1 (7 分) 6 3

2 2 于是动点 P 1 的轨迹形成的曲线 C1 方程是 x ? 2 y ? 6 ,即

6

2 2 再整体代入(※) ②由上一的问推导原理可知(即将 M 1 , N1 坐标代入 C1 的方程:x ? 2 y ? 6 ,

式)得动点 P2 的轨迹 C2 方程为 x 2 ? 2 y 2 ? 18 ,以此类推,反复代入(※)式 ,……., 得动点 Pn 的轨迹 C n 的方程为 x 2 ? 2 y 2 ? 2 ? 3n ,亦即 联 立 直 线

x2 y2 ? ? 1 (8 分) 2 ? 3n 3n


y?x



Cn





x 2 ? 2 y 2 ? 2 ? 3n



3x 2 ? 3n ? x 2 ? 2 ? 3 n ?1 ( x ? 0) ? x ? 2 ? 3n ?1 , 2
所以 | OT n |? 分) 于是 a n ?| Tn ?1Tn |? 2[ 所以:

2 2 ? 3 n ?1 ? 2 3

? ?
?

n ?1

同理:| OT

n ?1

|? 2 3
n?2

? ?
?

n?2



(10

? 3?

n ?1

? 3?

n?2

] ? 2[ 3 3

? ?

? 3?

n?2

] ? (2 3 ? 2) 3

? ?

n?2



an | Tn?1Tn | ? ? 3 , 为 定 值 . 于 是 {an } 是 等 比 数 列 , 其 通 项 公 式 为 an?1 | Tn?2Tn?1 |

a n ? (2 3 ? 2) 3

? ?

n?2

(12 分)

x2 y2 【26】 (椭圆平方自代)已知椭圆 2+ 2=1 的左顶点为 A,左焦点为 F,点 P 为该椭圆上任 a b → → 1 意一点; 若该椭圆的上顶点到焦点的距离为 2, 离心率 e= , 则AP· FP的取值范围是________. 2 1 解析:因为椭圆的上顶点到焦点的距离为 2,所以 a=2.因为离心率 e= ,所以 c=1,b 2 x2 y2 = a2-c2= 3,则椭圆方程为 + =1,所以 A 点的坐标为(-2,0),F 点的坐标为(- 4 3 → → 1,0).设 P(x,y),则AP· FP=(x+2,y)· (x+1,y)=x2+3x+2+y2.由椭圆方程得 y2=3 → → → → 3 3 1 - x2,所以AP· FP=x2+3x- x2+5= (x+6)2-4,因为 x∈[-2,2],所以AP· FP∈[0, 4 4 4 12]. 1 x2 y2 【27】 (点差法) 过点 M(1, 1)作斜率为- 的直线与椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)相交于 A, 2 a b B 两点, 若 M 是线段 AB 的中点, 则椭圆 C 的离心率等于________. 解析 (1)设 A(x1,y1),B(x2,y2),且 A,B 在椭圆上,

? ? ?

x2 y2 1 1 2+ 2=1, 2 2 a b x2 y2 1-x2 1-y2 则有 + =0, 2 2 a b x2 y2 2 2 + =1, a2 b2

7

(x1+x2)(x1-x2) (y1+y2)(y1-y2) ∴ + =0,由题意知 x1+x2=2,y1+ a2 b2 y2=2, 1 - × 2 2 y1-y2 1 2 2 =- ,所以 2+ 2 =0,∴a2=2b2,∴e= . 2 a b 2 x1-x2 【28】(2013 课标全国Ⅱ)平面直角坐标系 xOy 中,过椭圆 M :
F2 O

