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2017年高考数学(文)一轮复习精品资料:专题48 抛物线(押题专练).doc


1.若抛物线 y2=2px 上一点 P(2,y0)到其准线的距离为 4,则抛物线的标准方程为( A.y2=4x B.y2=6x C.y2=8x D.y2=10x

)

p 解析:由题意可知 p>0,因为抛物线 y2=2px,所以其准线方程为 x=- ,因为点 P(2,y0) 2 p 到其准线的距离为 4,所以|- -2|=4,所以 p=4,故抛物线方程为 y2=8x。故选 C。 2 答案:C 2.设抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,点 M 在 C 上,|MF|=5。所以 MF 为直径的圆过 点(0,2),则 C 的方程为( )

A.y2=4x 或 y2=8x B.y2=2x 或 y2=8x C.y2=4x 或 y2=16x D.y2=2x 或 y2=16x

答案:C 3.已知抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,P,Q 是抛物线上的两个点,若△ PQF 是边长为 2 的正三角形,则 p 的值是( A.2± 3 C. 3± 1 B.2+ 3 D. 3-1 )

p ? y2 y2 y2 p y2 1 2 ,0 ,设 P? ,y1?,Q? ,y2?(y1≠y2)。由抛物线定义及|PF|=|QF|,得 1 + = 2 解析:F? ?2 ? ?2p ? ?2p ? 2p 2 2p p 1 p 2 + ,所以 y1 =y2 + = 2,又 y1≠y2,所以 y1=-y2,所以|PQ|=2|y1|=2,|y1|=1,所以|PF|= 2 2p 2 2,解得 p=2± 3。 答案:A 4.已知直线 y=k(x+2)(k>0)与抛物线 C:y2=8x 相交于 A,B 两点,F 为 C 的焦点,若|FA| =2|FB|,则 k 的值为( 1 A. 3 2 2 C. 3 B. 2 D. 3 2 3 )

解析: 设抛物线 C:y2=8x 的准线为 l:x=-2,直线 y=k(x+2)(k>0)恒过定点 P(-2,0),如图过 A,B 分别作 AM⊥l 于 M,BN⊥l 于 N,由|FA|=2|FB|,则|AM|=2|BN|,点 B 为 AP 的中点, 1 连接 OB,则|OB|= |FA|,所以|OB|=|BF|,点 B 的横坐标为 1,故点 B 的坐标为(1,2 2),把 2 2 2 B 点坐标代入直线方程得 k 的值为 。 3 答案:C 5.直线 l 经过抛物线 y2=4x 的焦点,且与抛物线交于 A,B 两点,若 AB 中点的横坐标为 3, 则线段 AB 的长为( A.5 B.6 C.7 D.8 解析:设抛物线 y2=4x 的焦点为 F,准线为 l0,A(xA,yA),B(xB,yB),C 是 AB 的中点,其 坐标为(xC,yC),分别过点 A,B 作直线 l0 的垂线,垂足分别为 M,N,由抛物线的定义得|AB| =|AF|+|BF|=|AM|+|BN|=xA+1+xB+1=xA+xB+2=2xC+2=8。 答案:D x2 y2 6.如图,已知抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 恰好是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的右焦点, a b 且两条曲线交点的连线过点 F,则该双曲线的离心率为( ) )

A. 2 C. 2+1

B.2 D. 2-1

c2 c2 所以 2-4× 2=1,化简得 c4-6a2c2+a4=0, a b 所以 e4-6e2+1=0, 所以 e2=3+2 2=(1+ 2)2, 所以 e= 2+1, 故选 C。 答案:C 7.已知抛物线的顶点在原点,焦点在 y 轴上,抛物线上的点 P(a,-2)到焦点的距离为 3, 则抛物线的方程是________。 解析:由题意可设抛物线的方程为 x2=-2py(p>0),抛物线上的点 P(a,-2)到焦点的距离 p p 即为点 P 到准线 y= 的距离,所以 +2=3,解得 p=2,所以抛物线的方程为 x2=-4y。 2 2 答案:x2=-4y 8.已知直线 y=a 交抛物线 y=x2 于 A,B 两点。若该抛物线上存在点 C,使得∠ACB 为直 角,则 a 的取值范围为________。

答案:[1,+∞) x2 y2 9.已知抛物线 y2=4x 的准线与双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)交于 A,B 两点,点 F 为抛物线 a b 的焦点,若△ FAB 为直角三角形,则双曲线离心率的取值范围是________。 解析:抛物线焦点 F(1,0),由题意 0<a<1,且∠AFB=90° 并被 x 轴平分,所以点(-1,2)在双
2 4 2 1 4 4a2 4a2 c2 5-a 2 2 2 5a -a 曲线上, 得 2- 2=1, 即 b2= 即 c2= 所以 e2= 2= 2=c -a , 2+a = 2 , a b a 1-a2 1-a 1-a 1-a

4 =1+ , 1-a2 因为 0<a<1,所以 e2>5,故 e> 5。

答案:( 5,+∞) 10.已知曲线 C 上的动点 P(x,y)满足到点 F(0,1)的距离比到直线 l:y=-2 的距离小 1。 (1)求曲线 C 的方程; (2)动点 E 在直线 l 上,过点 E 分别作曲线 C 的切线 EA,EB,切点为 A,B。直线 AB 是否 恒过定点,若是,求出定点坐标,若不是,请说明理由。 解析:(1)因为动点 P(x,y)满足到点 F(0,1)的距离比到直线 l:y=-2 的距离小 1,所以动点 P(x,y)满足到点 F(0,1)的距离与直线 l′:y=-1 的距离相等。 所以曲线 C 是以 F(0,1)为焦点,y=-1 为准线的抛物线,所以曲线 C 的方程是:x2=4y。 x2 0 x0, ?, (2)设 E(a,-2),切点为? 4? ? x2 由 x2=4y 得 y= , 4 x2 0 +2 x x0 4 所以 y′= ,所以 = , 2 2 x0-a 解得:x0=a± a2+8, 所以 A?a+ a2+8, B?a- a2+8,

? ?

?a+ a2+8?2? ?, 4 ?

? ?

?a- a2+8?2? ?, 4 ?

化简直线 AB 方程得: a y-2= x,所以直线 AB 恒过定点(0,2)。 2 11.已知顶点在原点,焦点在 y 轴上的抛物线过点 P(2,1)。 (1)求抛物线的标准方程。 (2)过点 P 作直线 l 与抛物线有且只有一个公共点,求直线 l 的方程。 (3)过点 Q(1,1)作直线交抛物线于 A,B 两点,使得 Q 恰好平分线段 AB,求直线 AB 的方程。

12.已知抛物线 C:y2=2px 的焦点坐标为 F(1,0),过 F 的直线交抛物线 C 于 A,B 两点, 直线 AO,BO 分别与直线 m:x=-2 相交于 M,N 两点。

(1)求抛物线 C 的方程。 (2)证明△ ABO 与△ MNO 的面积之比为定值。


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