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浙江省台州中学2014届高三上学期第三次统练数学理试题


台州中学 2014 届高三上学期第三次统练数学理试题
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.设集合 A ? ?x | log 2 x ? 1 ? 0?, B ? y | y ? 3 , x ? R ,则 ?C R A? ? B ?
x

?

?

A. ? 0, ? 2

? ?

1? ?

B. ? 0, ?

? ?

1? 2?

C. ?0,1?

D. ?0,1?

2.已知双曲线

y 2 x2 x2 y2 ? 2 ? 1 与椭圆 ? ? 1 共顶点,且焦距是 6,此双曲线的渐近线是 a2 b 4 5
5 x 3
B. y ? ?

A. y ? ?

5 x 2

C. y ? ?

3 5 x 5

D. y ? ?

2 5 x 5

3.已知 a, b ? R,条件 p:“ a ? b ”,条件 q:“ 2 a ? 2 b ? 1”,则 p 是 q 的 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 S 4.设 S n 为等比数列 {an } 的前 n 项和,若 8a2 ? a5 ? 0 ,则 4 ? S2 A. ?8 B. 5 C. 8 5.如图 1 所示,正△ABC 中,CD 是 AB 边上的高, E、F 分别是 AC、BC 的中点.现将△ACD 沿 CD 折起,使平面 ACD ? 平面 BCD(如图 2) ,则下 列结论中不正确的是 A.AB//平面 DEF B.CD⊥平面 ABD C.EF⊥平面 ACD D.V 三棱锥 C—ABD=4V 三棱锥 C—DEF D. 15 A.充分不必要条件 C.充分必要条件

??? ???? ? ? ?| OP ? OM |? 12 ? 6.已知点 P(3,3) ,Q(3,-3) 为坐标原点,动点 M(x, y)满足 ? ???? ???? ,O ,则点 ? ?| OQ ? OM |? 12 ?
M 所构成的平面区域的面积是 A.12 C.32 B.16 D.64

7.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三 角形,则这个几何体的

A.外接球的半径为

3 3

B.体积为 3

C.表面积为 6 ? 3 ? 1

D.外接球的表面积为

16? 3

8.直线 (a ?1) x ? y ? a ? 3 ? 0(a ? 1) ,当此直线在 x, y 轴的截距和最小时,实数 a 的值是 A. 1 B.

2

C. 2

D. 3

9.设 △ABC 的内角 A B,C 所对的边长分别为 a,b,c ,且 a tan B ? , 则 b 的最小值是 A. 2
3

20 , b sin A ? 4 , 3

B. 3
2

C. 4

D. 5

10.已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d 在 O , A 点处取到极值,其中 O 是坐标原点, A 在 曲线 y ? x sin x ? x cos x, x ? ?
2

? ? 2? ? 上,则曲线 y ? f ( x) 的切线的斜率的最大值的 , ?3 3 ? ?

最大值是

A.

3? 4

B.

3 2

C.

3 3? 3 ? 4 4

D.

3 3? 3 ? 4 4

二、填空题:本大题共 7 小题, 每小题 4 分, 共 28 分。 11.已知 i 是虚数单位,复数 z ?

1 ? 2i 的虚部是 1? i


. .

12.执行如图所示的程序框图,则输出的 k 值是 13. ( x 2 ? 2)( ? 1)5 的展开式的常数项是

1 x

14.从 6 名候选人中选派出 3 人参加 A 、 B 、 C 三项活动,且每项活动有 且仅有 1 人参加,甲不参加 A 活动,则不同的选派方法有 种. 15.已知抛物线 y ? 2 px 与椭圆
2

是 否

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 有相同的 a 2 b2

焦点 F , P 是两曲线的公共点,若 PF ? 离心率为 .

5 p ,则此椭圆的 6

16.随机变量 ? 的分布列如右:其中 a,2b, 列,若 E? ?

3 c 成等差数 2

?

?1

0 b
D

1

1 P ,则 D? 的值是 . 4 17.如图,在菱形 ABCD 中, ?BAD ? 60? , AB ? 4 , E 是 ??? ??? ? ? ?BCD 内部任意一点, AE 与 BD 交于点 F ,则 AF ? BF
的最小值是 . 三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤. 18. (本题满分 14 分)

a

c
C

E F A

第 17 题图

B

在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a, b, c ,已知函数 f ( x) ? cos x ? cos(x ? A) ?

1 cos A 2

( x ? R) .

