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03 点的合成运动2


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动点 动点 动系 静系 动系 静系 绝对运动 相对运动 牵连运动
牵连运动: 在某一瞬时与 动点M重合而与动坐标系固 结在一起的点M’,对于静 坐标系的轨迹为牵连运动 的轨迹.

va ? ve ? vr
方向:√ 大小: √ √ √ √ √

aa ? ae ? ar ? ac
√ √ √ √

√ √

(x、y 轴投影式)

这是矢量合成 而非平衡方程
1

§7.3 点的加速度合成
二、牵连运动为转动时点的速度合成定理
设一圆盘以匀角速度? 绕定轴O 顺时针转动,盘上圆槽内有一点M以

大小不变的速度 vr 沿槽作圆周运动,
那么M点相对于静系的绝对加速度应 是多少呢?

2

选点M为动点,动系固结与圆盘上,

则M点的牵连运动为匀速转动
ve ??R, ae ?? 2 R (方向如图)
相对运动为匀速圆周运动,
v 有vr ? 常数, ar ? r R
2

(方向如图)

由速度合成定理可得出
va ? ve ? v r ??R ? v r ?常数

即绝对运动也为匀速圆周运动,所以

va ( R? ? vr ) vr 2 aa ? ? ? R? ? ? 2?vr R R R 方向指向圆心O点
2 2 2
3

va ( R? ? vr ) vr 2 aa ? ? ? R? 2 ? ? 2?vr R R R ? ae ? ar ? 2?vr
2 2

1、加速度合成定理:

? ? ? ? ? aa ? ae ? ar ? 2?e ? vr ? ? ? ? 科氏加速度 aa ? ae ? ar ? ac (Coriolis acceleration)
?? ? n ?? ? n ?? ? n ? aa ? aa ? ae ? ae ? ar ? ar ? ac
4

? ? ? ac ? 2?e ? vr

2、科氏加速度(Coriolis acceleration)

? ? ? ac ? 2?e ? vr

1大小 2方向

? 2?e vr sin ?

从矢端ac的端点看过 去,将 ?e 按逆时针 转动到vr的角度应最 小
两次螺旋法右手则

?e

? 最小

? ?e ac

? ac

vr
5

ac ? 2?e vr sin ?
?e // vr ? ? ? 0?or180?

?e
?

? ac ? 2?e vr
3意义

?e ? vr ? ? ? 90?

? ac ? 0

? ac

vr

牵连运动?e和相对 运动vr的相互影响
6

[例3-7] 曲柄摆杆机构 已知:OA= r , ?, OO1=l 图示瞬时OA?OO1 求:摆杆O1B的角加速度

vr ? va cos ? ? 72cm/s
aa ? aeτ ? aen ? ar ? ac

解:(1)取OA杆上A点为动点,摆杆O1B为动系, 基座为静系。 绝对速度va = r ? 方向? OA aeτ 相对速度vr = ? 方向//O1B aa 牵连速度ve = ? 方向?O1B

ae vr ? va cos ? ? 72cm / s
1

aa ? OA? 2 ? 588cm s 2

由速度合成定理 va= vrO ve 作出速度平行四边形 如图示。 +A aeτ
aen

?1 ? 1.85rad s
7

(2)加速度分析,根据加速度合成定理, 作加速度矢量图,求未知量。

vr

aa ? a ? a ? ar ? ac
τ e n e

方向:√ 大小:√

√ ?
2

√ √

√ √ ? √
2

aa ? OA? ? 588cm s

a ? R? ? ?
τ e

ac

?

aen ? O1 A?12

ar ? ?
?

?e
2
8

ac ? 2?e ? vr ? 2?1vr sin 90 ? 266.4cm s

向O1x’轴投影
?aa cos ? ? a ? ac
τ e

a ? ac ? aa cos? ? ?237.4cm s
τ e

2

aeτ ?237.4 ?? ? rad s 2 ? ?10.2 rad s 2 O1 A 122 ? 202

9

?

【例3.8】 如图3.15(a)所示,大圆环固定不动,其半径为r。 AB杆绕A端在圆环平面内转动,图示位置时其角速度为? ,角 加速度为 ? 。杆与大圆环间栓一小圆环M。求图3.15(a)所示 位置时小圆环M的速度和加速度。

?

解:(1) 选动点和动系。选小圆环M为动点,取杆AB 为动系。 (2) 分析三种运动和三种速度。

va

vr

va ve
10

(3) 根据速度合成定理,作速度平行四边形

va ? ve ? vr
方向: √ 大小: ? √ √ √ ?

ve AM ? ? 2r cos ? ? ? va ? ? ? ? 2r? cos ? cos ? cos ?

vr ? ve tan ? ? 2r? cos ? tan ? ? 2r? sin ?
11

(4) 加速度分析

?e
90?

a ? AM ? ? ? 2r cos ? ? ?

v 2 a ? ? 4r? r
n a
τ e

2 a

ar

a ? AM ? ?
n e

2
o 2

ac ? 2?vr sin90 ? 2?vr ? 4r? sin ?
12

a ? a ? a ? a ? ar ? ac
τ a n a τ e n e

方向:√ √ 大小: ? √

√ √ √ √



√ ? √

向Mx’轴投影

a cos ? ? 4r? sin ? ? 2rα cos? ? 4rω sin?
? a 2 2

a = 2rα
13

? a

?
?

合成运动方法分析一般步骤:

?
?

?

?

