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9.4直线、圆的位置关系


§9.4
要点梳理

直线、圆的位置关系
基础知识 自主学习

1.直线与圆的位置关系

相离 、 相切 、相交 . 位置关系有三种:
判断直线与圆的位置关系常见的有两种方 法: ?>0?相交 ? 判别式 ?=0?相切 (1)代数法: 2-4ac Δ =b ?<0?相离 ?

/>
(2)几何法:利用圆心到直线的距离 d 和圆半径 r 的 大小关系:d<r?相交,d=r?相切,d>r?相离. 2.计算直线被圆截得的弦长的常用方法 (1)几何方法 运用弦心距(即圆心到直线的距离)、 弦长的一半及半 径构成直角三角形计算. (2)代数方法 运用韦达定理及弦长公式 |AB| = 1+k2 |xA - xB|= ?1+k2?[?xA+xB?2-4xAxB]. 说明:圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法.

3.求过点 P(x0,y0)的圆 x2+y2=r2 的切线方程 (1)若 P(x0,y0)在圆 x2+y2=r2 上, 则 以 P 为 切 点 的 圆 的 切 线 方 程 为:
xx
0

?

y y
0

?r

2

.

(2)若 P(x0,y0)在圆 x2+y2=r2 外,则过 P 的 切线方程可设为:y-y0=k(x-x0),利用待 定系数法求解. 说明:k 为切线斜率,同时应考虑斜率不存 在的情况.

4.圆与圆的位置关系的判定 设⊙C1:(x-a1)2+(y-b1)2=r2(r1>0), 1 ⊙C2:(x-a2)2+(y-b2)2=r2(r2>0),则有: 2 |C1C2|>r1+r2?⊙C1 与⊙C2 相离 ; |C1C2|=r1+r2?⊙C1 与⊙C2 外切 ; |r1-r2|<|C1C2|<r1+r2?⊙C1 与⊙C2 相交 ; |C1C2|=|r1-r2|(r1≠r2)?⊙C1 与⊙C2 内切 ; |C1C2|<|r1-r2|?⊙C1 与⊙C2 内含 .

[难点正本

疑点清源]

1.直线和圆的位置关系有且仅有三种:相离、 相切、相交. 判定方法有两个: (1)几何法:比较圆心到直线的距离与圆的 半径间的大小; (2)代数法:看直线与圆的方程联立所得方 程组的解的个数.

2.解决直线与圆的位置关系的有关问题,要充分 利用平面几何中圆的性质使问题简化. 一般要求圆心到直线的距离与半径. 3.当直线和圆相切时,求切线方程一般要用圆心 到直线的距离等于半径,求切线长一般要用切 线、半径及圆外点与圆心连线构成的直角三角 形; 当与圆相交时, 弦长的计算也要用弦心距、 半径及弦长的一半构成的直角三角形. 4.对于圆的切线问题,要注意切线斜率不存在的 情况.

基础自测 1. (2010·四川)直线 x-2y+5=0 与圆 x2+y2 2 3 =8 相交于 A、B 两点,则|AB|=________.
5 圆心到直线的距离 d= = 5,半径 5

解析

R=2 2, 所以弦长|AB|=2 R2-d2=2 8-5=2 3.

2.若直线 3x+4y+m=0 与圆 x2+y2-2x+4y +4=0 没有公共点,则实数 m 的取值范围 是 (-∞,0)∪(10,+∞) .
解析 将圆 x2+y2-2x+4y+4=0 化为标准

方程,得(x-1)2+(y+2)2=1,圆心坐标为 (1, -2),半径为 1.若直线与圆无公共点, 即圆心到直线的距离大于半径, |3×1+4×?-2?+m| |m-5| 即 d= = 5 >1, 2 2 3 +4 ∴m<0 或 m>10.

3.已知圆 x2+y2=9 的弦 PQ 的中点为 M(1,2), 则弦 PQ 的长为________. 4

解析 于 3,

圆心到 M(1,2)的距离等于 5,半径等

则弦长等于 2 32-? 5?2=4.

4. x2+y2-4x=0 在点 P(1, 3)处的切线方程为 圆 ( D ) A.x+ 3y-2=0 C.x- 3y+4=0
解析

B.x+ 3y-4=0 D.x- 3y+2=0

圆的方程为(x-2)2+y2=4,圆心坐标

为(2,0),半径为 2,点 P 在圆上,设切线方程 为 y- 3=k(x-1), |2k-k+ 3| 即 kx-y-k+ 3=0,∴ =2, 2 k +1 3 解得 k= 3 . 3 ∴切线方程为 y- 3= 3 (x-1), 即 x- 3y+2=0.

