当前位置:首页 >> 理学 >>

推理2.7 逆向思维 正反相辅 巧用反函数


一般地说,当大家都朝着一个固定的思维方向思考问题时,而你

2.7

逆向思维

正反相辅

巧用反函数

却独自朝相反的方向思索, 这样的思维方式就叫逆向思维. 逆向思维 也叫求异思维, 它是是相对于习惯思维的另一种思维方式. 敢于“反 其道而思之”,让思维向对立面的方向发展,从问题的相反面深入地

司马光是北宋时最有名望的大臣之一,他是陕州夏县(今山西夏 县) 人. 他的名声, 从幼小的时候已经开始传开了. 据说他七岁那年, 就开始专心读书. 不论是大伏暑天, 或者数九寒冬, 他总捧着书不放, 有时候连吃饭喝水都忘了. 他不但读书用功,而且很机灵. 有一次, 他跟小伙伴们在后院子里玩耍. 院子里有一口大水缸, 有个小孩爬到 缸沿上, 一不小心, 掉到缸里. 缸大水深, 眼看那孩子快要没顶了. 别 的孩子们一见出了事,吓得一面哭喊,一面往外跑,找大人来救. 司 马光却顺手从地上捡起一块大石头,使尽力气朝水缸砸去. “砰”的 一声,水缸破了,缸里的水哗哗地流了出来,被淹在水里的小孩却得 救了. 有人落水, 常规的思维模式是“救人离水”, 而司马光砸缸, “让 水离人”,救了小伙伴性命. 这种思考方法叫做“逆向思维”. 有一道趣味题是这样的: 有四个相同的瓶子, 怎样摆放在桌面上, 才能使其中任意两个瓶口的距离都相等呢? 找到答案了吗?可能没有. 办法是什么呢?原来, 把三个瓶子放 在正三角形的顶点,将第四个瓶子倒过来放在三角形的中心位置,答 案就出来了. 把第四个瓶子“倒过来”,多么形象的逆向思维啊!

进行探索. 这样摆脱了思维定势,突破了旧有的思想框架,易于产生 新思想、发现新问题、提出新方案、创立新形象,所以逆向思维也是 创造性思维的重要成分,创新需要逆向思维. 实践证明,逆向思维是 一种重要的思考能力. 从思维学角度讲,对比联想就是一种逆向思维. 它可以理解为从 已有成果出发, 按照和已有成果相反的思考方向去发现问题和解决问 题的一种思维技巧. 人们在见到某种事物后,不是从它的相关,相似 点去思考,而是从事物的相反方向去联想,去寻求比较对象,从而拓 宽想像的领域和思维的空间,使人们的视野变得开阔起来. 亚里士多 德早在两千多年前就指出: “只有不断使自己的思维从已存在的一点 出发,或从已知事物的相似点,相近点或相反点出发,才能获得对事 物的新的看法,世界因此才不断前进. ”与常规的正向思维相反,倘 若从问题的反面去思考解决问题的方法和途径, 那么一个聪明的点子 就会轻松出台,有人把这种逆向思维方法所做“颠倒的聪明”. 常见的逆向思维有三个类型: 1.反转型逆向思维:这种方法是指从已知事物的结构、因果关

系等方面进行相反方向思考,产生构思的途径. 比如游人坐在封闭的 汽车里参观野生动物园里,别有一番情趣. 2.转换型逆向思维:这是指在研究问题时,由于解决这一问题 的手段受阻,而转换成另一种手段,或转换思考角度思考,以使问题 顺利解决的思维方法. 比如用充气电灯泡代替真空电灯泡, 钨丝通电 后就不容易发暗. 3.缺点逆用思维:这是一种利用事物的缺点,将缺点变为可利 用的东西,化被动为主动,化不利为有利的思维方法. 比如利用金 属腐蚀原理进行金属粉末的生产、进行电镀等用途 . 在数学学习中,如果从正面着手较复杂或较难,这时就要从辩证 思维的观点出发,克服思维定势的消极面,从问题本身或其中某个方 面的反面入手去进行思考,采用顺繁则逆、正难则反的思维策略. 也 就是说,当直接证明不易解决时,就考虑用反证法,当正向思维不能

这种对于某些数学问题,从正面解决有困难,灵活地进行逆向思 维, 转而向反面寻求问题解答的策略, 称为 “正反相辅” 的解题策略. 例 求证:三个不同素数的立方根,不能是等差数列.

