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1.1.1集合的表示


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1.1.2

集合的表示

复习旧知
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集合与元素的概念:

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集合中元素的性质:

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常见数集专用符号:

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元素与集合的关系:

/> 新知探究
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观察下列对象是否构成集合: (1)小于5的所有自然数;

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(2)方程 x 2 ? 4 ? 0 在实数范围内的解;



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?

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× (4)所有的平行四边形;√ (5)我国古代的四大发明; √ (6)地球上的四大洋;√ (7)不等式 2 x ? 3 ? 9 的解. √
(3)第一章的所有难题;

新知探究1
用自然语言描述一个集合往往是不简明的,那么这些 集合有没有其他的表示方式? 考查这些集合: (1)小于5的所有自然数; (2)方程 x 2 ? 4 ? 0 在实数范围内的解;
思考1:这两个集合分别有那些元素?

(1 )0 ,1 ,2 ,3 ,4 ; (1){0,1,2,3,4};

(2)-1,0,1 (2){-1,0,1} 列举法 }”

思考2:由上述两组元素组成的集合可分别怎么表示?

思考3:这种表示集合的方法叫什么名称?

思考4:列举法表示集合的基本模式是什么?

把集合的元素一一列举出来,并用花括号“{ 括起来,即 {a, b, c,?}

典例剖析
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例1、用列举法表示下列集合: (1)小于10的所有自然数组成的集合;

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?

(2)方程 x 2 ? x 的所有实数根组成的集合;
(3)由1-20以内的所有素数组成的集合.

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1.列举法表示集合

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把集合的元素一一列举出来,并用花括号“{ 示集合的方法叫做列举法.

}”括起来表

?

●想一想:用列举法表示方程 x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 的解集,可否 写成A={1,1}? 提示: 不能.因为不符合集合元素的互异性,可表示为 A ={1}.

?

注意: (1)元素与元素之间用逗号隔开;
(3)列举法应用于所研究的集合元素个数确定且个数较少的情 形或元素个数不确定但元素间存在明显规律的集合。

(2)集合中元素是无序的,但通常是按照一定顺序排列各元素;

新知探究2
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? ?

考查下列集合:
(7)不等式 2 x ? 3 ? 9 的解; (8)绝对值小于2的实数组成的集合.

思考1:这两个集合能否用列举法表示?

不能

思考2:如何用数学式子描述上述两个集合的元素特征?

(1)x ? R,且 x ? 5 ; (1 ){

(2)x ? R,且 | x |? 2

思考3:上述两个集合可以分别怎么表示?

x ? R| x ? 5 };
描述法

(2){ x ?R| | x |? 2 }

思考4:这种表示集合的方法叫什么名称?

?

2.描述法表示集合

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用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.
具体方法是:在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符 号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个 集合中元素所具有的共同特征.

?

基本模式: ?元素的一般符号 元素所具有的性质(即取值范围) ?

使用描述法时,还应注意以下几点:
①写清集合中的代表元素,如实数或实数对;
②说明该集合中元素具有的性质,如方程、不等式、函数

或几何图形等;
③不能出现未被说明的字母;

④所有描述的内容都要写在花括号内,用于描述的语句力求简明、 确切. ⑤ )对于元素个数不确定且元素间无明显规律的集合,不能将它们 一一列举出来,可以通过将集合中元素的共同特征描述出来,即采

用描述法. 提醒:在不引起混淆的情况下,可省去竖线及代表元素,如{直角三 角形},但不能表示为{所有直角三角形},因为{ }本身就有“所 有”、“全部”的意思

三种语言表示集合
列举法

自然语言法

描述法

方程 x ? 5 x ? 0 的解集
2

c ? ?0,5?

C ? x x 2 ? 5x ? 0

?

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典例剖析
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例2、用描述法表示下列集合: (1)方程 x 2 ? 2 ? 0 的所有实数根组成的集合;

?

?

(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合.