5.圆 C1:x2+y2+2x+2y-2=0 与圆 C2:x2+y2 -4x-2y+1=0 的公切线有且仅有( B ) A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条

解析 ⊙C1:(x+1)2+(y+1)2=4, 圆心 C1(-1,-1),半径 r1=2. ⊙C2:(x-2)2+(y-1)2=4,圆心 C2(2,1), 半径 r2=2. ∴|C1C2|= 13, ∴|r1-r2|=0<|C1C2|<r1+ r2=4, ∴两圆相交,有两条公切线.
点评 由圆的位置关系,确定两圆的公切线.

题型分类
题型一 例1

深度剖析

直线与圆的位置关系

m 为何值时,直线 2x-y+m=0 与圆 x2

+y2=5. (1)无公共点; (2)截得的弦长为 2; (3)交点处两条半径互相垂直.

思维启迪:(1)无公共点即相离,用点到直 线的距离 d>r 判断; (2)充分利用直角三角形; (3)两半径互相垂直,形成等腰直角三角形.



(1)由已知,圆心为 O(0,0),半径 r= 5,

圆 心 到 直 线 2x - y + m = 0 的 距 离 d = |m| |m| = , 2 2 5 2 +?-1? |m| ∵直线与圆无公共点,∴d>r,即 > 5, 5 ∴m>5 或 m<-5. 故当 m>5 或 m<-5 时,直线与圆无公共点.

(2) 如图,由平面几何垂径定理知 r2-d2=12. m2 即 5- =1. 5 得 m=± 5, 2 ∴当 m=± 5时,直线被圆截得的弦长为 2. 2

(3) 如图,由于交点处两条半径互相垂直, ∴弦与过弦两端的半径组成等腰直角三角形, 2 |m| 2 ∴d= r,即 = · 5, 2 5 2 5 2 解得 m=± . 2 5 2 故当 m=± 时, 2 直线与圆在两交点处的两条半径互相垂直.

探究提高

(1)利用圆心到直线的距离可判断

直线与圆的位置关系,也可利用直线的方程与 圆的方程联立后得到的一元二次方程的判别 式来判断直线与圆的位置关系; (2)勾股定理是解决有关弦问题的常用方法; (3)两半径互相垂直也可利用两直线垂直时斜 率 k1·2=-1. k

变式训练 1 已知圆 x2+y2-6mx-2(m-1)y+ 10m2-2m-24=0(m∈R). (1)求证: 不论 m 为何值, 圆心在同一直线上; (2)与 l 平行的直线中, 哪些与圆相交、 相切、 相离; (3)求证:任何一条平行于 l 且与圆相交的直 线被各圆截得的弦长相等.

(1)证明 配方得:(x-3m)2+[y-(m-1)]2=25, ?x=3m ? 设圆心为(x,y),则? ,消去 m 得 ?y=m-1 ? x-3y-3=0,则圆心恒在直线 l:x-3y-3=0 上.

(2)解

设与 l 平行的直线是 l1:x-3y+b=0,

则圆心到直线 l1 的距离为 |3m-3?m-1?+b| |3+b| d= = . 10 10 ∵圆的半径为 r=5, ∴当 d<r,即-5 10-3<b<5 10-3 时,直线 与圆相交; 当 d=r,即 b=± 10-3 时,直线与圆相切; 5 当 d>r,即 b<-5 10-3 或 b>5 10-3 时,直 线与圆相离.

(3)证明 对于任一条平行于 l 且与圆相交的直 线 l1: x-3y+b=0, 由于圆心到直线 l1 的距离 |3+b| d= , 10 弦长=2 r2-d2且 r 和 d 均为常量. ∴任何一条平行于 l 且与圆相交的直线被各圆 截得的弦长相等.

题型二 圆的切线问题 例 2 已知点 M(3,1),直线 ax-y+4=0 及圆 (x-1)2+(y-2)2=4. (1)求过 M 点的圆的切线方程; (2)若直线 ax-y+4=0 与圆相切, a 的值; 求 (3)若直线 ax-y+4=0 与圆相交于 A,B 两 点,且弦 AB 的长为 2 3,求 a 的值.

思维启迪:设出切线方程



利用圆心到直线距离等于半径求得参数 ?L? → 利用关系?2 ?2=r2-d2求得a值 ? ?