y

A

C1

F1 B

x

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 右焦点 a 2 b2 1 的直线 x ? y ? 3 ? 0 交 M 于 A, B 两点, P 为 AB 的中点,且 OP 的斜率为 .(1)求椭圆 M 2 的方程; (2)设 C , D 为椭圆 M 上的两点,若四边形 ACBD 的对角线 CD ? AB ,求四边形 ACBD 面积的最大值. ? x12 y12 ? 2 ?1 ① 2 2 ? x y ? 2 解:(1)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 M : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,则 ? a 2 b 2 , a b ? x2 ? y2 ? 1 ② ? b2 ? a2 ( x ? x )( x ? x ) ( y ? y2 )( y1 ? y2 ) ①-②,得 1 2 2 1 2 ? 1 ?0. a b2 y ? y2 1 ? ?1 ,设 P( x0 , y0 ) ,因为 P 为 AB 的中点,且 OP 的斜率为 , 因为 1 x1 ? x2 2 1 1 所以 y0 ? x0 ,即 ( y1 ? y2 ) ? ( x1 ? x2 ) . 2 2 2 2 2 所以可以解得 a ? 2b ,即 a ? 2(a2 ? c2 ) ,即 a2 ? 2c2 , x2 y 2 ? ?1; 6 3 (2)因为 CD ? AB ,直线 AB 方程为 x ? y ? 3 ? 0 ,所以设直线 CD 方程为 y ? x ? m ,
又因为 c ? 3 ,所以 a 2 ? 6 ,所以椭圆 M 的方程为
4 3 3 x2 y 2 ,? ), ? ? 1 得: 3x2 ? 4 3x ? 0 ,即 A(0, 3), B ( 3 3 6 3 4 6 x2 y 2 所以可得 AB ? ;将 y ? x ? m 代入 ? ? 1 得: 3x 2 ? 4 xm ? 2m2 ? 6 ? 0 , 3 6 3 4 设 C ( x3 , y3 ), D( x4 , y4 ) , 则 CD ? 2 ( x3 ? x4 )2 ? 4 x3 x4 ? 9 ? m2 , 又 因 为 3 ? ? 16m2 ? 12(2m2 ? 6) ? 0 ,即 ?3 ? m ? 3 ,所以当 m ? 0 时, CD 取得最大值 4 ,所以四边形

将 x ? y ? 3 ? 0 代入

ABCD 面积的最大值为

1 8 6 AB ? CD ? . 2 3
x2 y2 20 , 椭圆 C2 的方程为 2 ? 2 ? 1 3 a b

【29】 已知圆 C1 的方程为 ?x ? 2?2 ? ? y ? 1?2 ? C2 的离心率为

?a ? b ? 0? ,

2 ,如果 C1 与 C2 相交于 A、B 两点,且线段 AB 恰为圆 C1 的直径,求直线 2

AB 的方程和椭圆 C2 的方程。 解 : 由 e?
2 c 2 2 ,得 ? , a ? 2c 2 , b 2 ? c 2 . 设 椭 圆 方 程 为 2 a 2
? x1 ? x2 ? 4, y1 ? y 2 ? 2.
x2 2b 2 ? y2 b2 ? 1. 设

A( x1 , y1 ).B( x2 , y 2 ). 由圆心为(2,1).

8



2 x1

2b

2

?

2 y1

b

2

? 1,

2 x2

2b

2

?

2 y2

b

2

? 1,













2 2 x1 ? x2

2b

2

?

2 2 y1 ? y2

b2

? 0.

( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? 2( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) ? 0,

又 x1 ? x 2 ? 4. y1 ? y 2 ? 2.得 将 y ? ? x ? 3代入
x2 2b 2 ? y2 b2

y1 ? y 2 ? ?1. ? 直线AB的方程为 y ? 1 ? ?( x ? 2).. 即 y ? ? x ? 3 x1 ? x 2
? 1, 得 3x 2 ? 12x ? 18 ? 2b 2 ? 0.

? 直线AB与椭圆 C2 相交.? ? ? 24b 2 ? 72 ? 0.

由 AB ?

2 x1 ? x 2 ? 2 ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ?
故所有椭圆方程
x2 y2 ? ? 1. 16 8

20 24b 2 ? 72 20 .得 2? ? . 3 3 3

解得

b 2 ? 8.

【30】 (抛物线一次自代)抛物线 C:x2=8y 与直线 y=2x-2 相交于 A,B 两点,点 P 是抛 物线 C 上异于 A,B 的一点,若直线 PA,PB 分别与直线 y=2 相交于点 Q,R,O 为坐 → → 标原点,则OP· OQ=________.
2 x2 x2 x0 1 2 x1, ?,B?x2, ?,P?x0, ?,Q(x3,2), 解析 设 A? 8? 8? 8? ? ? ?

