03 点的合成运动2

回顾
动点 动点 动系 静系 动系 静系 绝对运动 相对运动 牵连运动
牵连运动: 在某一瞬时与 动点M重合而与动坐标系固 结在一起的点M’，对于静 坐标系的轨迹为牵连运动 的轨迹.

va ? ve ? vr
方向：√ 大小： √ √ √ √ √

aa ? ae ? ar ? ac
√ √ √ √

√ √

（x、y 轴投影式）

这是矢量合成 而非平衡方程
1

§7.3 点的加速度合成
二、牵连运动为转动时点的速度合成定理
设一圆盘以匀角速度? 绕定轴Ｏ 顺时针转动，盘上圆槽内有一点M以

大小不变的速度 vr 沿槽作圆周运动，
那么M点相对于静系的绝对加速度应 是多少呢？

2

选点M为动点，动系固结与圆盘上，

则M点的牵连运动为匀速转动
ve ??R, ae ?? 2 R （方向如图）
相对运动为匀速圆周运动，
v 有vr ? 常数, ar ? r R
2

（方向如图）

由速度合成定理可得出
va ? ve ? v r ??R ? v r ?常数

即绝对运动也为匀速圆周运动，所以

va ( R? ? vr ) vr 2 aa ? ? ? R? ? ? 2?vr R R R 方向指向圆心Ｏ点
2 2 2
3

va ( R? ? vr ) vr 2 aa ? ? ? R? 2 ? ? 2?vr R R R ? ae ? ar ? 2?vr
2 2

1、加速度合成定理：

? ? ? ? ? aa ? ae ? ar ? 2?e ? vr ? ? ? ? 科氏加速度 aa ? ae ? ar ? ac （Coriolis acceleration）
?? ? n ?? ? n ?? ? n ? aa ? aa ? ae ? ae ? ar ? ar ? ac
4

? ? ? ac ? 2?e ? vr

2、科氏加速度（Coriolis acceleration）

? ? ? ac ? 2?e ? vr

1大小 2方向

? 2?e vr sin ?

从矢端ac的端点看过 去，将 ?e 按逆时针 转动到vr的角度应最 小
两次螺旋法右手则

?e

? 最小

? ?e ac

? ac

vr
5

ac ? 2?e vr sin ?
?e // vr ? ? ? 0?or180?

?e
?

? ac ? 2?e vr
3意义

?e ? vr ? ? ? 90?

? ac ? 0

? ac

vr

牵连运动?e和相对 运动vr的相互影响
6

[例3-7] 曲柄摆杆机构 已知：OA= r , ?, OO1=l 图示瞬时OA?OO1 求：摆杆O1B的角加速度

vr ? va cos ? ? 72cm/s
aa ? aeτ ? aen ? ar ? ac

解：(1)取OA杆上A点为动点，摆杆O1B为动系， 基座为静系。 绝对速度va = r ? 方向? OA aeτ 相对速度vr = ? 方向//O1B aa 牵连速度ve = ? 方向?O1B

ae vr ? va cos ? ? 72cm / s
1

aa ? OA? 2 ? 588cm s 2

由速度合成定理 va= vrO ve 作出速度平行四边形 如图示。 +A aeτ
aen

?1 ? 1.85rad s
7

（2）加速度分析，根据加速度合成定理， 作加速度矢量图，求未知量。

vr

aa ? a ? a ? ar ? ac
τ e n e

方向：√ 大小：√

√ ?
2

√ √

√ √ ? √
2

aa ? OA? ? 588cm s

a ? R? ? ?
τ e

ac

?

aen ? O1 A?12

ar ? ?
?

?e
2
8

ac ? 2?e ? vr ? 2?1vr sin 90 ? 266.4cm s

向O1x’轴投影
?aa cos ? ? a ? ac
τ e

a ? ac ? aa cos? ? ?237.4cm s
τ e

2

aeτ ?237.4 ?? ? rad s 2 ? ?10.2 rad s 2 O1 A 122 ? 202

9

?

【例3.8】 如图3.15(a)所示，大圆环固定不动，其半径为r。 AB杆绕A端在圆环平面内转动，图示位置时其角速度为? ，角 加速度为 ? 。杆与大圆环间栓一小圆环M。求图3.15(a)所示 位置时小圆环M的速度和加速度。

?

解：(1) 选动点和动系。选小圆环M为动点，取杆AB 为动系。 (2) 分析三种运动和三种速度。

va

vr

va ve
10

(3) 根据速度合成定理，作速度平行四边形

va ? ve ? vr
方向： √ 大小： ？ √ √ √ ?

ve AM ? ? 2r cos ? ? ? va ? ? ? ? 2r? cos ? cos ? cos ?

vr ? ve tan ? ? 2r? cos ? tan ? ? 2r? sin ?
11

(4) 加速度分析

?e
90?

a ? AM ? ? ? 2r cos ? ? ?

v 2 a ? ? 4r? r
n a
τ e

2 a

ar

a ? AM ? ?
n e

2
o 2

ac ? 2?vr sin90 ? 2?vr ? 4r? sin ?
12

a ? a ? a ? a ? ar ? ac
τ a n a τ e n e

方向：√ √ 大小： ? √

√ √ √ √

√

√ ? √

向Mx’轴投影

a cos ? ? 4r? sin ? ? 2rα cos? ? 4rω sin?
? a 2 2

a = 2rα
13

? a

?
?

合成运动方法分析一般步骤：

?
?

?

?

