高中数学 等比数列课件

等比数列

复习：
(1)什么叫等差数列?
如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差等于同一个常 数,那么这个数列就叫做等差数列.其表示为:

an ? an?1 ? d (d为常数, n ? 2)
(2) 等差数列的通项公式是什么?

an=a1+(n-1)d an ? am ? (n ? m) ? d

(其中n, m ? N ? )

(3)在等差数列{an}中，若m+n=p+q（m，n，p，q是正整数）， 则 am+an= ap+ aq
(4)如果a, A, b 成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项.

a?b A? 2

观察数列 ( 1) (2)

2，4，8，16，32，64. 1，3，9，27，81
1 1 1 1 , , , ,? 2 4 8 16

? 3?
(4) (5) (6)

5，5，5，5，5，5，… 1，-1，1，-1，1，…

1, x, x , x , x ,?( x ? 0)
2 3 4

观察这些数列有哪些特点?
这就是说，这些数列具有这样的共同特点： 从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一常数。

复习等差数列的有关概念
定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数（指与 n无关的数），这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用 字母d表示。

an?1 ? an ? d (是与n无关的数或式子） 当d≠0时，这是 等差数列 ?a ? 的通项公式为 n 关于n的一个一 an ? a1 ? (n ?1)d 次函数。
如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列， a?b 那么A叫做a与b的等差中项。 A? 等差数列 an 的前n项和 2

? ?

Sn ? Sn

n（a1 ? an ) 2 n（n ? 1) ? na1 ? d 2

Sn

n（n ? 1) ? na n ? d 2

当公差d=0时，Sn ? na1 ， 当d≠0时， n ? ? d n 2 ? (a1 ? d )n , S 2 2 是关于n的二次函数且常数项 为0.

变形虫分裂问题
假设每经过一个单位时间每个变形虫 都分裂为两个变形虫，再假设开始有一个变 形虫，经过一个单位时间它分裂为两个变形 虫，经过两个单位时间就有了四个变形 虫，…，一直进行下去，记录下每个单位时 间的变形虫个数得到了一列数这个数列也具 有前面的几个数列的共同特性，这是我们将 要研究的另一类数列——等比数列.

一般的，如果一个数列从第2 项起，每一项与它前一项的比等 于同一个常数，这个数列就叫做 等比数列。 这个常数叫做等比数列的
公比，公比通常用字母q表示。(q≠0）
a2 a3 a4 an?1 q ? ? ? ? ... ? a1 a2 a3 an
或

an ? q(n ? 2) an?1

an?1 * ? q(n ? N ) an

特点：

1、 “从第二项起”与“前一项”之 为常数q 2、 隐含：任一项 an ? 0 且 q ? 0
{ 为常数列 3、 q ? 1 时， an }

观察数列 ( 1) (2)

2，4，8，16，32，64.
1 1 1 1 , , , ,? 2 4 8 16

公比 q=2 递增数列
1 公比 q= 递减数列 2

1，3，9，27，81，243，… 公比 q=3 递增数列

(3) (4)
(5) (6)

5，5，5，5，5，5，…
1，-1，1，-1，1，…
2 3 4

公比 q=1 非零常数列 公 比q= -1 摆动数列 公比 d= x

1, x, x , x , x ,?( x ? 0)

因为x的正负性不确 定，所以该数列的 增减性等尚不能确 定。

考考你
由常数 a, a,?, a 所组成的数列 一定为等比数列吗?
不一定是等比数列。

若此常数列为{0}，则此数列从第二项起， 第二项与它前一项的比将没有意义，故非 零常数列才是等比数列。
因此，常数列一定是等差数列,但但不一定 是等比数列.