R(x4,2).将 y=2x-2 代入 x2=8y 得 x2-16x+16=0,则 x1+x2=x1x2=16.直线 PA 的方 x2 x2 0 1 - 8 8 x0+x1 x2 x2 0 0 程为 y- = (x-x0),即 y- = (x-x0). 8 x0-x1 8 8 x1x0+16 x2x0+16 x1x0+16 x2x0+16 令 y=2,解得 x3= ;同理可得 x4= .所以 x3x4= × = x1+x0 x1+x0 x1+x0 x2+x0
2 → → x2x1x2 16(x2x1+16x0+x2 0+16x0(x1+x2)+16 0) = =16,所以OR· OQ=x3x4+4=20. 2 x2x1+16x0+x0 x2x1+16x0+x2 0 x2 y2 【31】已知 B 是椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)上的一点,F 是椭圆右焦点, a b

3? 且 BF⊥x 轴,B? ?1,2?.(1)求椭圆 E 的方程;(2)设 A1 和 A2 是长轴的两个端点,直线 l 垂直于 A1A2 的延长线于点 D,|OD|=4,P 是 l 上异于点 D 的任意一点.直线 A1P 交椭圆 E 于 M(不 → → 同于 A1,A2),设 λ=A2M· A2P,求 λ 的取值范围. 解 (1)依题意半焦距 c=1,左焦点为 F′(-1,0).则 2a=|BF|+|BF′|, 3? 3 5 2 2 2 2 2 由 B? ?1,2?,|BF|=2,由距离公式得|BF′|=2,2a=4,a=2,b =a -c =2 -1 =3. x2 y2 所以椭圆 E 的方程为 + =1. 4 3 3 2 (2)由(1)知,A1(-2,0),A2(2,0).设 M(x0,y0).∵M 在椭圆 E 上,∴y0 = (4-x2 0). 4
9

6y0 → → → → 由 P,M,A1 三点共线可得 P∴A2M=(x0-2,y0),A2P=?2,x +2?.∴A2M· A2P=2(x0-2)

?

0

?



6y2 5 → → 0 = (2-x0),∵-2<x0<2,∴λ=A2M· A2P∈(0,10). x0+2 2

★k 参
y2 x2 【32】 如图, 曲线 C 由上半椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0, y≥0)和部分抛物线 C2: y=-x2+1(y≤0) a b 连接而成,C1 与 C2 的公共点为 A,B,其中 C1 的离心率为 3 . 2

(1)求 a, b 的值; (2)过点 B 的直线 l 与 C1, C2 分别交于点 P, Q(均异于点 A, B), 若 AP⊥AQ, 求直线 l 的方程. 解 (1)在 C1,C2 的方程中,令 y=0,可得 b=1,且 A(-1,0),B(1,0)是上半椭圆 C1 c 3 的左、右顶点.设 C1 的半焦距为 c,由 = 及 a2-c2=b2=1 得 a=2.∴a=2,b=1. a 2 y2 (2)由(1)知,上半椭圆 C1 的方程为 +x2=1(y≥0). 4 易知,直线 l 与 x 轴不重合也不垂直,设其方程为 y=k(x-1)(k≠0), 代入 C1 的方程,整理得(k2+4)x2-2k2x+k2-4=0.(*) 设点 P 的坐标为(xP,yP),∵直线 l 过点 B,∴x=1 是方程(*)的一个根. 由求根公式,得 xP=
2 k2-4 -8k ?k -4, -8k ?. ,从而 y = ,∴点 P 的坐标为 ?k2+4 k2+4? P k2+4 k2+4 ? ?

?y=k(x-1)(k≠0), ? 同理,由? 得点 Q 的坐标为(-k-1,-k2-2k). 2 ?y=-x +1(y≤0) ?

