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第五讲二次函数(学生用)


第五讲 二次函数
一、基础知识 1.解析式: y ? ax ? bx ? c ? a( x ?
2

例 2.已知集合 P={x|x2-5x+4≤0},Q={x|x2-2bx+b+2≤0}满足 P ? Q,求实数 b 的取值范围。

b 2 4ac ? b 2 ) ? ? a( x ? x1 )(x ? x2 ) (其中 a、b、c 2a 4a

例 3.已知 f ( x) ? ax 2 ? bx ,满足 1 ? f ( ?1) ? 2 且 2 ? f (1) ? 4 ,求 f ( ?2) 的取值范围.

∈R,a≠0,x1、x2 是此方程的两根(此时△≥0) 。 2.二次函数性质: ①定义域:二次函数本身的定义域是 R,但在综合、应用问题中出现的二次函数常常会 出现“限制型”的定义域; ②值域:a>0 时为 [

例 4. 已知函数 f ( x) ? x2 ? (2a ?1) x ? a2 ? 2 与非负 x 轴至少有一个交点,求 a 的取值范围.

? 4ac ? b 4ac ? b ,??), a ? 0时为? ? ?, ? 4a 4a ?
2

2

? ?; ?

例 5.已知函数 y ? ? sin x ? a sin x ?
2

a 1 ? 的最大值为 2 ,求 a 的值 . 4 2

(注意:当定义域变化时,值域也发生相应的变化) ③奇偶性:当 b=0 时为偶函数,当 b≠0 时既非奇函数也非偶函数; ④单调性: a ? 0时, 在? ? ?,? b ? 上为减函数,在 ?? b ,?? ? 上为增函数; ? ? ? ?
? 2a ?

例 6.已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? 1(a ? 0),设方程f ( x) ? x 的两个实数根为 x1、x2,
2

? 2a

?

b ? 上为增函数,在 ? b ? ? 上为减函数; a ? 0时, 在? ? ?,? ?? 2a ,?? ? 2a ? ? ? ? ?

(1)如果 x1 ? 2 ? x2 ? 4, 设函数 f (x) 的对称轴为 x ? x0 ,求证: x0 ? ?1; (2)如果 | x1 |? 2, | x2 ? x1 |? 2, 求实数 b 的取值范围.

b b 4ac ? b 2 , ). ⑤特性:1)对称轴方程为 x ? ? ,2)顶点 (? 2a 2a 4a

例 7.对于函数 f ( x ) ,若存在 x0 ? R ,使 f ( x0 ) ? x0 ,则称 x0 是 f ( x ) 的一个不动点,已知函数

二、例题解析 例 1(1)函数 y ? x ? bx ? c ( x ?[0, ??)) 是单调函数的充要条件是
2





A b?0

B. b ? 0

C. b ? 0

D. b ? 0 ( )

(2)若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0 对一切 x∈R 恒成立,则 a 的取值范围是 A.(-∞,2 ] B. [ -2,2 ] C.(-2,2 ] D.(-∞,-2) (3)设二次函数 f(x)=x2-x+a(a>0),若 f(m)<0,则 f(m-1)的值为 ( ) A.正数 B.负数 C.非负数 D.正数、负数和零都有可能

f ( x) ? ax2 ? (b ? 1) x ? (b ?1)(a ? 0) , (1)当 a ? 1, b ? ?2 时,求函数 f ( x ) 的不动点; (2)对任意实数 b ,函数 f ( x ) 恒有两个相异的不动点,求 a 的取值范围; (3)在(2)的条件下,若 y ? f ( x) 的图象上 A, B 两点的横坐标是 f ( x ) 的不动点,且 A, B 两点关于 1 直线 y ? kx ? 对称,求 b 的最小值. 2a 2 ? 1

(4)二次函数 f(x)的二次项系数为正,且对任意实数 x 恒有 f(2+x)=f(2-x),若 f(1-2x2)<f(1+2x-x2), 则 x 的取值范围是_________.

训练题
一、选择题 1.二次函数 y ? x 2 ? ax ? 1 在区间[0,3]上有最小值-2,则实数 a 的值为 A.-2
2





10.某商品进货单价为每个 8 元,按 10 元一个销售时,每天可售出 50 个.如果该商品每个提高销 售价 1 元,其每天销售量就要减少 5 个,为获得最大利润,则该商品最佳售价应为每 个 元. 三、解答题 11.已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a, b, c ?R)满足 f (?1) ? 0, f (1) ? 1, 且对任意实数 x 都有

B.4

10 C. ? 3

D.2

f ( x) ? x ? 0, 求f ( x) 的解析式;
( ) 12.a>0,当 x ? [?1,1] 时,函数 f ( x) ? ? x 2 ? ax ? b 有最小值-1,最大值 1.求使函数取得最大值和 ) 最小值时相应的 x 的值.

2.设函数 f ( x) ? 2x ? 3ax ? 2a( x, a ? R)的最小值为 m(a) ,当 m(a)有最大值时 a 的 值为 A.

4 3

B.

3 4

C.

8 9

D.

9 8

3.函数 f ( x) ? ax2 ? 2(a ? 3) x ? 1 在区间 ?? 2,??? 上递减,则实数 a 的取值范围是 ( A.[-3,0] B. ?? ?,?3? C. ?? 3,0? D.[-2,0] (

4.设二次函数 f ( x) ? x 2 ? x ? a, 若f (?m) ? 0, 则f (m ? 1) 的值为 A.正数 C.正、负不定,与 m 有关
2 2

) 13.已知 f ( x) ? ?4x 2 ? 4ax ? 4a ? a 2 在区间[0,1]内有最大值-5,求 a 的值.

B.负数 D.正、负不定,与 a 有关

5.已知 x1 , x2是方程x ? (k ? 2) x ? (k ? 3k ? 5) ? 0 (k 为实数)的两上实数根,则
2 x12 ? x2 的最小值为

( B.18 C. 5



2 14.函数 y ? f (x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0时, f ( x) ? 2 x ? x ,

A.19

5 9

D.不存在

(Ⅰ)求 x<0 时, f (x) 的解析式; (Ⅱ) 问是否存在这样的正数 a, 当 x ? [a, b]时, f ( x) 的值域为 [ , ] ?若存在, b, 求出所有的 a, b 的值;若不存在说明理由.

2 6.设函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) ,对任意实数 t 都有 f (2 ? t ) ? f (2 ? t ) 成立,则函数

1 1 b a

值 f (?1), f (1), f (2), f (5) 中,最小的一个不可能是 A.f(-1) 二、填空题 B.f(1) C.f(2) D.f(5)





7.设二次函数 f(x),对 x∈R 有 f ( x) ? f ( ) =25,其图象与 x 轴交于两点,且这两点的横坐 标的立方和为 19,则 f(x)的解析式为 8.已知二次函数 f ( x) ? ax ? 2ax ? 1 在区间[-3,2]上的最大值为 4,则 a 的值为
2

1 2

9.一元二次方程 x ? (a ? 1) ? (a ? 2) ? 0 的一根比 1 大,另一根比-1 小,则实数 a 的取
2 2

值范围是


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