解 (1)圆心 C(1,2),半径为 r=2, ①当直线的斜率不存在时,方程为 x=3. 由圆心 C(1,2)到直线 x=3 的距离 d=3-1=2=r 知, 此时,直线与圆相切. ②当直线的斜率存在时,设方程为 y-1=k(x-3), 即 kx-y+1-3k=0. |k-2+1-3k| 3 由题意知 =2,解得 k=4. 2 k +1 3 ∴方程为 y-1=4(x-3),即 3x-4y-5=0. 故过 M 点的圆的切线方程为 x=3 或 3x-4y-5=0.

|a-2+4| 4 (2)由题意有 =2,解得 a=0 或 a= . 2 3 a +1 (3)∵ 圆 心 到 直 线 ax - y + 4 = 0 的 距 离 为 |a+2|
2

, a +1

? |a+2| ? ? 3 ? ?2 ?2 3?2 ? ∴? 2 ? +? =4,解得 a=- . 4 2 ? ? a +1? ? ?

探究提高

求过一点的圆的切线方程,首先要

判断此点是否在圆上. 若在圆上, 该点为切点; 若不在圆上,切线应该有两条,设切线的点斜 式方程,用待定系数法求解.注意,需考虑无 斜率的情况.求弦长问题,要充分运用圆的几 何性质.

变式训练 2 已知圆 C:2+y2-4x-6y+12=0, x 点 A(3,5). (1)求过点 A 的圆的切线方程; (2)O 点是坐标原点, 连接 OA, OC, 求△AOC 的面积 S.

解 (1)⊙C:(x-2)2+(y-3)2=1. ①当切线的斜率不存在时,有直线 x=3,C(2,3)到 直线的距离为 1,满足条件. ②当 k 存在时,设直线方程为 y-5=k(x- 3), 即 kx-y+5-3k=0, |-k+2| 3 故 2 =1,得 k=4. k +1 3 ∴方程为 y-5=4(x-3),即 3x-4y+11=0. 综上,所求直线方程为 x=3 或 3x-4y+11=0. (2)|AO|= 9+25= 34,lAO:5x-3y=0, 1 1 1 点 C 到直线 OA 的距离 d= ,S=2d |AO|=2. 34

题型三

圆与圆的位置关系

例 3 已知圆 C1:2+y2-2mx+4y+m2-5=0, x 圆 C2:x2+y2+2x-2my+m2-3=0,求 m 为何值时,(1)圆 C1 与圆 C2 相外切;(2)圆 C1 与圆 C2 内含.

思维启迪:(1)分别表示出两圆的圆心坐标和 半径;(2)利用连心线的长度与两圆半径的关 系求解.

解 对于圆 C1 与圆 C2 的方程,经配方后 C1 :(x-m)2 +(y+2)2 =9;C2 :(x+1)2 +(y- m)2=4. (1) 如 果 圆 C1 与 圆 C2 外 切 , 则 有 ?m+1?2+?m+2?2=3+2. 即(m+1)2+(m+2)2=25. 整理得 m2+3m-10=0, 解得 m=-5 或 m=2.

(2) 如 果 圆 C1 与 圆 C2 内 含 , 则 有 ?m+1?2+?m+2?2<3-2. 即(m+1)2+(m+2)2<1,整理得 m2+3m+2<0, 解得-2<m<-1, ∴当 m=-5 或 m=2 时,圆 C1 与圆 C2 外切; 当-2<m<-1 时,圆 C1 与圆 C2 内含.

探究提高

判断两圆的位置关系常用几何法,

即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关 系,一般不采用代数法.

变式训练 3 已知两圆 x2+y2-2x-6y-1=0 和 x2+y2-10x-12y+m=0. (1)m 取何值时两圆外切? (2)m 取何值时两圆内切? (3)求 m=45 时两圆的公共弦所在直线的方 程和公共弦的长.



两圆的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=11,

(x-5)2+(y-6)2=61-m, 圆心分别为 M(1,3),N(5,6), 半径分别为 11和 61-m. (1)当两圆外切时, ?5-1?2+?6-3?2= 11+ 61-m, 解得 m=25+10 11. (2)当两圆内切时,因定圆的半径 11小于两圆 圆心间距离 5, 故只有 61-m- 11=5, 解得 m=25-10 11.

(3)两圆的公共弦所在直线方程为 (x2+y2-2x-6y-1)-(x2+y2-10x-12y+45) =0, 即 4x+3y-23=0, ∴公共弦长为 2 =2 7. ?|4+3×3-23|? ? ?2 2 ? 11? -? 42+32 ? ? ?