→ → → → -2k2 2k ∴AP= 2 (k,-4),AQ=-k(1,k+2).∵AP⊥AQ,∴AP· AQ=0,即 2 [k-4(k+ k +4 k +4 8 8 2)]=0,∵k≠0,∴k-4(k+2)=0,解得 k=- .经检验,k=- 符合题意,故直线 l 的方 3 3 8 程为 y=- (x-1). 3 【33】 (韦达定理)已知椭圆 C 的中心为坐标原点 O,一个长轴端点为(0,2), 短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形,直线 l 与 y 轴交于点 P(0,m),与椭圆 C 交于相 → → 异两点 A,B,且AP=2PB.(1)求椭圆方程;(2)求 m 的取值范围. y2 x2 解 (1)椭圆方程为 + =1. 4 2 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),由题意,直线 l 的斜率存在,设其方程为 y=kx+m,与椭圆方
?y2+2x2=4, ? 程联立即? 则(2+k2)x2+2mkx+m2-4=0,Δ=(2mk)2-4(2+k2)(m2-4)>0, ? y = kx + m , ? 10

? ?x +x =-2+k , 且知? m -4 x= . ? ?x · 2+k
1 2 2 2 1 2 2

2mk

→ → 又AP=2PB,即有(-x1,m-y1)=2(x2,y2-m).∴-x1=2x2,

? ?x1+x2=-x2, m2-4 ? 2mk2?2,整理得(9m2-4)k2=8-2m2,又 9m2-4=0 时不 ∴? ∴ 2 =-2 2 ?2+k ? 2 + k ?x1x2=-2x2. ?

8-2m2 2 2 4 -2,- ?∪? ,2?. 成立,∴k2= 2 >0,得 <m2<4,此时 Δ>0.∴m 的取值范围为? 3? ?3 ? ? 9 9m -4

横向总结:
的常见方法及对应本讲义中例题:_______________________________________; ______________________________________________________________________.

的常见方法对应本讲义中例题:_________________________________________; _____________________________________________________________________.

ex ln x , y ? x ln x, y ? 几个模型函数 y ? xe , y ? 的额神奇变换和作用. x x
x

【34】 (2016 四川适应性考试)

【35】函数 y ?

2x 的图象大致为( D ) ln x

C. D. 【36】(2016 树德模拟)已知函数 f ( x) ? ln x ? mx (0 ? x ? a) , 若 ? a, m ,使 f ( x) 有两个不 1 1 1 ln 4 (3, ), ( e, ), 同的零点, 则称实数对 (a, m) 为 f ( x) 的―D-S-P‖点, 那么在 ( ,? ) , 2 e 4 3 e 5 ln 2 3 (2e, ) , (e 2 , 2 ) , (e 3 , 2 ) 中 (其中 e 为自然对数的底数) , f ( x) 的 ―D-S-P‖ 点有 e e 2e
__________个. 导数问题三大高数背景之—泰勒展开式相关联的高中背景总结.

A.

B.

sin x ? x , (1 ? ) n ? e ? (1 ? ) n ?1 ) 【37】 证明并记住: 1. 2. . ln(1 ? x) ? x(当 n ? N ? 时,
11

1 n

1 n

3. e x ? 1 ? x( x ? 0)

) 1 ? ? 构造函数 f ( x) ? x ? ln(1 ? x) , 则 f ?( x

1 x ? 0 ? . 所以函数 f ( x ) 在 (0, ??) 上 1? x 1? x
n ?1

? 1? 单调递增, f ( x) ? f (0) ? 0 ,所以 x ? ln(1 ? x) ,即 ln(1 ? x) ? x .要证 ?1 ? ? ? n?
边取对数,即证 ln ?1 ?

? e, 两

? ?

1 1 1? 1 (t ? 1), 因此得不等式 , 事实上:设 1 ? ? t , 则 n ? ?? n t ?1 n ? n ?1

1 1 ln t ? 1 ? (t ? 1) 构造函数 g (t ) ? ln t ? ? 1(t ? 1), 下面证明 g (t ) 在 (1, ??) 上恒大于 0. t t 1 1 g ?(t ) ? ? 2 ? 0, ∴ g (t ) 在 (1, ??) 上单调递增, g (t ) ? g (1) ? 0, t t 1 1 ? 1? 即 ln t ? 1 ? , ∴ ln ?1 ? ? ? , t ? n ? n ?1
切线条数问题和应用问题: 【38】 (全国卷)已知函数 f ( x) ? x 3 ? x . (1)求曲线 y ? f ( x) 在点 M (t,f (t )) 处的切线 方程; (2) 设a?0, 如果过点 (a,b) 可作曲线 y ? f ( x) 的三条切线, 证明:? a ? b ? f (a ) . 解: (1) f ?( x) ? 3 x 2 ? 1 . y ? f ( x) 在点 M (t,f (t )) 处的切线方程为

? 1? ∴ ?1 ? ? ? n?

n ?1

? e,

y ? f (t ) ? f ?(t )( x ? t ) ,即 y ? (3t 2 ? 1) x ? 2t 3 .
2 3 (2)如果有一条切线过点 (a,b) ,则存在 t ,使 b ? (3t ? 1)a ? 2t .