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期和最大值; (Ⅱ)若函数 f (x) 在 x ?

?
6

处取得最大值,且 AB ? AC ? 2 ,求 ?ABC 的面积 S .

??? ??? ? ?

19. (本题满分 14 分) 设公比大于零的等比数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n ,且 a1 ? 1 ,

2 ? S 4 ? 5S 2 ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,满足 b1 ? 1 , Tn ? n bn , n ? N . (Ⅰ)求数列 ?a n ? 、 ?bn ?的通项公式; ? (Ⅱ)满足 bn ? 对所有的 n ? N * 均成立, an 求实数 ? 的取值范围.

P

20. (本题满分 14 分) 如图,已知四棱锥 P-ABCD 的底面为菱形,且∠ABC =60?, A AB=PC=2,AP=BP= 2 . (Ⅰ)求证:平面 PAB⊥平面 ABCD ; (Ⅱ)求二面角 A-PC-D 的平面角的余弦值. 21. (本题满分 15 分) 已知抛物线 C : x ? 2 py( p ? 0) 的焦点为 F (0,
2

B

D

(第 20 题图)

C

p ) ,准线为 l , 2

点 P( x0 , y 0 )( y o ? p) 为抛物线 C 上的一点,且 ?FOP 的外接圆 圆心到准线的距离为

3 . 2
2 2

(I)求抛物线 C 的方程; (II)若圆 F 的方程为 x ? ( y ? 1) ? 1 ,过点 P 作圆 F 的 2 条切
第 21 题图

线分别交 x 轴于点 M , N ,求 ?PMN 面积的最小值时 y 0 的值. 22. (本题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ? x ln x ? ax(a ? R) . (I) 当 a ? 0 ,求 f ( x) 的最小值; (II) 若函数 g ( x) ? f ? x ? ? ln x 在区间 ?1, ?? ? 上为增函数,求实数 a 的取值范围; (III)过点 P(1, ?3) 恰好能作函数 y ? f ( x) 图象的两条切线,并且两切线的倾斜角互补, 求实数 a 的取值范围.

台州中学 2013 学年第一学期第三次统练试题 高三
1-10 11. ABABC CDDCA

数学(理科)答案

1 11 1 12. 3 13. ? 12 14. 100 15. 16. 17. ?1 2 2 16 三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本题满分 14 分)
解: (Ⅰ)依题意, f ( x) ? cos2 x cos A ? cos x sin x sin A ?

1 cos A …………2 分 2 1 1 ? (cos 2 x ? cos A ? sin 2 x ? sin A) ? cos(2 x ? A) ………5 分 2 2

所以函数 f ( x) 的最小正周期是 ? , f ( x) 有最大值 (Ⅱ)由(I)知:由

?
3

? A ? 2k? , k ? Z ,得 A ?

?
3

1 . 2

……………7 分

? 2k? ? (0, ? ) , 所以 A ?

?
3



又 AB ? AC ? 2 ,所以 bc ? 4 .

??? ??? ? ?

1 S?ABC ? bc sin A ? 3 2
19. (本题满分 14 分) 解: (Ⅰ)由 S 4 ? 5S 2 , q ? 0, 得 又?

……………14 分

q ? 2, an ? 2 n ?1
bn n ?1 ? ( n ? 1) , bn ?1 n ? 1

……… …3 分

? ?Tn ? n bn
2 2

?Tn ?1 ? ( n ? 1) bn ?1 ? b b b b n ?1 n ? 2 n ? 3 2 1 2 ? ? ?? ? ? ? 则得 n ? n ?1 ? n ? 2 ?? ? 2 ? bn ?1 bn ?2 bn ?3 b1 n ? 1 n n ? 1 4 3 n(n ? 1) 2 所以 bn ? ,当 n ? 1 时也满足. ……………7 分 n(n ? 1)
(Ⅱ)设 cn ? anbn ,则 cn ?

?

2n , n(n ? 1)

2n ?1 2n 2n ?1 n ? 2n (n ? 2) 2n (n ? 2) ? ? ? (n ? 1)(n ? 2) n(n ? 1) n(n ? 1)(n ? 2) n(n ? 1)(n ? 2) 即 c1 ? c2 ? c3 ? c4 ? c5 ? ? 2 当 n ? 2 或 3 时 , cn 的 最 小 值 是 , 所 以 3 cn ?1 ? cn ?

??

