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3-勾股定理的应用-教学设计


第一章 勾股定理

3. 勾股定理的应用
一、学生知识状况分析
本节将利用勾股定理及其逆定理解决一些具体的实际问题, 其中需要学生了 解空间图形、对一些空间图形进行展开、折叠等活动.学生在学习七年级上第一 章时对生活中的立体图形已经有了一定的认识,并从事过相应的实践活动,因而 学生已经具备解决本课问题所需的知识基础和活动经验基础.

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二、教学任务分析
本节是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级(上)第一章《勾股 定理》 第3节. 具体内容是运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题. 当然, 在这些具体问题的解决过程中,需要经历几何图形的抽象过程,需要借助观察、 操作等实践活动, 这些都有助于发展学生的分析问题、 解决问题能力和应用意识; 一些探究活动具体一定的难度, 需要学生相互间的合作交流,有助于发展学生合 作交流的能力. 本节课的教学目标是: 1.通过观察图形,探索图形间的关系,发展学生的空间观念. 2.在将实际问题抽象成数学问题的过程中,提高分析问题、解决问题的能力及 渗透数学建模的思想. 3.在利用勾股定理解决实际问题的过程中,体验数学学习的实用性. 利用数学中的建模思想构造直角三角形,利用勾股定理及逆定理,解决实际 问题是本节课的重点也是难点.

四、教法学法 1.教学方法
引导—探究—归纳 本节课的教学对象是初二学生,他们的参与意识教强,思维活跃,为了实现 本节课的教学目标,我力求以下三个方面对学生进行引导:

(1)从创设问题情景入手,通过知识再现,孕育教学过程; (2)从学生活动出发,顺势教学过程; (3)利用探索研究手段,通过思维深入,领悟教学过程.

2.课前准备
教具:教材、电脑、多媒体课件. 学具:用矩形纸片做成的圆柱、剪刀、教材、笔记本、课堂练习本、文具.

五、教学过程分析
本节课设计了七个环节.第一环节:情境引入;第二环节:合作探究;第三 环节:做一做;第四环节:小试牛刀;第五环节:举一反三;第六环节:交流小 结;第七环节:布置作业.

第一环节:情境引入
内容: 情景 1:多媒体展示: 提出问题:从二教楼到综合楼怎样走最近? 情景 2: 如图:在一个圆柱石凳上,若小明在吃东西时留下了一点食 物在 B 处,恰好一只在 A 处的蚂蚁捕捉到这一信息,于是它想 从 A 处爬向 B 处,你们想一想,蚂蚁怎么走最近? 意图: 通过情景 1 复习公理:两点之间线段最短;情景2的创设引入新课,激发学 生探究热情. 效果: 从学生熟悉的生活场景引入,提出问题,学生探究热情高涨,为下一环节奠 定了良好基础.

第二环节:合作探究
内容: 学生分为4人活动小组,合作探究蚂蚁爬行的最短路线,充分讨论后,汇总 各小组的方案,在全班范围内讨论每种方案的路线计算方法,通过具体计算,总

结出最短路线.让学生发现:沿圆柱体母线剪开后展开得到矩形,研究“蚂蚁怎 么走最近” 就是研究两点连线最短问题,引导学生体会利用数学解决实际问题的 方法. 学生汇总了四种方案:
A


A


A


(1) A→B 的路线长为:AB.

(2)

(3)

(4)

得出结论:利用展开图中两点之间,线段最短解 决问题.在这个环节中,可让学生沿母线剪开圆柱体, 具体观察.接下来后提问:怎样计算 AB? 方法提炼:解决实际问题的关键是根据实际问题 建立相应的数学模型,解决这一类几何型问题的具体步骤大致可以归纳如下: 1.审题——分析实际问题; 2.建模——建立相应的数学模型; 3.求解——运用勾股定理计算; 4.检验——是否符合实际问题的真实性.

第三环节:做一做
内容: 李叔叔想要检测雕塑底座正面的 AD 边和 BC 边是否分别垂 直于底边 AB,但他随身只带了卷尺, (1)你能替他想办法完成任务吗? (2)李叔叔量得 AD 长是 30 厘米,AB 长是 40 厘米,BD 长 是 50 厘米,AD 边垂直于 AB 边吗?为什么? (3)小明随身只有一个长度为 20 厘米的刻度尺,他能有办法检验 AD 边是否 垂直于 AB 边吗?BC 边与 AB 边呢? 解答: (2)? AD 2 ? AB 2 ? 302 ? 402 ? 2500
BD2 ? 2500

? AD 2 ? AB 2 ? BD 2

∴AD 和 AB 垂直.

第四环节:小试牛刀
内容: 1. 甲、 乙两位探险者到沙漠进行探险, 某日早晨 8: 00 甲先出发, 他以 6 km/h 的速度向正东行走,1 时后乙出发,他以 5 km/h 的速度向正北行走.上午 10: 00,甲、乙两人相距多远? 解答:如图:已知 A 是甲、乙的出发点,10:00 甲到达 B 点,乙到达 C 点.则: AB=2×6=12(km) AC=1×5=5(km) 在 Rt△ABC 中:
BC 2 ? AC 2 ? AB2 ? 52 ? 122 ? 169 ? 132.
北 C

∴BC=13(km) . 即甲乙两人相距 13 km.

A

B



2.如图,台阶 A 处的蚂蚁要爬到 B 处搬运食物,它怎么走最近?并求出最 近距离. 解答:? AB 2 ? 152 ? 202 ? 625 ? 252 .
3 2 20 B

第五环节:举一反三
内容:
A

1.在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题,这个问题 的意思是:有一个水池,水面是一个边长为 10 尺的正方形,在水池的中央有一 根新生的芦苇,它高出水面 1 尺,如果把这根芦苇垂直拉向岸边,它的顶端恰好 到达岸边的水面,请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少? 解答:设水池的水深 AC 为 x 尺,则这根芦苇长为 AD=AB=(x+1)尺, 在直角三角形 ABC 中,BC=5 尺. 由勾股定理得:BC2+AC2=AB2. 即 52+ x2=(x+1)2.

25+x2= x2+2x+1. 2x=24. ∴ x=12,x+1=13. 答:水池的水深 12 尺,这根芦苇长 13 尺. 意图: 第 1 题旨在对“蚂蚁怎样走最近”进行拓展,从圆柱侧面到棱柱侧面,都是 将空间问题平面化; 第 2 题, 学生可以进一步了解勾股定理的悠久历史和广泛应 用,了解我国古代人民的聪明才智;运用方程的思想并利用勾股定理建立方程. 效果: 学生能画出棱柱的侧面展开图,确定出 AB 位置,并正确计算.如有可能, 还可把正方体换成长方体进行讨论. 学生能画出示意图,找等量关系,设适当的未知数建立方程. 注意事项:对于普通班级而言,学生完成“小试牛刀” ,已经基本完成课堂 教学任务. 因此本环节可以作为教学中的一个备选环节,共老师们根据学生状况 选用.

第六环节:布置作业
1.课本习题 1.4 第 1,3 题.


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