解:这个问题是要证明某结果“不存在”. 由于结论是一个否定 判断“不能是等差数列的任意三项” ,很难入手,推理受阻. 但从三 个素数的立方根若是等差数列的三项, 却完全可以推下去. 于是我们 可以用反证法. 设三个素数 a、b、c 的立方根成公差为 d 的等差数列的三项,则
3

b ? 3 a ? n1d , 3 c ? 3 a ? n2d ,

这里, n1 ? n2 ,都是正整数, d ? 0 . 减少未知数,消去 d ,得
3 3

b ?3 a c? a
3

?

n1 . n2

去分母得 奏效时,就采用逆向思维去探索;即顺向推理有困难时就逆向推理, 直接证明有困难时就间接证明,正面求解有困难时就反向逆找,探求 问题的可能性有困难时就探求不可能性. 比如,用淘汰制在 1000 名 选手中挑选 1 名乒乓单打选手,要比赛多少场?先比赛 500 场,再比 赛 250 场,??这样求解并不简单,但是考虑每比赛一场总淘汰一位 选手,那么要淘汰 999 位选手,当然要比赛 999 场了,用逆推法不就 很简单吗?. 可以求得

n13 c ? n2 3 b ? (n1 ? n2 )3 a .

3 3 两边立方, n1 c ? n2 b ? 3n1n2 3 cb (n13 c ? n2 3 b ) ? (n1 ? n2 )3 a .

代入 n13 c ? n2 3 b ? (n1 ? n2 )3 a ,得
3 3 n1 c ? n2 b ? 3n1n2 3 cb ? (n1 ? n2 )3 a ? (n1 ? n2 )3 a .
3 3 n1 c ? n2 b ? (n1 ? n2 )a . 3n1n2 (n1 ? n2 )

3

abc ?

于是, 3 abc 是一个有理数,这是不可能的. 这个错误结果是由 于我们设 a、b、c 的立方根成等差数列而引起的. 这样就证明了原题 是正确的. 数学解题方法中,在运用逆向思维求解的方法中,有趣的是“反 向数学归纳法” ,或说是“从 n 到 n-1 的推论” :设 P(n)表示一个与 自然数 n 有关的命题,若 (1)P(n)对无数多个自然数 n 都成立; (2)假设 P(k+1)成立,可推出 P(k)也成立; 则 P(n)对一切自然数 n 都成立. 例 已知 f(x)是定义在 N 上,又在 N 上取值的函数,且

即有 f(x-1)≥f(x-2)+1≥f(x-3)+2≥?≥f(1)+x-2=x-1; 这样,f(x-1)=x-1. 问题就得证了. 在数学学习中,逆向思维的方法可从下面几个方面去考虑:第 一, 注意阐述定义的可逆性, 理解互逆概念; 第二, 注意公式的逆用, 逆用公式与顺用公式同等重要;第三,对问题常规提法与推断进行反 方向思考; 第四, 注意解题中的可逆性原则, 如解题时正面分析受阻, 可逆向思考. 作为逆向思维的一个例子,下面介绍怎样利用反函数的一些性 质,方便地求解高等数学里的一些问题. 所有例题选自吉米多维奇 《数学分析习题集》与同济大学《高等数学习题集》. 也许你现在还 没有学到,要不了多久,等你学到了,再回头看看,也许在通常的高 等数学教材里不容易找到.

(1) f(2)=2 (2) ? m,n ? N ,有 f(mm)=f(m)f(n), (3) 当 m>n 时,f(m)>f(n). 求证:f(x)=x 在上 N 恒成立. 证明:因为 f(2)=2,设 f(2 )=2 ,
n n

一.极限计算 根据性质:若函数 y=f(x)在(a,b)上连续且单调,则其反函数
n+1

就有 f(2 )=f(2 ?2)=f(2 )f(2)=2 ?2=2 . 根据数学归纳法 f(2 )=2 成立. 这就满足了反向数学归纳法的 第一个条件:P(n)对无数多个自然数 n 都成立. 若 f(x)=x(x>1),因为 f(x-1)<f(x),所以 f(x-1)≤x-1, 另一方面 x-1>x-2,所以 f(x-1)>f(x-2),
n n

n+1

n

n

n

x=f (y)在(c,d)上也连续单调,其中,c=f(a+0),d=f(b-0),我们可 以简单地求解一些极限问题.