20 18 16 14 12 10 8
6 4 2 0

数列：1，2，4，8，16，…
●

? an ? 2
● ● ● ●

n ?1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

10 9 8 7 6 5 4
3 2 1 0

数列： 8, 4, 2,1,
●

1 1 1 , , ,? 2 4 8

●

?1? ? an ? 8 ? ? ? ?2?
● ● ●

n ?1

●

1

2

3

4

5

6

●

7

8

9

10

10 9 8 7 6 5 4
3 2 1 0

数列：4，4，4，4，4，4，4，…

? an ? 4
● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

10 9 8 7 6 5 4
3 2 1 0

数列：1，-1，1，-1，1，-1，1，…

? an ? ? ?1?

n ?1

●

●

●

●

●

1

2
●

3

4
●

5

6
●

7

8
●

9

10
●

等比数列的通项公式
a2 ? a1q ? a2q ? a1q 2 a3 ? a3q ? a1q 3 a4 an ? an?1q ? a1q
a2 a3 … an ? q ?q ?q a1 an?1 a2

?

a2 a3 an n ?1 ? ? ?? ?q a1 a2 an?1
n?1

? an ? a1q

n ?1

不完全归纳法

连乘法

等比数列通项公式为：

an ? a1q

n?1

? am q

n? m

1、q=1为常数列，q<0为摆动数列 2、那么q>1或0<q<1数列为什么数列呢?

q>1, a1>0,数列为递增；

a1<0,数列为递减； 0<q<1, a1>0,数列为递减；

a1<0,数列为递增；

数 定

列 义

等 差 数 列 an+1-an=d d 叫公差 an+1=an+d

等 比 数 列

an?1

an

?q

公差（比）

q叫公比 an+1=an q

定义变形
通项公式

an= a1+(n-1)d

an=a1qn-1

an n? m an ? am 一般形式 an=am+(n-m)d d ? an=amqn-m q ? a n?m m

例:求下列等比数列的第4，5项：
（1） 5，-15，45，…

a4 ? 5 ? (?3)4?1 ? ?135, a5 ? 5 ? (?3)5?1 ? 405.
（2）1.2，2.4，4.8，…

a4 ? 1.2 ? 2

4?1

? 9.6, a5 ? 1.2 ? 2

5?1

? 19.2.
5?1

2 1 3 (3) , , ,? 3 2 8
2 ? 3? a4 ? ? ? ? 3 ? 4?
4 ?1

9 2 ? 3? ? , a5 ? ? ? ? 32 3 ? 4?

27 ? , 128
5?1

( 4)
a4 ?

2 ,1,

? 2? ? 2 ?? ? 2 ? ? ?

2 ,? 2 4?1

1 ? , a5 ? 2

? 2? ? 2 ?? ? 2 ? ? ?

2 ? , 4

例:一个等比数列的第3项与第4项分 别是12与18，求它的第1项与第2项.
解: 用 ?an ?表示题中公比为q的等比数列，由已知条件，有

解得

16 3 a1 ? , q ? 3 2

a3 ? 12, a4 ? 18, ?a1q 2 ? 12 即? a1q 3 ? 18 ?

an ? a1 ? q

n?1

因此，

16 3 a2 ? a1 ? q ? ? ? 8 3 2

16 答：这个数列的第1项与第2项分别是 与8. 3

世界杂交水稻之父—袁隆平

从1976年至1999年在我国累计推广种植杂交水稻 35亿多亩，增产稻谷3500亿公斤。年增稻谷可养 活6000万人口。 西方世界称他的杂交稻是“东 方魔稻” ，并认为是解决下个世纪世界性饥饿 问题的法宝。

例:培育水稻新品种，如果第1代得到120粒种子，并且 从第1代起，以后各代的每一粒种子都可以得到下一代的 120粒种子，到第5代大约可以得到这种新品种的种子多少 粒（保留两个有效数字）？
解：由于每代的种子数是它的 前一代种子数的120倍， 因此，逐代的种子数组成 等比数列，记为

?an ?

其中a1 ? 120, q ? 120, n ? 5
因此a5 ? 120?1205?1 ? 2.5 ?1010

an ? a1 ? q

n ?1

答：到第5代大约可以得到 这种新品种的种子 2.5 ?1010 粒.