题型四

直线与圆的综合应用

例 4 已知圆 C 过点 P(1,1),且与圆 M:(x+ 2)2+(y+2)2=r2 (r>0)关于直线 x+y+2=0 对称. (1)求圆 C 的方程; (2)设 Q 为圆 C 上的一个动点, PQ 求 最小值; (3)过点 P 作两条相异直线分别与圆 C 相交 于 A,B,且直线 PA 和直线 PB 的倾斜角互 补,O 为坐标原点,试判断直线 OP 和 AB 是否平行?请说明理由.
? MQ



思维启迪:先利用对称性求出 C 点坐标,然后 将 P 点坐标代入即可求出圆 C 的方程.第(2) 问可由线性规划或三角代换求得.第(3)问可以 求出 A、B 两点的横坐标,然后利用直线 AB 和 OP 斜率相等来证明.



(1)设圆心 C(a,b), ?a=0 ? ,解得? . ?b=0 ?

?a-2 b-2 ? + +2=0 2 2 ? 则? ?b+2 ?a+2=1 ?

则圆 C 的方程为 x2+y2=r2,将点 P 的坐标代 入得 r2=2,故圆 C 的方程为 x2+y2=2. (2)设 Q(x,y) ,则 x
PQ ? MQ
2 2

?

y

? 2



=(x-1,y-1)· (x+2,y+2) =x2+y2+x+y-4=x+y-2,
? PQ ? MQ

的最小值为-4.

(3)由题意知, 直线 PA 和直线 PB 的斜率存在, 且互为相反数,故可设 PA:y-1=k(x-1), ?y-1=k?x-1? ? PB:y-1=-k(x-1),由? 2 2 , ?x +y =2 ? 得(1+k2)x2+2k(1-k)x+(1-k)2-2=0. 因为点 P 的横坐标 x=1 一定是该方程的解, k2-2k-1 k2+2k-1 故可得 xA= .同理,xB= , 2 2 1+k 1+k yB-yA -k?xB-1?-k?xA-1? 则 kAB= = xB-xA xB-xA 2k-k?xB+xA? = =1=kOP. xB-xA 所以,直线 AB 和 OP 一定平行.

探究提高

直线与圆的综合题,可以与向量的

知识结合,也可以与三角函数的内容结合,甚 至与函数、不等式的内容进行穿插,应用于求 最值问题、参数的范围问题中.

变式训练 4 已知点 P(0,5)及圆 C: x2+y2+4x-12y+24=0. (1)若直线 l 过 P 且被圆 C 截得的线段长为 4 3,求 l 的方程; (2)求过 P 点的圆 C 的弦的中点的轨迹方程.

解(1)方法一

如图所示,AB=4 3,D 是 AB 的

中点,CD⊥AB,AD=2 3,AC=4,C 点坐标为 (-2,6). 在 Rt△ACD 中,可得 CD=2. 设所求直线的斜率为 k,则直线的方程为 y-5=kx,即 kx-y +5=0. |-2k-6+5| 3 由点 C 到直线 AB 的距离公式 2 2 = 2,得 k=4. k +?-1? 又直线 l 的斜率不存在时,也满足题意,此时方程为 x=0. 3 当 k=4时,直线 l 的方程为 3x-4y+20=0. ∴所求直线的方程为 x=0 或 3x-4y+20=0.

方法二 设所求直线的斜率为 k,则直线的方 程为 y-5=kx,即 y=kx+5, 联立直线与圆的方程 ?y=kx+5, ? ? 2 ?x +y2+4x-12y+24=0, ? 消去 y,得(1+k2)x2+(4-2k)x-11=0,① 设方程①的两根为 x1,x2, ? ?x +x =2k-4, ? 1 2 1+k2 由根与系数的关系,得? ?x x =- 11 , ? 1 2 1+k2 ?



由弦长公式,得 1+k2|x1-x2| = ?1+k2?[?x1+x2?2-4x1x2]=4 3, 3 将②式代入,解得 k=4, 此时直线方程为 3x-4y+20=0. 又 k 不存在时也满足题意,此时直线方程为 x=0. ∴所求直线的方程为 x=0 或 3x-4y+20=0. (2)设过 P 点的圆 C 的弦的中点为 D(x,y), 则 CD ? PD ,即
???? ???? C D ?P D

=0,

(x+2,y-6)· (x,y-5)=0,化简得所求轨迹方程为 x2+y2+2x-11y+30=0.