探究: (1)你能用列举法表示这两个集合吗? (2)集合 B ? ? x 10 ? x ? 20? 与集合 C ? ? t 10 ? t ? 20? 表示同一个集合吗? (3)集合 B ? ?x x ? 2k ?1, k ? Z? 与集合 C ? ?y y ? 2k ?1, k ? Z? 表示同一个集合吗?

例3 用适当的方法表示下列集合: (1)绝对值小于3的所有整数组成的集合;

{-2,-1,0,1,2}或 {x ? Z || x |? 3} (2)在平面直角坐标系中以原点为圆心,1为半径的圆 周上的点组成的集合;

{( x, y) | x ? y ? 1}
2 2

(3)所有奇数组成的集合;

{x | x ? 2k ? 1, k ? Z }
(4)由数字1,2,3组成的所有三位数构成的集合. {123,132,213,231,312,321}.

例4 用列举法表示下列集合:
4 ? ? ? Z ?; (1)A ? ? x ? Z | x ?3 ? ?

(2 ) ?( x, y) | x ? y ? 3, x ? N , y ? N? .

(1){-1,1,2,4,5,7};
(2){(0,3),(1,2),(2,1),(3,0)}

知识探究(三) 思考1:a与{ a }的含义是否相同? 思考2:集合{1,2}与集合{(1,2)}相同吗?
2 {x | y ? x } 相同吗? 思考3:集合 { y | y ? x , x ? R}与集合

2

思考4:集合 {( x, y) | y ? x 2 , x ? R}的几何意义如何? y

y?x

2

x o

? ? ? ? ? ?

1.集合{(x,y)|y=2x-1}表示( A.方程y=2x-1 B.点(x,y)

)

C.平面直角坐标系中的所有点组成的集合 D.函数y=2x-1图象上的所有点组成的集合

答案:D

?

2.(1)用列举法表示出A={(x,y)|x+y=5,x,y∈N}. 答案:{(0,5),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(5,0)} (2) 右图中阴影部分的点(含边界)组成的集合.

?

?

3 1 答案: (2){(x,y)|-1≤x ≤ ,- ≤y≤1,且 xy≥0}. 2 2

3.用列举法表示下列集合:
? ?x+y=2 (1)B={(x,y)|? ? ?x-2y= 4

};

(2)C={x |x =(-1)n,n∈N} ; |a| b (3)D={x |x= + ,a, b 为非零实数}. a |b|

?x=8 ? ? 3 ?x+ y= 2 解:(1)解方程组? 得? 2 ? ?x- 2y= 4 ?y=- 3 ?
8 2 ∴ B= {( ,- )}. 3 3 (2)n∈ N,当 n 为奇数时 (- 1)n=- 1; 当 n 为偶数时 (- 1)n= 1, ∴ C= {- 1,1}.



(3)当 a>0,b>0 时,x=2; 当 a<0,b<0 时,x=-2; 当 a,b 异号时,x=0,∴D={-2,0,2}.

?

4.集合M={x|ax2-2x+2=0,x∈R}中至多有一个元素, 求实数a的取值范围.
解:(1)当 a= 0 时,方程转化为- 2x+ 2= 0,解得 x=1,此时 M

= {1},满足条件; (2)当 a≠0 时,方程为一元二次方程,此时只需 Δ= 4- 8a≤0, 1 即 a≥ 时,方程至多有一个实数根. 2 1 综合(1)(2)可知,当 a≥ 或 a= 0 时,集合 M 中至多有一个元素. 2

?

1.表示集合时,要多问“集合的元素是什么”,特别是要 分清数集和点集(实数对).在一时看不清问题时,可先转化 为自然语言,弄清集合中构成元素的特征. 2.一个集合可以用不同的方法表示,需根据题意选择适当 的方法,同时注意列举法和描述法的适用范围.

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小结与回顾

1、本节课学到了那些知识?

2、通过本节课的学习,你有那些收获?

作业: P5 练习: P11习题1.1A组:

2. 2、3、4.


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