例 :某种电讯产品自投放市场以来，经过三次降 价，单价由原来的174元降到58元. 这种电讯产品平 均每次降价的百分率大约是多少（精确到1%）？
解：设平均每次降价的百分率是x， n 那么每次降价后的单价应是降价前的(1-x)倍.

a ? a1 ? q

n?1

将原单价与三次降价后的单价依次排列，就组成一个依 (1-x)为的公比等比数列 an ， 若原价格为 a，则降价x 由已知条件，有 a1 ? 174 a4 ? 58, n ? 4, q ? 1 ? x 后的价格应 , 为 因此， a-ax=a(1-x) 58 ? 174 ? (1 ? x)4?1.

? ?

1 整理后，得（ ? x） ? ， 1 ? x ? 3 1 x ? 1 ? 0.693 ? 31 % 3
3

1 ? 0.693 3

答：上述电讯产品平均每次降价的百分率大约是31%.

练习:求下列数列的公比和通项：
①1.2，2.4，4.8… ②-27，9，-3，1…
q?2

an ? 1.2 ? 2 n?1
1 n?1 an ? ?27 ? ( ? ) 3

1 q?? 3

③5，25，125,625… q ? 5 ④2/3，1/2，3/8…
3 q? 4

an ? 5 n
2 3 n?1 an ? ? ( ) 3 4

观察如下的两个数之间，插入 一个什么数后者三个数就会成为一 个等比数列： （1）1， ， 9 ±3 （2）-1， ±2 ，-4 （3）-12， ，-3 ±6

（4）1，±1 ，1

等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使 a、G、b成等比数列，那么G叫做 a与b的等比中项。 如果G是a与b的等比中项，那么
G b ? a G

G ，即 G ? ab 因此， ? ? ab
2

a, b同号时才有等比中项，且有两个。 2 G ? ab是等比数列的必要条件。

例：公差不为0的等差数列?an ?中,a2 ,a3 ,a6 依次成等比数列，则公比是多少？
2 3

解： a =a2 ? a6设公差为d ? 2 ? ? a2 ? d ? ? a2 ? a2 ? 4d ? 2 ? d ? 2a2d ?d ? 0 ?d ? 2a2 a3 a2 ? d ?q ? ? ?3 a2 a2

等比数列的性质：

公比为的q等比数列中， 1、 * m、n、p(m、n、p ? N ) 成等差数列时， am ,a n, a p 成等比数列,且
an是am，ap的等比中项，即an ? am ? p a
2

2、等比数列{an }中，若m ? n ? p ? q 则am ? an ? a p ? aq

例：在等比数列?an ?中，a2 ? 2, a6 ? 162, 求a10

解法一： ? 2， 6，10成等差数列， ?a2 , a6 , a10成等比数列 2 ? a6 ? a2 ? a10
a6 ? a10 ? ? 13122 a2
2

解法二 ? a2 ? a10 ? a6 ? a6 ? a6
2

? a6 ? a2 ? a10
2

a6 ? a10 ? ? 13122 a2

2

例:在等比数列{an}中 若an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=36,求a3+a5.

解： a ? a2 ? a4 ?
2 3 2 5

a ? a4 ? a6 2 2 ?a3 ? a5 ? a2 ? a4 ? a4 ? a6
2 3 2 5

?a ? a ? 2a3a5 ? a2 ? a4 ? a4 ? a6 ? 2a3a5 2 ?(a3 ? a5 ) ? a2 ? a4 ? a4 ? a6 ? 2a3a5 ? 36 ? a3 ? a5 ? 6

数

列

等

差

数

列

等

比

数

列

关系式

an=am +(n-m) d

an=amqn-m
anam=asat

性
中 项

质 m+n=s+t

an+am=as+at m+n=s+t

2b=a+c a，a+d，a+2d 或 a-d，a，a+d a-3d，a-d，a+d， a+3d a, aq,

b2=ac aq2 或
a ，a，aq q

构造三数

构造四数

a a ， ，aq，aq 3 q3 q

例: 有四个数，其中前三个数成等
比数列，后三个数成等差数列，并 且第一个数与第四个数的和是21，

第二个数与第三个数的和是18，求
这四个数。

a 解：方法一设前三个数分别为 , a, aq q 则第四个数为2aq ? a ?a ? ? ? 2qa ? a ? ? 21 3 ?? q ? q ? 2或q ? 5 ? a ? aq ? 18 ?