2 . 3

……………14 分 H

P

20. (本题满分 14 分) 解: (Ⅰ)如图 1 所示,取 AB 中点 E,连 PE、CE. 则 PE 是 等 腰 △PAB 的 底 边 上 的 中 线 , 所 以 PE⊥AB.……………2 分 PE=1,CE= 3 ,PC=2,即 PE 2 ? CE 2 ? PC 2 . 由勾股定理可得,PE⊥CE.……………4 分 D

F

A

E

B

(第 20 题图 1)

C

又因为 AB?平面 ABCD,CE?平面 ABCD, 且 AB∩CE=E,所以 PE⊥平面 ABCD. ……………5 分 而 PE?平面 PAB, 所以平面 PAB⊥平面 ABCD.……………7 分 (Ⅱ) (方法 1)如图 1,在 Rt△PEC 中,过点 E 作 EF⊥PC 于点 F,连 AF. 过 A 作平面 PCD 的垂线,垂足为 H,连 FH. 因为 AE⊥EC,AE⊥PE,所以 AE⊥平面 PEC,于是 AE⊥PC. 又 EF⊥PC,所以 PC⊥平面 AEF,故 PC⊥AF. 已有 PC⊥AH,可得 PC⊥平面 AFH,所以 PC⊥FH. 故∠AFH 是二面角 A-PC-D 的平面角. ……10 分 由 AB⊥平面 PEC 知 EF⊥AB,又 AB∥CD,所以 EF⊥CD. 而已有 EF⊥PC,所以 EF⊥平面 PCD.又因为 AH⊥平面 PCD,所以 AH∥EF. 由于 AB∥平面 PCD,所以 A、E 两点到平面 PCD 的距离相等,故 AH=EF. 所以 AEFH 是矩形,∠AFH=∠EAF. ……………13 分

3 7 AE 2 ,AF= ,所以 cos ?EAF ? ? 7. 2 2 AF 7 2 即二面角 A-PC-D 的平面角的余弦值是 ……………14 分 7. 7 (方法 2)以 AB 中点 E 为坐标原点,EC 所在直线为 x 轴,EB 所在直线为 y 轴,EP 所在直线 为 z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 则 A(0,-1,0) ,C( 3 ,0,0) ,D( 3 ,-2,0) ,P(0,0,1) , ???? ??? ? z , , AC =( 3 ,1,0) PC =( 3 ,0,-1) P ???? . ……………9 分 DC =(0,2,0) ?? ? 设 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) 是平面 PAC 的一个法向量, ?? ???? ? ? 3 x1 ? y1 ? 0 ? n1 ? AC ? 0 ? ? 则 ? ?? ??? ,即 ? . ? ? ? n1 ? PC ? 0 ? 3 x1 ? z1 ? 0 ? ? E B A 取 x1 ? 1 ,可得 y1 ? ? 3, z1 ? 3 , y ?? ? n1 ? (1, ? 3, 3) . …………11 分 ?? ???? ? C D ? n2 ? DC ? 0 ?? ? ? (第 20 题图 2) x 则 ? ?? ??? 设 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) 是平面 PCD 的一个法向量, , 即 ? ? ? n2 ? PC ? 0 ?
在 Rt△AEF 中,AE=1,EF=

?? ? 取 x2 ? 1 ,可得 y2 ? 0, z2 ? 3 , n2 ? (1,0, 3) . ……13 分 ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? n ? n2 2 2 ? ? 7 ,即二面角 A-PC-D 的平面角的余弦值是 故 cos ? n1 , n2 ?? ??1 ?? ? 7. 7 | n1 || n2 | 7
……………14 分 21. (本小题满分 15 分) 解: (I) ?FOP 的外接圆的圆心在直线 OF,FP 的中垂线交点上,且直线 OF 的中垂线为直线 y ? 则圆心的纵坐标为

? 2 y2 ? 0 ? . ? ? 3 x2 ? z2 ? 0 ?

p , 2

p …………………………………………………1 分 4

故到准线的距离为 从而 p=2,即 C 的方程为

p p 3 ? ? ………… ……………2 分 2 4 2

x 2 ? 4 y. ………………………………………………5 分 (II)设过点 P 斜率存在的直线为 y ? y 0 ? k ( x ? x0 ) ,则点 F(0,1)到直线的距离
d?
令 d=1,则

y0 ? k x ? 1 k 2 ?1

。…………………………………………7 分

y 0 ? k x0 ? 1 k 2 ?1 2 2 所以 ( x0 ? 1)k 2 ? 2 x0 ( y 0 ? 1)k ? y 0 ? 2 y 0 ? 0 。
设两条切线 PM,PN 的斜率分别为 k1 , k 2 ,则

