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2013年江苏省清江中学高中数学竞赛选拔考试试题


2013 年江苏省清江中学高中数学竞赛选拔考试试题
一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,共64分.把答案填在答题纸上. 1. 对于集合 {x | a ? x ? b} , 我们把 b ? a 称为它的长度. 设集合 A ? {x | a ? x ? a ? 1981} , ,且 的子集,则集合 B ? { x | b? 1 0 1 4 x ? b } A, B 都是

集合 U ? { x | 0 ? x ? 2012} ? A ? B 的长度的最小值是_____________. ?cos 2 (? x) ? 2sin(? y ) ? 1 ? 2.已知 x ? 0, y ? 0 ,且满足 ? sin(? x) ? sin(? y ) ? 0 ,则有序数对 ( x, y ) =______. ? x 2 ? y 2 ? 12 ? 3. 函数 f ( x) ? 3x ? 6 ? 3 ? x 的值域是____________________ 4.在直角坐标系 xOy 中,已知圆心在原点 O 、半径为 R 的圆与△ ABC 的边有公共点,

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? 5.在 ?ABC 中,若 AB?AC ? 7,| AB ? AC |? 6 ,则 ?ABC 面积的最大值为__________. 6.若直线系 C : x cos t ? ( y ? 1)sin t ? 2 中的三条直线围成正三角形区域 D ,则区域的 D
面积为_______________________ . 7. 在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB ? 4 , BC ? CC1 ? 2 2 ,M 是 BC1 的中点, N 是 MC1 的中点.若异面直线 AN 与 CM 所成的角为 ? 、距离为 d ,则 d sin ? =____. 8.已知 m 是正整数,且方程 2 x ? m 10 ? x ? m ? 10 ? 0 有整数解,则 m 所有可能的值 是 . 二、解答题:本大题共3小题,共56分.解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤. 9.(16分)已知函数 f ( x) ? a sin x ?

其中 A ? ? 4,0? 、 B ? ? 6,8? 、 C ? ? 2, 4? ,则 R 的取值范围为



(1)若对任意 x ? R ,都有 f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围;

1 3 1 cos 2 x ? a ? ? , a ? R 且 a ? 0 。 2 a 2

(2)若 a ? 2 ,且存在 x ? R ,使得 f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围.

10. (20 分)已知整数列 ?an ? 满足 a3 ? ?1 , a7 ? 4 ,前 6 项依次成等差数列,从第 5 项 起依次成等比数列. (1) 求数列 ?an ? 的通项公式; (2) 求出所有的正整数 m ,使得 am ? am?1 ? am?2 ? am am?1am?2 .

11. (20 分)已知平面上两个同心圆的半 径分别为 R 和 r(R>r).设 P 是小圆周上的一个定 点,B 是大圆周上的动点,直线 BP 与大圆相交于另一点 C,通过点 P 且与 BP 垂直的直线 l 与小圆周相交于另一点 A(若 l 与小圆周相切于 P,则 A=P). (1)求表达式 BC2+CA2+AB2 所取值的集合; (2)求线段 AB 的中点的轨迹.
[来源:学科网]

一、填空题 1._________________2.________________3._______________4._________________ 5._________________6.________________7._______________8._________________ 二、解答题 9.

10.

11.

2013 年江苏省清江中学高中数学竞赛选拔考试试题参考答案
1.983 2。 (4, 2) 3,14,30 3。 [1,2]

4 3 8 5 4。[ ,10] 5。12 6。 ,12 3 5 3

7。

4 5

8。

10.解:(1) 设数列前 6 项的公差为 d,则 a5=-1+2d,a6=-1+3d,d 为整数. 又 a5,a6,a7 成等比数列,所以(3d-1)2=4(2d-1), 即 9d2-14d+5=0,得 d =1. …………………6 分 当 n≤6 时,an =n-4, 由此 a5=1,a6=2,数列从第 5 项起构成的等比数列的公比为 2, 所以,当 n≥5 时,an =2n-5. ? ?n-4,n≤4, 故 an =? n-5 …………………10 分 ? ?2 , n≥5. (2) 由(1)知,数列 ?an ? 为:-3,-2,-1,0,1,2,4,8,16,… 当 m=1 时等式成立,即 -3-2-1=―6=(-3)(-2)(-1); 当 m=3 时等式成立,即 -1+0+1=0; 当 m=2、4 时等式不成立; …………………15 分 3m-12 m-5 3 当 m≥5 时,amam+1am+2 =2 , am +am+1+am+2=2 (2 -1)=7×2m-5, m-5 3m-12 7×2 ≠2 ,

所以 am +am+1+am+2≠amam+1am+2 . 故所求 m= 1,或 m=3. …………………20 分 11.解:(1)以圆心 O 为原点建立直角坐标系, (如图) ,并使 P 点在 x 轴负半轴上,则 P(- r,0).两圆方程为 x2+y2=R2,x2+y2=r2. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则 BC2+CA2+AB2=(x2-x3)2+(y2-y3)2+(x3-x1)2+(y3 -y1)2+(x1-x2)2+(y1-y2)2=4R2+2r2-2(x1x2+x2x3+x3x1+y1y2+y2y3+y3y1).由于 PA⊥ PB,故有(x1+r)(x2+r)+y1y2=0,即 x1x2+y1y2=-r(x1+x2)-r2,所以 x1x2+x2x3+x3x1+ y1y2+y2y3+y3y1=-r(x1+x2)-r2+x3(x1+x2)+y3(y1+y2)=-(x1+x2)(r-x3)+y3(y1+y2)-r2 ① 设 BC 与小圆的另一个交点为 A',因为 PA⊥PB,故 A'(-x1,-y1).由同一圆的性质 ?x1+x2=-r-x3, 知线段 BC 与 A'P 有相同的中点,所以? ② ?y1+y2=-y3. ②代入①,得 x1x2+x2x3+x3x1+y1y2+y2y3+y3y1=-(-r-x3)(r-x3)+y3(-y3)-r2=r2 2 -x3 -y32-r2=-R2.所以,BC2+CA2+AB2=6R2+2r2.
?x3=-r-(x1+x2)=-r-2x, (2)设 AB 的中点为(x,y),由②知,? 代入 x32+y32=R2, ?y3=-(y1+y2)=-2y. r R2 r R 得 AB 中点的轨迹为(x+ )2+y2= ,这是一个以点(- ,0)为圆心, 为半径的圆. 2 4 2 2


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