?当q=2时,a=6,四个数为3，6，12，18 3 45 75 45 27 9 当q= 时,a= ,四个数为 ， ， ， 5 4 4 4 4 4

方法二设后三个数分别为a-d, a, a ? d

?a ? d ? 则第一个数为
2

2

? (a ? d ) 27 ? ? ? a ? d ? ? 21?a ? 12 ? a ? ? ? 4 ?? a ?? 或? ? a ? ? a ? d ? ? 18 ? d ? 6 ?d ? ? 9 ?
?这四个数为3，6，12，18 75 45 27 9 或 ， ， ， 4 4 4 4
? ?

a

2

方法三设前一个数为a, 则第四个为21-a 第二个数为b, 则第三个为18-b
75 ? a 18 ? b ? b ?a ? 4 ?a ? 3 ? ?? 或? 21 ? a ? 2(18 ? b) ?b ? 6 ? 45 b? ? ? 4

? ? ?? ?b ? ? ?

?

?

?

2

?这四个数为3，6，12，18 75 45 27 9 或 ， ， ， 4 4 4 4

2、an ? an?1 ? an?1 ? n ? 2, an ? 0?
2

an ?1 * 1、 ? q ? n ? N , q ? 0, a1 ? 0 ? an
3、an ? c ? q
n

判断或证明数列 an 是否为等比 数列,一般是先求出通项公式,再判 断或证明,判断证明的方法主要有 以下四种:

? ?

? ? a1 ?c ? , q ? 0? q ? ?

已知?an ? , bn ? 是项数相同的等比数列， ?

求证 ?an ? bn ? 是等比数列 证明：设数列?an ?的首项a1，公比为p； 数列?bn ?的首项b1，公比为q；
n

an?1bn?1 a1b1 ( pq) ? ? pq （其中p，q为常数） n ?1 anbn a1b1 ( pq)

则?an ? bn ?是等比数列

如果?an ? 是等比数列，c是不等于0的常数,

证明：设数列?an ?的首项a1，公比为q
如果?an ? 是正数的等比数列，那么 数列

那么数列?c ? an ? 是等比数列

c?an?1 a ? q(c ? 0) 所以?c? n ?是等比数列. c?an

证明：设数列?an ?公比为q且an ? 0
则 an ?1 an ? q 所以

?

an 是等比数列。

?

? a ?是等比数列.
n

例：数列?a n ? 满足a1 =1且a n+1 =2a n +1 ? n ? N * ? 求a

解： an+1 =2an +1 ? an+1 +1=2(an +1) ? a n+1 +1 ? =2 令bn ? an ? 1 a n +1 bn+1 ? =2 则新数列?bn ?为公比q ? 2， bn

首项b1 =a1 +1=2的等比数列

?bn =b1 ? q =2 ? 2 =2 n ?an =bn -1=2 ?1
n-1 n-1

n

推广：数列?a n ?的首项a1且a n+1 =ca n +d ? n ? N ? 求a n
*

a n+1 ? x 解： =c ? a n+1 ? can ? (1 ? c) x an ? x
d an+1 ? d 1 ? c =c 则新数列 ?a ? d ? ?x ? ? ? n ? 1? c a ? d 1? c ? ? n 1? c d 为公比q ? c，首项a1 的等比数列 1? c

练习：已知{an}为等比数列， (1) a5=2, a9=8, 求a7= ___ (2) a5=2,a10=10,则a15=_____

(3)a1=1/8, q=2,a4与a8的等比中项_____
(4) a6=3, 则a3a4a5a6a7a8a9=____ (5) a4a15= -2, 则a3a6a12a17=_____ (6) a9 a10 a11 a12=64, 则 a8 a13= ____

小结：
1、定义:
a2 a3 a4 an?1 q ? ? ? ? ... ? a1 a2 a3 an
n?1

2、通项公式: an ? a1q

? am q

n? m