若过点 (a,b) 可作曲线 y ? f ( x) 的三条切线,则方程 2t 3 ? 3at 2 ? a ? b ? 0 有三个相异 的实数根.记

g (t ) ? 2t 3 ? 3at 2 ? a ? b ,则 g ?(t ) ? 6t 2 ? 6at ? 6t (t ? a) .

当 t 变化时, g (t ),g ?(t ) 变化情况如下表:

t

(??, 0)
?

0 0 极大值

(0,a)
?

a
0 极小值

(a, ? ?)
?

g ?(t ) g (t )

?

a?b

?

b ? f (a )

?

如果过 (a,b) 可作曲线 y ? f ( x) 三条切线,即 g (t ) ? 0 有三个相异的实数根,则

12

?a ? b ? 0, 即 ? a ? b ? f (a ) . ?11 ? m ? 16 ;因此所求实数 m 的范围为: (?11,16) ? ?b ? f (a ) ? 0.
【39】已知函数 f ( x) ? ? x ? 6x ? 9x ,若过点 P(?1, m) 可作曲线 y ? f ( x) 的三
3 2

条切线,则实数 m 的取值范围是____________. 解:设切点 Q (t , f (t )) , y ? f (t ) ? f (t )( x ? t )
,

y ? (?3t 2 ? 12t ? 9)( x ? t ) ? (?t 3 ? 6t 2 ? 9t ) ? (?3t 2 ? 12t ? 9) x ? t (3t 2 ?12t ? 9) ? t (t 2 ? 6t ? 9) ? (?3t 2 ? 12t ? 9) x ? t (2t 2 ? 6t ) 过 (?1, m) m ? (?3t 2 ? 12t ? 9)(?1) ? 2t 3 ? 6t 2

g (t ) ? 2t 3 ? 2t 2 ?12t ? 9 ? m ? 0 ,令 g '(t ) ? 6t 2 ? 6t ?12 ? 6(t 2 ? t ? 2) ? 0 ,
求得: t ? ?1, t ? 2 ,方程 g (t ) ? 0 有三个根。

? g (?1) ? 0 ??2 ? 3 ? 12 ? 9 ? m ? 0 ?m ? 16 ?? ?? ? g (2) ? 0 ?16 ? 12 ? 24 ? 9 ? m ? 0 ?m ? ?11 1 2 【40】已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? ( a ? 1) x ( a ? 0 ) .记函数 y ? F ( x) 的图象为曲线 2
需: ?

C. 设点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 是曲线 C 上的不同两点. 如果在曲线 C 上存在点 M ( x0 , y0 ) ,
使得: ① x0 ?

x1 ? x2 ; ②曲线 C 在点 M 处的切线平行于直线 AB , 则称函数 F ( x) 存在―中 2

值相依切线‖.试问:函数 f ( x ) 是否存在―中值相依切线‖,请说明理由.

1 解: (Ⅰ) 易知函数 f ( x ) 的定义域是 (0, ??) , f '( x) ? ? ax ? a ? 1 ? ? x

1 a( x ? 1)( x ? ) a . x

(Ⅱ)假设函数 f ( x ) 存在―中值相依切线‖.设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 是曲线 y ? f ( x) 上的不 同 两 点 , 且

0 ? x1 ? x2





k AB ?

y2 ? y1 x2 ? x1

1 (ln x2 ? ln x1 ) ? a( x2 2 ? x12 ) ? (a ? 1)( x2 ? x1 ) 2 ? x2 ? x1

?

ln x2 ? ln x1 1 ? a( x1 ? x2 ) ? (a ? 1) 曲线在点 M ( x0 , y0 ) 处的切线斜率 x2 ? x1 2
x1 ? x2 x ?x 2 ) ? ? a ? 1 2 ? (a ? 1) , 2 x1 ? x2 2

k ? f ?( x0 ) ? f ?(

依题意得:

ln x2 ? ln x1 1 x ?x 2 ? a( x1 ? x2 ) ? (a ? 1) ? ? a ? 1 2 ? (a ? 1) . x2 ? x1 2 x1 ? x2 2
13