? 1,

2 x0 ( y 0 ? 1) y 2 ? 2 y0 , k1 k 2 ? 0 2 ,…………………………………9 分 2 x0 ? 1 x0 ? 1 且直线 PM: y ? y 0 ? k1 ( x ? x0 ) ,直线 PN: y ? y 0 ? k 2 ( x ? x0 ) ,故 k1 ? k 2 ? M ( x0 ?
因此

y0 y ,0) , N ( x 0 ? 0 ,0 ) k1 k2
y0 y0 k1 ? k 2 ( k1 ? k 2 ) 2 ? 4 k1 k 2 MN ? ? ? y0 ? y0 ? k 2 k1 k1 k 2 k1 k 2
2 8 y0 ? 4 y0 ……11 分 ( y 0 ? 2) 2

所以 S ?PMN 设 f (t ) ?

1 ? MN y 0 ? 2

2 2 y 0 (2 y 0 ? y 0 ) ( y 0 ? 2) 2

……………… 12 分

t 2 (2t ? t 2 ) ,则 (t ? 2) 2

f ?(t ) ?

2t 2 (?3t ? t 2 ? 6) , (t ? 0) (t ? 2)3

令 t 2 ? 3t ? 6 ? 0 ,则 t

?

3 ? 33 3 ? 33 (舍)或t ? 。 2 2

3 ? 33 3 ? 33 上单调递增,因此 ( , ?) ? ) 上单点递减,在 f (t ) 在 (2, 2 2 3 ? 33 f min (t ) ? f ( ) 2
从而 [ S ?PMN ] min ? 此时 y 0 ?

f(

3 ? 33 9 ? 33 )? 54 ? 10 33 , 2 16

3 ? 33 .……………………………………………………………15 分 2

22. (本题满分 15 分) . 解: (I) f ( x)的定义域为(0, ??)

1 f ?( x) ? ln x ? 1, 令f ?( x) ? 0, 得 : x ? , e

………………1 分

当x ? (0, ??)时, f ?( x), f ( x) 的变化的情况如下: 1 1 x (0, ) e e
f ?( x)
— 0 极小值

1 ( , ??) e
+

f ( x)

………………3 分

1 e 1 (II) 由题意得: g ?( x) ? ln x ? a ? 1 ? x ? 函数 g ( x) 在区间 ?1, ?? ? 上为增函数,
x

所以, f ( x)在(0, ??)最小值是f ( ) ? ? .

1 e

………………4 分 ……………5 分

?当 x ? ?1, ?? ? 时 g ?( x) ? 0 ,即 ln x ? 1 ? ? ? a ? 1? 在 ?1, ?? ? 上恒成立, ? h( x) ? ln x ? 1 , x 1 1 x ?1 h?( x) ? ? 2 ? 2 , x x x ? h( x) ? ln x ? 1 在 ?1, ?? ? 上递增 x ? ? a ? 1? ? h(1) ? 1 , ? a ? ?2
(III)设两切点 A( x1 , f ( x1 )) , B( x2 , f ( x2 )) , ………………7 分

………10 分

f ?( x) ? ln x ? 1 ? a 则函数 y ? f ( x) 在 A, B 处的切线方程分别为 y ? (ln x1 ? 1 ? a) ? x ? x1 ? ? x1 ln x1 ? ax1 ? (ln x1 ? 1 ? a) x ? x1 ,
y ? (ln x2 ? 1 ? a) ? x ? x2 ? ? x2 ln x2 ? ax2 ? (ln x2 ? 1 ? a ) x ? x2
且 ln x1 ? 1 ? a ? ln x2 ? 1 ? a ? 0

?ln x1 ? ln x2 ? 2(1 ? a ) ? 0 ? 即 ?ln x1 ? 1 ? a ? x1 ? ?3 ?ln x ? 1 ? a ? x ? ?3 2 ? 2
即 x1 , x2 是方程 t ? 6t ? e
2 ?2( a ?1)

也即 ?

? x1 x2 ? e ?2(1? a) ? x1 ? x2 ? 6

? 0 的两个正根
………………15 分

? ? ? 36 ? 4e a ? ?1 ? ln 3

?2? a ?1?

?0


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