答题模板 11.圆中探究类问题 试题:(14 分)已知过点 A(-1,0)的动直线 l 与圆 C:x2+ (y-3)2=4 相交于 P、Q 两点,M 是 PQ 的中点,l 与直 线 m:x+3y+6=0 相交于点 N. (1) 求 证 : 当 直 线 l 与 m 垂 直 时 , 直线 l 必过圆心 C; (2)当 PQ=2 3时,求直线 l 的方程; (3)探究 AM
? AN

是否与直线 l 的倾斜角有

关.若无关,请求出其值;若有关,请说明理由.

审题视角: (1)求出 l 的方程验证即可; (2) 知弦长 PQ ,求割线,可用待定系数法; (3) ???? ???? ? 以直线 l 的倾斜角(或斜率)为参数,求 A M ?A N 的值,若值中含有参数,说明有关,否则无关.

规范解答 1 (1)证明 ∵l 与 m 垂直,且 km=-3,∴kl=3.[2 分] 又 kAC=3,∴当 l 与 m 垂直时,l 必过圆心 C.[3 分] (2)解 ①当直线 l 与 x 轴垂直时, [4 分] 易知 x=-1,符合题意;

②当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程 为 y=k(x+1), 即 kx-y+k=0. [5 分] ∵|PQ| = 2 3 , ∴|CM| = 4-3 = 1.∴|CM| = |-k+3| =1, 2 k +1 4 得 k=3.∴直线 l:4x-3y+4=0. [6 分] 故所求的直线 l 的方程为 x=-1 或 4x-3y+4 =0. [7 分]

(3)解

? CM ? MN ,? AM ? AN ? AC ? CM ? AN ? AC ? AN ?

?

?

CM ? AN ? AC ? AN

①当 l 与 x 轴垂直时,易得
? 5? 则 AN =?0,-3?. ? ?

? 5? N?-1,-3?, ? ?

又 AC =(1,3), =-5. [11 分] ②当 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y=k(x+1),则由 ?y=k?x+1?, ? ? ? 3k ? 6 ? 5k ? ? 得点 N ? 1 ? 3 k , 1 ? 3 k ? ? ? ?x+3y+6=0, ? ? -5 -5k ? ? ? ? AN =? , . 1+3k 1+3k? ? ? ???? ???? ???? ???? ? -5 -15k ? A M ?A N ? A C ?A N = + =-5.[13 分] 1+3k 1+3k → → → → 综上所述,AM· 与直线 l 的倾斜角无关,且AM· =-5.[14 分] AN AN

???? ???? ???? ???? ? ? A M ?A N ? A C ?A N

探究类问题一般通过以下几步完成 第一步:明确探究的内容. 第二步:分类进行计算或证明. 第三步:明确给出探究结论. 第四步:反思回顾,查看关键点、易错点及答 题规范.

批阅笔记

(1)本大题第(1)(2)问是基本内容的

常规题型,解答过程中问题不多. ? ? ? ?? ? ? ?? → → ①对 A M ? A N 不会转化为AC · ,致使运算冗 AN 长; ②忽略了直线 l 倾斜角为 90° 的情况, 使探 究不全面;③不知探究问题处理的方法,找不 到问题切入点或计算错误.

思想方法
方法与技巧

感悟提高.

1.过圆外一点 M 可以作两条直线与圆相切, 其直线方程的求法有两种: (1)用待定系数法设出直线方程,再利用圆 心到切线的距离等于半径列出关系式求出 切线的斜率,进而求得直线方程. (2)用待定系数法设出直线方程,再利用直 线与圆相切时交点唯一列出关系式求出切 线的斜率,进而求得直线方程.

2.若两圆相交时,把两圆的方程作差消去 x2 和 y2 就得到两圆的公共弦所在的直线方程. 3.求弦长时,常利用圆心到弦所在的直线的 距离求弦心距,再结合勾股定理求弦长. 4.求圆外一点 P 到圆 O 上任意一点距离的最 小值为|PO|-r,最大值为|PO|+r(其中 r 为 圆 O 的半径).

失误与防范 1.求圆的弦长问题,注意应用圆的性质解题, 即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质, 可以用勾股定理或斜率之积为-1 列方程 来简化运算. 2.注意利用圆的性质解题,可以简化计算.例 如,求圆外一点到圆上任意一点的最小距 离或最大距离利用两点的距离减去或加上 圆半径就很简便.
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