化简可得:

ln x2 ? ln x1 x 2( x2 ? x1 ) 2 ? ,即 ln 2 = ? x2 ? x1 x1 ? x2 x1 x2 ? x1

2(

x2 ? 1) x1 . x2 ?1 x1




2(t ? 1) 4 4 x2 ? 2? ? 2. ,上式化为: ln t ? ,即 ln t ? ? t ( t ? 1) t ?1 t ?1 t ?1 x1 4 1 4 (t ? 1)2 , g '(t ) ? ? . ? t ?1 t (t ? 1) 2 t (t ? 1)2

g (t ) ? ln t ?

因为 t ? 1 ,显然 g '(t ) ? 0 ,所以 g (t ) 在 (1, ??) 上递增,显然有 g (t ) ? 2 恒成立. 所以在 (1, ??) 内不存在 t ,使得 ln t ?

4 ? 2 成立. t ?1

综上所述,假设不成立.所以,函数 f ( x ) 不存在―中值相依切线‖. 【41】 (应用一:平行切线法)若实数 则 (A) 的最小值为( D ) (C) 2 2 (D) 8 满足 ,

2

(B) 2

【42】 (应用二:临界切线法)(2015 高考天津,理 8)已知函数 f ? x ? ? ?

? ?2 ? x , x ? 2, ? ?? x ? 2 ? , x ? 2,
2



数 g ? x ? ? b ? f ? 2 ? x ? ,其中 b ? R ,若函数 y ? f ? x ? ? g ? x ? 恰有 4 个零点,则 b 的取 值范围是_______________. ?

?7 ? ,2? ?4 ?

错位排列问题分布,枚举或者记住公式法: 【43】将数字 1,2,3,4 填入标号为 1,2,3,4 的四个方格里,每格填一个数,则每个方 格的标号与所填数字均不相同的填法有( B ) A、6 种 B、9 种 C、11 种 D、23 种 分配问题之----有序分配问题逐分法(均分带序,非均分无序): 【44】 (经典引例)将 6 本不同的书 (1)分给甲乙丙三人,每人各得两本,有多少种分法? (2)分成三堆,每堆 2 本,有多少种分法? (3)分给三人,甲得 1 本,乙得 2 本,丙得 3 本,有几种分法? (4)分成三堆,一堆 1 本,一堆 2 本,一堆 3 本,有几种分法? (5)分给三人,一人得 1 件,一人得 1 件,一人得 4 件,有几种分法? (6)分成 3 堆,一堆 1 本,一堆 1 本,一堆 4 本,有几种分法?
14

(7)在 3 人中分,可以有人没被分到,有几种分法? 【45】按下列要求把 12 个人分成 3 个小组,各有多少种不同的分法? (1)各组人数分别为 2,4,6 人; (2)平均分成 3 个小组; (3)平均分成 3 个小组,进入 3 个不同车间。 【46】有甲乙丙三项任务,甲需 2 人承担,乙丙各需一人承担,从 10 人中选出 4 人承担这 三项任务,不同的选法种数是( ) A、1260 种 B、2025 种 C、2520 种 D、5040 种 解析:先从 10 人中选出 2 人承担甲项任务,再从剩下的 8 人中选 1 人承担乙项任务,第三
2 1 1 步从另外的 7 人中选 1 人承担丙项任务,不同的选法共有 C10 C8C7 ? 2520 种,选 C .

【47】12 名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查,若每个路口 4 人,则不同的分配 方案有( A )
4 4 A、 C12 种 C84C4 4 4 B、 3C12 种 C84C4 4 3 C、 C12 种 C84 A3

D、

4 4 C12 C84C4 种 3 A3

对应原理 【48】例 30030 能被多少个不同偶数整除? 解析:先把 30030 分解成质因数的形式:30030=2× 3× 5× 7× 11× 13; 依题意偶因数 2 必取,3, 5,7,11,13 这 5 个因数中任取若干个组成成积,所有的偶因数为
0 1 2 3 4 5 C5 ? C5 ? C5 ? C5 ? C5 ? C5 ? 32 个.

【49】一楼梯共 10 级,如果规定每次只能跨上一级或两级,要走上这 10 级楼梯,共有多少 种不同的走法? 分析: 设上 n 级楼梯的走法为 an 种, 易知 a1=1,a2=2,当 n≥2 时, 上 n 级楼梯的走法可分两类: 第一类:是最后一步跨一级,有 an-1 种走法,第二类是最后一步跨两级,有 an-2 种走法,由 加 法 原 理 知 : an=an-1+ an-2, 据 此 , a3=a1+a2=3,a4=a#+a2=5,a5=a4+a3=8,a6=13,a7=21,a8=34,a9=55,a10=89.故走上 10 级楼梯共有 89 种 不同的方法。 【50】 (2016 全国卷题源) 某城市的街区有 12 个全等的矩形组成, 其中实线表示马路,从 A 到 B 的最短路径有多少种?解析:可
4 走法有 C7 种.

B

A

第二部分 题型,思想方法,技巧专题总结(含复习方法示范)之--易错点总结 方法示范 如:大层次 (一)审题易错 (二)计算易错等 小层次(尽量具体化,明确化) (一)审题易错包含: 1.忽略大前提 再具体化,常见的地方有______________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________. 2.因果逻辑顺序出错
15

再具体化,常见的地方有______________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________. 3.题意和概念理解出错 再具体化,常见的地方有______________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________. 4.看错,看漏 再具体化,常见的地方有______________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________. 再具体化,比如下角标常见的错误地方有____________________________ ________________________________________________________________. (二)计算易错等 1.正负号易错 再具体化,常见的地方有(示范) :1、移项时 2、一正、二定、三相等 3、向量的坐标计算时 4、向量的数量积计算时 5、立体几何坐标法求二 面角 6、三角函数的符号,特别是诱导公式 7、复数运算中 i 的平方 8、某些需要考虑符号的地方(如有根号,绝对值,或者有条件限制的地方) 9、换行抄错 10、(继续填) 2. 忘记乘 2(3,k) ,除 2(3,k) , 再具体化,常见的地方有(照老师示范总结) :_________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________. 3. 忘记乘方,开方,开方忘记弦加绝对值。 。 。 。 。 。 。 (再具体到哪些地方?) 计算--之大于,小于符号弄反 计算--之通分,打开括号,。 。 。计算--之。 。 。 (授人以鱼不如授人以渔,自己先悟悟然后结合自己情况尝试,改进) (三)自己继续…..
【1】 (审题之概念问题) ( x ? x 3 ) 的展开式中二项式系数最大的项 是 ______________.
10
5 ?252 x 3 。 T6 ? C 10 (?1)5 x 3 ? ?252 x 3
25

2

25

25

a 【2】 (审题因果语法顺序问题)对于非零实数 a、b,―b(b-a)≤0‖是― ≥1‖的( b A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件?

)A

【3】 (计算之正负号范围问题)与函数 y ? A. y ? x ? 2 x
1 6 2

? 2 x 3 表示相同函数的是
C. y ? ? x ? 2 x D. y ? ? x 2 ? 2 x

B. y ? ? 2 x 3

【4】化简[(-2) ] -(-1)0 的结果为_____________.7.

16

【5】 (计算之正负号范围问题).已知 tan 2 ? k ,则 cos2 ? __________ __. 【6】 (审题之看错看漏)定义在[-2,2]上的奇函数 f(x)在(0,2]上的图象如右图所 示,则不等式 f ( x) ? ?

1 的解集为______________. 2

【7】 (审题之______) 已知方程 x 2 ? 4ax ? 3a ? 1 ? 0( a 为大于 1 的常数) 的两根为 tan? ,

t an ? ,且 ? 、 ? ? (?

? ?
2 , 2

) ,则 tan

???
2

的值是

.

【8】 (审题之____)? ?Ⅱ,其终边上一点 P( x, 5) ,且 cos ? ?

2 x, 则 sin ? 的值是 4
.

.

【9】 (审题之____) ( 1 ? 2x) n ? a0 ? a1 x ? ... ? a2016 x n ,则 a1 ? a2 ? ... ? a2016 ? 【10】正项数列 ?an ? 中, a2 ? 3, Sn ?

an 2 ? 2an ? p (n ? N * ) ,则实数 p=__________. 4

17


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