(1) 选择动点和动系。应注意动点和动系不能选在 同一个物体上，且动点的相对运动轨迹应易于直观看 出或为已知曲线。 va = ve + v r (2) 分析运动。 (3) 由速度合成定理的矢量关系 va = ve + vr 作出速度 ， 平行四边形，由几何关系解出待求量。 (4) 加速度分析，根据加速度合成定理，作加速度 aa ? ae ? ar aa ? ae ? ar ? ac 矢量图，求未知量。 ? Fx ? 0 ? Fy ? 0 求加速度时，用投影法十分简便，且可把不需求出的 量通过在与其垂直的轴上投影消去。必须注意，这里 是矢量等式 aa ? ae ? ar aa ? ae ? ar ? ac 的两边分别在同 一坐标轴上投影，与静力学平衡方程是不相同的。 14

例9. 圆盘半径为R=5cm，以匀角 ?1 ? 5rad 速度绕轴CD转动，同时框架和 CD轴一起匀角速度绕通过圆盘中 心O的铅直轴AB转动。求圆盘上 C 1、2点的绝对加速度。
[解] 1点的绝对加速度 动点：圆盘上的点1; 1 vr 动系：固结在框架上; 静系：固结地面上。 牵连运动：水平面内绕AB轴定轴匀速转动； 2 ae ? ?2 R =45cm/s 2 方向 1 ? O 相对运动：铅直面内绕O点匀速转动， ar ? ?12 R=125 cm/s2 方向 1 ? O 科氏加速度：

/ s; ?2 ? 3rad / s
2

?2

ar ae
O

D

?1

A

?2
B

绝对加速度 a ? a ? a ? a ? 170cm / s 2 a e r c

ac ? 2?2 vr sin ? ? 2?2vr sin180? ? 0
15

2点的绝对加速度

ae ?？ ae ? ? r =0
2 2

?
vr
C

?e
2

ac
D

ar ? ?12 R=125 cm/s 2 方向 2 ? O

ar

?
O

ac ? 2?2 vr sin ?
? 2?2vr sin 90? ? 150cm / s
? aa ? a r2 ? a c2 ? 195cm / s 2 ac ? ? arctan ? 50?12' ar
2
1 A

?1

?2
B

16

本章总结
一．概念及公式 1. 一点、二系、三运动 2. 速度合成定理 va ? ve 3. 加速度合成定理 牵连运动为平动时

? vr

aa ? ae ? ar

? ? ? ? ? ? ? aa ? ae ? ar ? ac (ac ? 2? ? vr ) ?? ? n ?? ? n ?? ? n ? aa ? aa ? ae ? ae ? ar ? ar ? ac
17

牵连运动为转动时

二．解题技巧 1. 恰当地选择动点.动系和静系, 应满足选择原则： ?1）两个不相关的动点，求二者的相对速度。 根据题意, 选择其中之一为动点, 动系为 固结于另一点的平动坐标系。 ?2）运动刚体上有一动点，点作复杂运动。 该点取为动点，动系固结于运动刚体上。 ?3）机构传动, 传动特点是在一个刚体上存在一个 不变的接触点, 相对于另一个刚体运动。
导杆滑块机构：典型方法是动系固结于导杆，取滑块为动点。 凸轮挺杆机构：典型方法是动系固结于凸轮，取挺杆上与凸轮接 触点为动点。
18

2. 速度问题, 一般采用几何法求解简便, 即作出速度平行四边形； 加速度问题, 往往超过三个矢量, 一般采用解析（投影）法求 解，投影轴的选取依解题简便的要求而定。

19

三．注意问题
1. 牵连速度及加速度是牵连点的速度及加速度。

2. 牵连转动时作加速度分析不要丢掉 ac ，正确分析和计算 ac 。
3. 加速度矢量方程的投影是等式两端的投影，与静平衡方程

的投影式不同。
4. 圆周运动时，

an ? v 2 / R ? ? 2 R
( ? 为曲率半径)
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非圆周运动时， an ? v 2 / ? ? ? 2 ?

[例10] 曲柄滑杆机构 o ? 已知: OA＝l ； = 45 时，?, e ; 求：小车的速度与加速度． 解： 动点：OA杆上 A点; 动系：固结在滑杆上; 静系：固结在机架上。 绝对运动：圆周运动，va ? l? (方向?OA) ? n aa ? le (方向?OA), aa ? l? 2 (沿AO指向O ) 相对运动：直线运动， vr ? ? ar ? ? 铅直方向 牵连运动：平动；

ve ? ? ae ? ? 水平方向, 待求量.
21

根据速度合成定理

va ? ve ? vr 做出速度平行四边形, 如图示
2 l? (?) 2

ve ? va cos? ? l? cos45? ?

1小车的速度： v
?

? ve
n

根据牵连平动的加速度合成定理

aa ? aa ? ae ? ar
方向：√ 大小：√ √ √ √ ？ √ ?

22

根据牵连平动的加速度合成定理

aa ? aa ? ae ? ar
n

?

方向：√ 大小：√

√ √

√ ？

√ ?

投影至x轴： ? n a a cos? ? a a sin? ? a e

?ae ? le cos45? ? l? 2 sin45? ? 2 (e ? ? 2 )l ，方向如图示 2 2小车的加速度： ? ae a

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重难点总结
重点：动点、牵连点、动系、静系的概念；

绝对运动、相对运动、牵连运动的概念
难点：绝对速度、相对速度、牵连速度；

牵连运动为平动时的绝对加速度、相对加速 度、牵连加速度
科氏加速度

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作 业
?

第3-2,3-3,3-8, 3-11,3-15题

?

下周二交

25