(1) 选择动点和动系。应注意动点和动系不能选在 同一个物体上,且动点的相对运动轨迹应易于直观看 出或为已知曲线。 va = ve + v r (2) 分析运动。 (3) 由速度合成定理的矢量关系 va = ve + vr 作出速度 , 平行四边形,由几何关系解出待求量。 (4) 加速度分析,根据加速度合成定理,作加速度 aa ? ae ? ar aa ? ae ? ar ? ac 矢量图,求未知量。 ? Fx ? 0 ? Fy ? 0 求加速度时,用投影法十分简便,且可把不需求出的 量通过在与其垂直的轴上投影消去。必须注意,这里 是矢量等式 aa ? ae ? ar aa ? ae ? ar ? ac 的两边分别在同 一坐标轴上投影,与静力学平衡方程是不相同的。 14

例9. 圆盘半径为R=5cm,以匀角 ?1 ? 5rad 速度绕轴CD转动,同时框架和 CD轴一起匀角速度绕通过圆盘中 心O的铅直轴AB转动。求圆盘上 C 1、2点的绝对加速度。
[解] 1点的绝对加速度 动点:圆盘上的点1; 1 vr 动系:固结在框架上; 静系:固结地面上。 牵连运动:水平面内绕AB轴定轴匀速转动; 2 ae ? ?2 R =45cm/s 2 方向 1 ? O 相对运动:铅直面内绕O点匀速转动, ar ? ?12 R=125 cm/s2 方向 1 ? O 科氏加速度:

/ s; ?2 ? 3rad / s
2

?2

ar ae
O

D

?1

A

?2
B

绝对加速度 a ? a ? a ? a ? 170cm / s 2 a e r c

ac ? 2?2 vr sin ? ? 2?2vr sin180? ? 0
15

2点的绝对加速度

ae ?? ae ? ? r =0
2 2

?
vr
C

?e
2

ac
D

ar ? ?12 R=125 cm/s 2 方向 2 ? O

ar

?
O

ac ? 2?2 vr sin ?
? 2?2vr sin 90? ? 150cm / s
? aa ? a r2 ? a c2 ? 195cm / s 2 ac ? ? arctan ? 50?12' ar
2
1 A

?1

?2
B

16

本章总结
一.概念及公式 1. 一点、二系、三运动 2. 速度合成定理 va ? ve 3. 加速度合成定理 牵连运动为平动时

? vr

aa ? ae ? ar

? ? ? ? ? ? ? aa ? ae ? ar ? ac (ac ? 2? ? vr ) ?? ? n ?? ? n ?? ? n ? aa ? aa ? ae ? ae ? ar ? ar ? ac
17

牵连运动为转动时

二.解题技巧 1. 恰当地选择动点.动系和静系, 应满足选择原则: ?1)两个不相关的动点,求二者的相对速度。 根据题意, 选择其中之一为动点, 动系为 固结于另一点的平动坐标系。 ?2)运动刚体上有一动点,点作复杂运动。 该点取为动点,动系固结于运动刚体上。 ?3)机构传动, 传动特点是在一个刚体上存在一个 不变的接触点, 相对于另一个刚体运动。
导杆滑块机构:典型方法是动系固结于导杆,取滑块为动点。 凸轮挺杆机构:典型方法是动系固结于凸轮,取挺杆上与凸轮接 触点为动点。
18

2. 速度问题, 一般采用几何法求解简便, 即作出速度平行四边形; 加速度问题, 往往超过三个矢量, 一般采用解析(投影)法求 解,投影轴的选取依解题简便的要求而定。

19

三.注意问题
1. 牵连速度及加速度是牵连点的速度及加速度。

2. 牵连转动时作加速度分析不要丢掉 ac ,正确分析和计算 ac 。
3. 加速度矢量方程的投影是等式两端的投影,与静平衡方程

的投影式不同。
4. 圆周运动时,

an ? v 2 / R ? ? 2 R
( ? 为曲率半径)
20

非圆周运动时, an ? v 2 / ? ? ? 2 ?

[例10] 曲柄滑杆机构 o ? 已知: OA=l ; = 45 时,?, e ; 求:小车的速度与加速度. 解: 动点:OA杆上 A点; 动系:固结在滑杆上; 静系:固结在机架上。 绝对运动:圆周运动,va ? l? (方向?OA) ? n aa ? le (方向?OA), aa ? l? 2 (沿AO指向O ) 相对运动:直线运动, vr ? ? ar ? ? 铅直方向 牵连运动:平动;

ve ? ? ae ? ? 水平方向, 待求量.
21

根据速度合成定理

va ? ve ? vr 做出速度平行四边形, 如图示
2 l? (?) 2

ve ? va cos? ? l? cos45? ?

1小车的速度: v
?

? ve
n

根据牵连平动的加速度合成定理

aa ? aa ? ae ? ar
方向:√ 大小:√ √ √ √ ? √ ?

22

根据牵连平动的加速度合成定理

aa ? aa ? ae ? ar
n

?

方向:√ 大小:√

√ √

√ ?

√ ?

投影至x轴: ? n a a cos? ? a a sin? ? a e

?ae ? le cos45? ? l? 2 sin45? ? 2 (e ? ? 2 )l ,方向如图示 2 2小车的加速度: ? ae a

23

重难点总结
重点:动点、牵连点、动系、静系的概念;

绝对运动、相对运动、牵连运动的概念
难点:绝对速度、相对速度、牵连速度;

牵连运动为平动时的绝对加速度、相对加速 度、牵连加速度
科氏加速度

24

作 业
?

第3-2,3-3,3-8, 3-11,3-15题

?

下周二交

25


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