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2012年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷(附详细答案)


2012 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷
一、填空题(本题共 10 小题,满分 70 分,每小题 7 分.要求直接将答案写在横线上. ) 3 1、当 x ?[?3,3] 时,函数 f ( x) ?| x ? 3x | 的最大值为____________. 2、在 ?ABC 中,已知 AC ? BC ? 12, AC ? BA ? ?4, 则 AC

/>??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

? ____________.

3、从集合 ?3, 4,5,6,7,8? 中随机选取 3 个不同的数,这 3 个数可以构成等差数列的概率为____________. 4、已知 a 是实数,方程 x2 ? (4 ? i) x ? 4 ? ai ? 0 的一个实根是 b ( i 是虚部单位) ,则 | a ? bi | 的值为 ____________.
x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为 F ,一条过原点 O 且倾斜角为锐角的直 12 4 线 l 与双曲线 C 交于 A, B 两点.若 ?FAB 的面积为 8 3 ,则直线的斜率为____________.

5、在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 C :
lg a

6、已知 a 是正实数, k ? a 的取值范围是____________. 7、在四面体 ABCD 中, AB ? AC ? AD ? DB ? 5 , BC ? 3 , CD ? 4 该四面体的体积为 ____________. 8、已知等差数列 ?an ? 和等比数列 ?bn ? 满足: a1 ? b1 ? 3, a2 ? b2 ? 7, a3 ? b3 ? 15, a4 ? b4 ? 35, 则

an ? bn ? ____________.( n ? N * ) 9、将 27,37,47,48,55, 71, 75 这 7 个数排成一列,使任意连续 4 个数的和为 3 的倍数,则这样的排列有
____________种. 10、三角形的周长为 31 ,三边 a, b, c 均为整数,且 a ? b ? c ,则满足条件的三元数组 (a, b, c) 的个数为 ____________.

二、解答题(本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分) 11、在 ?ABC 中,角 A, B, C 对应的边分别为 a, b, c ,证明:

C 2sin 2 cos A ? cos B 2 (1) b cos C ? c cos B ? a ; (2) ? a?b c

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12、已知 a , b 为实数, a ? 2 ,函数 f ( x) ?| ln x ? (1)求实数 a, b ; (2)求函数

(3)若实数 c, d 满足 c ? d , cd ? 1 ,求证: f (c) ? f ( x) 的单调区间;

e a | ?b( x ? 0) .若 f (1) ? e ? 1, f (2) ? ? ln 2 ? 1 . 2 x

f (d )

13、如图,半径为 1 的圆 O 上有一定点 M , A 为圆 O 上的动点.在射线 OM 上有一动点 B , AB ? 1, OB ? 1 . 线段 AB 交圆 O 于另一点 C , D 为线段的 OB 中点.求线段 CD 长的取值范围.

14、设是 a, b, c, d 正整数, a , b 是方程 x2 ? (d ? c) x ? cd ? 0 的两个根.证明:存在边长是整数且面积为 ab 的 直角三角形.

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2012 高中数学联赛江苏赛区初赛试卷
一、填空题(70 分) 1、当 x ?[?3,3] 时,函数

f ( x) ?| x3 ? 3x | 的最大值为__18___. ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? ABC 2、在 中,已知 AC ? BC ? 12, AC ? BA ? ?4, 则 AC ? ___4____. 3、从集合 ?3,4,5,6,7,8? 中随机选取 3 个不同的数,这 3 个数可以构成等差数列的概率为 3 _____ _______. 10 2 4、已知 a 是实数,方程 x ? (4 ? i ) x ? 4 ? ai ? 0 的一个实根是 b ( i 是虚部单位) ,则 | a ? bi | 的值
为_____ 2

2 ___.

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为 F ,一条过原点 O 且倾斜角为锐角 12 4 1 的直线 l 与双曲线 C 交于 A, B 两点.若 ?FAB 的面积为 8 3 ,则直线的斜率为___ ____. 2 lg a 6、已知 a 是正实数, k ? a 的取值范围是___ [1, ??) _____. 7、在四面体 ABCD 中, AB ? AC ? AD ? DB ? 5 , BC ? 3 , CD ? 4 该四面体的体积为 _____ 5 3 _______. 8、已知等差数列 ?an ? 和等比数列 ?bn ? 满足:a1 ? b1 ? 3, a2 ? b2 ? 7, a3 ? b3 ? 15, a4 ? b4 ? 35, 则
5、在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 C :

an ? bn ? ___ 3n?1 ? 2n ___.( n ? N * ) 71, 75 这 7 个数排成一列,使任意连续 4 个数的和为 3 的倍数,则这样的排列 9、将 27,37,47,48,55,
有___144_____种. 10、三角形的周长为 31 ,三边 a, b, c 均为整数,且 a ? b ? c ,则满足条件的三元数组 (a, b, c) 的个数 为__24___. 二、解答题(本题 80 分,每题 20 分) 11、在 ?ABC 中,角 A, B, C 对应的边分别为 a, b, c ,证明:

C 2sin 2 cos A ? cos B 2 (1) b cos C ? c cos B ? a ; (2) ? a?b c

第 3 页 共 5 页

12、已知 a, b 为实数, a ? 2 ,函数

a f ( x) ?| ln x ? | ?b( x ? 0) .若 x

e ? ln 2 ? 1 . 2 (1) 求实数 a, b ; (2) 求函数 f ( x) 的单调区间; (3) 若实数 c, d 满足 c ? d , cd ? 1, 求证:f (c) ? f (d ) f (1) ? e ? 1, f (2) ?

13、如图,半径为1 的圆 O 上有一定点 M , A 为圆 O 上的动点.在射线 OM 上有一动点 B , AB ? 1, OB ? 1.线段 AB 交圆 O 于另一点 C , D 为线段的 OB 中点. 求线段 CD 长的取值范围.

第 4 页 共 5 页

14、设是 a, b, c, d 正整数, a, b 是方程 x 积为 ab 的直角三角形.

2

? (d ? c) x ? cd ? 0 的两个根.证明:存在边长是整数且面

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