-1

? x 求极限 lim x( ? arctan ). x?? 4 x ?1 1 ? tan y ? x 解: 令 y= -arctan , 其反函数为 x= , 当 x→ ? 时, 2 tan y 4 x ?1
例 y→0,y~tany,于是:

原式= lim
y ?0

1 ? tan y 1 ?y = . 2 tan y 2

三.函数作图 二.导数计算 我们已知:若函数 y=f(x)在[a,b]内连续单调,则存在反函数, 当 f ?( x) 在[a,b]处等于零时,反函数的导数也存在,且 x?y =
1 . 利 y? x

在初等数学中就已知:y=f (x)的图象与 y=f(x)的图象关于直线 y=x 对称, 利用这一性质也可以简化微分法作图与对函数性质的讨论. 例 作函数 y=ln(x+ 1 ? x 2 )的图象
1 y -y 1 x (e -e )=shy 而 y=shx 的图象可由 y= e 2 2

-1

用这一些性质,我们推导了反三角函数等求导基本公式,这一手法也 可用来解题. 例 求 y=arccot
a ? 2x 2 ax ? x 2

解:求出反函数 x= 与 y=-

1 -x e 的图象迭加而成 . 由此利用对称性,即可求出函数 2

(a>0)的导数.

y=ln(x+ 1 ? x 2 )的图象. 不仅如此,还可以从 y=shx 的

解:由题可知 coty=

a ? 2x 2 ax ? x 2

, 凹性与拐点来讨论 y=ln(x+ 1 ? x 2 ) 的凹性与拐点,事实上,不难从图 形上看出, 若 y=f(x)在[a,b]上有拐 点(x0,y0), 则 y=f (x)在[f(a),f(b)]
a
y
-1

于是由三角函数定义(作直角三角形,如图)可知: cosy=
2 ax ? x 2 a ? 2x ,siny= , a a

求得反函数 x=
a sin y x?y = , 2

1 (a-acosy), 2

2 ax ? x 2

上 有 拐点 (x0,y0) , 且若 y=f(x) 在 (a,x0)上上凹,则 y=f (x)在(f(a),y0)上下凹.
-1

a ? 2x

所以 y ? x =

1 2 = . a sin y ax ? x 2

四.定积分计算 为了利用反函数求定积分,我们先来证明一条定理:若函数 y=f(x)在[a,b]内连续续单调,且 c=f(a),d=f(b),则:

这样大大简化了求导过程.

? ?

b

a

f ( x)dx +

?

d

c

f

?1

( y)dy =bd-ac.
-1

定积分

?

1 2

1

1? x dx 、 x

? arccos
0

1

x dx 等等也可以用上述方法求.

证:用换元法与分部积分法求第二个积分,令 x=f (y),则
d

c

f

?1

( y)dy = xdf ( x) = xf ( x) | b aa

?

b

? f ( x)dx
a

b

五.级数展开 根据级数展开的唯一性,也可以利用反函数简化计算. 例 写出函数 y=tanx 的麦克劳林展开式不等于零的前三项

=bd-ac-

?

b

a

f ( x)dx

这条性质的几何意义是很明显的.

解:由于 y=tanx 是奇函数,且 f(0)=0,可设 y=tanx=a1x+a3x +a5x +? 而已知反函数 x=arctany 的级数展开式是
1 3 1 5 x=arxtany=y- y + y +? 3 5
3 5

? f ( x)dx 表示图中有斜线条部分的
a

b

面积,

?

d

c

f

?1

( y)dy 表示图中有横线条部

分的面积,这两块面积之和等于两块矩形面积之差,利用这条性质有 时给解题带来方便. 例 求定积分

代入并比较系数,可得
2 5 1 2

?

1? 1? 4 y 2 2y

dy .

1 2 a1=1,a3= ,a5= ,? 3 15 1 3 2 5 即 tanx=x+ x + x +? 3 15

解: 被积函数 x=
2 时,x=2. 5

1? 1? 4 y 2 2y

的反函数为 y=

x x ?1
2

, 且当 y=

1 时, 2

为了保证反函数存在性,必须限定|x|<

? ,即级数的收敛区间. 2

x=1,y=

从以上例题可以看出,运用逆向思维去思考和处理问题,确实与
2 1 -1× 5 2

所以,原式=2×

?

2

1

dx x 2 ?1

x

众不同,实际上就是以“出奇”去达到“制胜”. 因此,逆向思维的 结果常常会令人大吃一惊,喜出望外,别有所得. 试试看,在你遇到 的问题中,能不能归纳出一类可以反过来思考的例子. 正是: 反弹琵琶翩翩舞 , 倒骑毛驴回眸笑.

3 1 2 = - ln(x +1) 10 2

2 1

=

5 3 1 - ln 2 2 10


相关文章:
更多相关标签: