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电路原理(电阻电路的等效变换) 高中物理竞赛


第2章 电阻电路的等效变换
本章重点
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 引言 电路的等效变换 电阻的串联和并联 电阻的Y形连接和△形连接的等效变换 电压源、电流源的串联和并联 实际电源的两种模型及其等效变换 输入电阻

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? 重点: 1. 电路等效的概念; 2. 电阻的串、并联; 3. 电阻

的Y—? 变换; 4. 电压源和电流源的等效变换;

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2.1
?电阻电路 ?分析方法

引言

仅由电源和线性电阻构成的电路 ①欧姆定律和基尔霍夫定律是分 析电阻电路的依据; ②等效变换的方法,也称化简的 方法。

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2.2 电路的等效变换
1.两端电路(网络)
任何一个复杂的电路, 向外引出两个端钮,且 从一个端子流入的电流等于从另一端子流出的电流, 则称这一电路为二端网络 (或一端口网络)。 i

i

无 源

无 源 一 端 口
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2.两端电路等效的概念
两个两端电路,端口具有相同的电压、电流 关系,则称它们是等效的电路。

B

i

+ u -

等效

C

i

+ u -

对A电路中的电流、电压和功率而言,满足:

B

A

C
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A
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明确
①电路等效变换的条件: 两电路具有相同的VCR;

②电路等效变换的对象:
未变化的外电路A中的电压、电流和功率; (即对外等效,对内不等效) ③电路等效变换的目的: 化简电路,方便计算。

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2.3 电阻的串联和并联
1.电阻串联
①电路特点 i R1 Rk Rn + u1 _ + u k _ + un _ + u

_

(a) 各电阻顺序连接,流过同一电流 (KCL); (b) 总电压等于各串联电阻的电压之和 (KVL)。

u ? u1 ? ? ? ? ? uk ? ? ? ? ? un
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②等效电阻 R1 i Rk Rn 等效 i u + _ Re q _

+ u1 _ + u k _ + un _
+ u 由欧姆定律

u ? R1i ? ? ? RK i ? ? ? Rni ? ( R1 ? ? ? Rn )i ? Reqi
Req ? R1 ? ? ? Rk ? ? ? Rn ? ? Rk ? Rk
k ?1 n

结论 串联电路的总电阻等于各分电阻之和。
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③串联电阻的分压

u Rk uk ? Rk i ? Rk ? u?u Req Req 表明 电压与电阻成正比,因此串联电阻电路可
作分压电路。
i + u+ 1 u + u2 _ ?
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例 两个电阻的分压: R1 R2 u1 ? u u2 ? u R1 ? R2 R1 ? R2

R1 R2

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④功率

p1=R1i2, p2=R2i2,?, pn=Rni2 p1: p2 : ? : pn= R1 : R2 : ? :Rn p=Reqi2 = (R1+ R2+ …+Rn ) i2 =R1i2+R2i2+ ?+Rni2

总功率

表明

=p1+ p2+?+ pn

①电阻串联时,各电阻消耗的功率与电阻大小

成正比;
②等效电阻消耗的功率等于各串联电阻消耗功

率的总和。
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2. 电阻并联
①电路特点 i + i1 R2

i2 Rk

ik

in Rn

u _

R1

(a)各电阻两端为同一电压(KVL); (b)总电流等于流过各并联电阻的电流之和(KCL)。

i = i1+ i2+ …+ ik+ …+in
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②等效电阻 i i1 + i2 Rk u R1 R2 _ 由KCL:

i ik

in Rn

等效

+ u _ Req

i = i1+ i2+ …+ ik+ …+in =u/R1 +u/R2 + …+u/Rn =u(1/R1+1/R2+…+1/Rn)=uGeq
Geq ? G1 ? G2 ? ? ? Gn ? ? Gk ? Gk
k ?1 n

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结论 等效电导等于并联的各电导之和。
1 1 1 1 ? Geq ? ? ? ? ? Req R1 R2 Rn
③并联电阻的分流

即 Req ? Rk
电流分配与 电导成正比

ik u / Rk Gk ? ? i u / Req Geq

Gk ik ? i Geq

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例 两电阻的分流:
1 R1 ? 1 R2 R1R2 Req ? ? 1 R1 ? 1 R2 R1 ? R2
1 R1 R2i i1 ? i? 1 R1 ? 1 R2 R1 ? R2

i R1
i1

R2

i2

1 R2 R1i i2 ? i? ? (i ? i1 ) 1 R1 ? 1 R2 R1 ? R2
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④功率

p1=G1u2, p2=G2u2,?, pn=Gnu2

p1: p2 : ? : pn= G1 : G2 : ? :Gn
总功率

p=Gequ2 = (G1+ G2+ …+Gn ) u2 =G1u2+G2u2+ ?+Gnu2 =p1+ p2+?+ pn
大小成反比;

表明 ①电阻并联时,各电阻消耗的功率与电阻
②等效电阻消耗的功率等于各并联电阻消 耗功率的总和。
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3.电阻的串并联
电路中有电阻的串联,又有电阻的并联,这种 连接方式称电阻的串并联。

例1 计算图示电路中各支路的电压和电流
i1 5 ? i1 5 ? + i2 i3 165V 18?

6?

i2 i 3 6 ? 165V 18? i5 4? i4 12? +

9?

-

i1 ? 165 11 ? 15A

u2 ? 6i1 ? 6 ? 15 ? 90V
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i1 5 ?
i2 i3 6 ? 165V 18? i5 4? i4 12? -

+

i2 ? 90 18 ? 5A
i3 ? 15 ? 5 ? 10A
i4 ? 30 4 ? 7.5A

u3 ? 6i3 ? 6 ? 10 ? 60V

u4 ? 3i3 ? 30V
i5 ? 10 ? 7.5 ? 2.5A

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例2
12V


I1 + _

I2 R

I3 R

I4

求:I1 ,I4 ,U4

+ + 2R U1 2R U2 2R _ _

+ 2R U4 _

①用分流方法做

I 4 ? ? 1 I 3 ? ? 1 I 2 ? ? 1 I1 ? ? 1 12 ? ? 3 2 4 8 8 R 2R U 4 ? ? I 4 ? 2 R ? 3V I1 ? 12 R
②用分压方法做

U2 1 U4 ? ? U1 ? 3V 2 4

I4 ? ? 3 2R
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从以上例题可得求解串、并联电路的一般步骤: ①求出等效电阻或等效电导; ②应用欧姆定律求出总电压或总电流; ③应用欧姆定律或分压、分流公式求各电阻上的电 流和电压 以上的关键在于识别各电阻的串联、并联关系!

例3
a b

c 6? 5?

d

求: Rab , Rcd

Rab ? (5 ? 5) // 15 ? 6 ? 12Ω Rcd ? (15 ? 5) // 5 ? 4Ω 注意 等效电阻针对端口而言
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15?

5?

例4 求: Rab
a b 20? 40? a

Rab=70?
100? 10?

a 20? 120? a

b

100? 60?
60?

80?
b

60?

50?

b 100? 60?
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20?

100? 100?

20? 40?

例5 求: Rab
5? 15? 6? a b 7? 6? 20? 缩短无 电阻支路

20? 5? 15? 6? 6? 4? a b 7?

4?

Rab=10?
15? 10?

a b

a b
7?
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15?
3?
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c 对称电路 c、d等电位 R R R 断路 短路 i i a a i b i 2 R 1 R R d 1 根据电流分配 i1 ? i ? i2

例6 求: Rab

c R b R d

uab Rab ? ?R i

2 1 1 uab ? i1R ? i2 R ? ( i ? i) R ? iR 2 2

Rab ? R

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2.4 电阻的Y形连接和?形连接 的等效变换
1. 电阻的? 、Y形连接
包含 a 1 R31

R1
R

R2

b
R4
三端 网络

1
R12 2 R23 R2 2

R3
R3 3

R1

3 ? 形网络

Y形网络
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? ,Y 网络的变形:

? 型电路 (? 型)

T 型电路 (Y、星型)

注意 这两个电路当它们的电阻满足一定的关
系时,能够相互等效 。

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2. ?—Y 变换的等效条件
i1? u12? + 1– + i1Y 1 – u31Y R3 u23Y i3Y + – 3

R12
R23 u23?

R31

u31?

i2 ?
– 2+

+ – i2Y 2 + – 3

i3 ?

u12Y R2

R1

等效条件:

i1? =i1Y ,

i2 ? =i2Y ,

i3 ? =i3Y , u31? =u31Y
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u12? =u12Y , u23? =u23Y ,

i1? u12? i2 ? – R12

+

1– u31? i3 ?

+ i1Y R31 u12Y R2 – i + 2Y 2 +

1


u31Y

R1

R3
u23Y

– 3 2+ ?接: 用电压表示电流

R23 u23?

i3Y + – 3

i1? =u12? /R12 – u31? /R31 i2? =u23? /R23 – u12? /R12 i3? =u31? /R31 – u23? /R23
(1)

Y接: 用电流表示电压 u12Y=R1i1Y–R2i2Y u23Y=R2i2Y – R3i3Y u31Y=R3i3Y – R1i1Y i1Y+i2Y+i3Y = 0
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(2)

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由式(2)解得: u12Y R 3 ?u31Y R2 i1Y ? R1 R2 ? R2 R3 ? R3 R1

u23Y R1 ?u12Y R3 i2 Y ? R1 R2 ? R2 R3 ? R3 R1 (3) i2? =u23? /R23 – u12? /R12 (1)

i1? =u12? /R12 – u31? /R31

u31Y R2 ? u23Y R1 i3 Y ? R1 R2 ? R2 R3 ? R3 R1

i3? =u31? /R31 – u23? /R23

根据等效条件,比较式(3)与式(1),得Y??的 变换条件:

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R1 R2 R12 ? R1 ? R2 ? R3 R2 R3 R23 ? R2 ? R3 ? R1 R3 R1 R31 ? R3 ? R1 ? R2

G1G2 G12 ? G1 ? G2 ? G3 G2G3 或 G23 ? G ? G ? G 1 2 3 G3G1 G31 ? G1 ? G2 ? G3

类似可得到由??Y的变换条件: R12 R31 G12G31 R1 ? G1 ? G12 ? G31 ? R12 ? R23 ? R31 G23 R23 R12 G23G12 或 R2 ? G2 ? G23 ? G12 ? R12 ? R23 ? R31 G31 R31R23 G31G23 R3 ? G3 ? G31 ? G23 ? R12 ? R23 ? R31 G12
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简记方法:

R? ? Δ相邻电阻乘积 GΔ ? Y相邻电导乘积 ?GY ? R?
?变 Y Y变? 特例:若三个电阻相等(对称),则有

R?? = 3RY

R12 R1

R31
R3

外大内小

R2 R23

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注意
①等效对外部(端钮以外)有效,对内不成立。
②等效电路与外部电路无关。 ③用于简化电路

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例1 桥 T 电路
1k? 1k? 1k? 1k? R

1/3k?

1/3k? 1/3k? 1k? 1k?

+ E

R

-

+
E

-

+ E

3k?
R 3k? 3k?

-

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例2 计算90?电阻吸收的功率
1? + 20V 4? 90? 1? 4? 90? 3? 9? 9? 9? 9? i

1? + 20V i1 90? 10?

-

10 ? 90 Req ? 1 ? ? 10Ω 10 ? 90 3?

-

1? + 20V

3? 9?

i ? 20 / 10 ? 2A

1?

10 ? 2 i1 ? ? 0.2A 10 ? 90
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P ? 90i12 ? 90 ? (0.2)2 ? 3.6W

例3 求负载电阻RL消耗的功率
30? 20? 10? 20? 30? 2A RL 20? 2A 30? 30?

30? 10? 20? 10? 40? RL

30?

40?

30?

I L ? 1A
2 P ? R I ? 40W L L L

2A

10?

IL 10? 10? 40? RL 40?

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休息三分钟

2.5 电压源、电流源的串联和并联
1.理想电压源的串联和并联
①串联

注意参考方向
+ _

+ +

uS1

u ? us1 ? us 2 ? ? usk
+

_ u

uS2

_ _ 等效电路

u
等效电路
i

②并联

u ? u s1 ? u s 2
+

注意 相同电压源才能并
联,电源中的电流不确定。

+ u S2 _
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uS1

_

+ u _
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③电压源与支路的串、并联等效

+ i +

uS1 _ R1

+ u

uS2 _ R2 _ i

+ i +

uS

_ R u i _

u ? us1 ? R1i ? us 2 ? R2i ? (uS1 ? uS 2 ) ? ( R1 ? R2 )i ? uS ? Ri
+

+
任意 u R 元件 _ uS 对外等效!

+ _

uS

_

+ u _

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2. 理想电流源的串联并联
①并联

注意参考方向

i ? is1 ? is 2 ? ? ? ? ? isn ? ? isk
i
iSn 等效电路 i

iS1

iS2

②串联

iS1

iS2

i ? is1 ? is 2
源的端电压不能确定。

i

注意 相同的理想电流源才能串联, 每个电流
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3.电流源与支路的串、并联等效 i

iS1

R1

iS2

+ R2 u 等效电路 _

iS

R

i ? is1 ? u R1 ? is 2 ? u R2 ? is1 ? is 2 ? (1 R1 ? 1 R2 )u ? is ? u R
任意 元件 + iS u R _ iS 等效电路 对外等效!
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2.6 实际电源的两种模型及其等效变换
1. 实际电压源
i +
u +

伏安特性:
u

u ? uS ? RS i
us
i

uS

考虑内阻 0

_

RS

_

一个好的电压源要求 RS ? 0

注意 实际电压源也不允许短路。因其内阻小,
若短路,电流很大,可能烧毁电源。
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2. 实际电流源

伏安特性: u

iS
RS

u i ? iS ? RS
is

i

u

考虑内阻

注意 实际电流源也不允许开路。因其内阻大,
若开路,电压很高,可能烧毁电源。

+ _

0

i

一个好的电流源要求 RS ? ?

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3.电压源和电流源的等效变换
实际电压源、实际电流源两种模型可以进行等效 变换,所谓的等效是指端口的电压、电流在转换过 程中保持不变。 i+ + i uS 实际 实际 + _ iS u 电流 电压 GS u RS _ 源 源 _ 端口特性

i =iS – GSu

iS=uS /RS GS=1/RS

u=uS – RS i i = uS/RS– u/RS
比较可得等效条件
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小结 电压源变换为电流源: i S
uS _ RS + i+ u _

i GS + u _

is ?

us
+

RS

, GS ? 1
i+ u _

RS

电流源变换为电压源: i + iS GS u _

uS _ RS

uS ?

iS

GS

, RS ? 1
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GS
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注意
①变换关系

数值关系 方向:电流源电流方向与电压源电压方向相反。 ②等效是对外部电路等效,对内部电路是不等效的。 ? 电压源开路, RS上无电流流过 表 现 在 电流源开路, GS上有电流流过。 ? 电压源短路, RS上有电流;

uS _ RS

+

i+ i u _

i
iS
iS

GS
iS

+ u _

电流源短路, GS上无电流。 ③理想电压源与理想电流源不能相互转换。
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例1 利用电源转换简化电路计算
1. 5A 3? 4? I=? + 15V _ 8V + 2A 7? 7? I=0.5A

7?

2A 2. 5? + 10V _

+ 10V _

5? + U=? 6A _

6A

+ 2.5? U _

U=20V
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例2 把电路转换成一个电压源和一个电阻的串连
1. 10V + _ 6A

+ 10V _

10? 2. + 6V _ 10? 2A 6A

10? + 70V _

10? + 66V _
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1. 10V

+ _

6A

+ 10V _

1A 10?

6A

10?

7A 10?

+ _

70V

10?

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2.

+ 6V _ 10?

2A 6A

+ 6V _ 10? 6A

+ 6V _ 10? + 60V _

10? + 66V _
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例3 求电路中的电流I
2A 10? 10? + 40V _ 6? I 4? + 2A 30V _ 6? 2A 10? + 40V _ I 4? + 30V _
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6? I
4? + 30V _

30 ? 60 I? ? ?1.5A 20

10? + 60V _

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例4 求电流 i1
R2 R3 R ? R1 ? R2 ? R3

R1 + US _ i1

R3

R2

+ ri1
_

Ri1 ? ( R2 // R3 )ri1 / R3 ? U S
US i1 ? R ? ( R2 // R3 )r / R3

注意 受控源和独立
源一样可以进行电源转 换;转换过程中注意不 要丢失控制量。

i1 i 1 + R1 R ri1/R3 + + US (R2//R /R3 R32)ri //R 13 _ _

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例5 把电路转换成一个电压源和一个电阻的串连
1k?
+ 1k? I + U _ 500I 2k? + -I + 10V _ + U _

10V 0.5I _

U ? ?500 I ? 2000 I ? 10 ? 1500 I ? 10

1.5k?

I + U _

+ 10V _
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2.7 输入电阻
1.定义
无 源 i + u 输入电阻

2.计算方法

u Rin ? i

①如果一端口内部仅含电阻,则应用电阻的串、并联 和?—Y变换等方法求它的等效电阻; ②对含有受控源和电阻的两端电路,用电压、电流法 求输入电阻,即在端口加电压源,求得电流,或在 端口加电流源,求得电压,得其比值。
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例 计算下例一端口电路的输入电阻 1.
i1 R1 uS R2 + _ R3 R2 R1

R3

无源电 阻网络



先把有源网络的独立源置零:电压源短路; 电流源开路,再求输入电阻。

Rin ? ( R1 ? R2 ) // R3
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2.
+

6?



6 i1

+

6?

- 3?

6 i1

+ i

+

3? US _ i1

i1

_
外加电 压源

U

3i1 i ? i1 ? ? 1.5i1 6

U ? 6i1 ? 3i1 ? 9i1
U 9i1 Rin ? ? ? 6Ω i 1.5i1
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3. i2 0.1u1 等效 + u1 _ 5? i1 + u1 _

+ u

i

u1 u1 ? 15i1 i2 ? ? 1.5i1 10

i ? i1 ? i2 ? 2.5i1
u ? 5i ? u1 ? 5 ? 2.5i1 ? 15i1 ? 27.5i1

15?



5? 15?

u 27.5i1 Rin ? ? ? 11Ω i 2.5i1

10?

10 ?15 Rin ? 5 ? ? 11Ω 10 ? 15
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吃饭愉快!


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