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四川成都市六校2015-2016学年高二上学期期中联考数学(文)试题


四川成都市六校 2015-2016 学年高二上学期期中联考数学(文)试题
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.
1.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积 A. ? C. 3? B. 2? D. 4?

【答案】B 【解析】 试 题分析:由三视图可知该几何体为半个圆锥,圆锥底面圆半径为 2,棱锥高为 3,所以体积为

1 1 V ? ? ? ? ? 22 ? 3 ? 2? 2 3
考点:三视图与几何体体积

? ? 2.已知点 A ?1,?2 ? 和 B ? 3 ,0 ? 在直线l : ax ? y ? 1 ? 0?a ? 0? 的两侧,则直线 l 倾斜角的取值范围是 ? 3 ? ? ?
A. ?

?? ? ? , ? ?4 3?

B. ?

? 2? 5? ? , ? ? 3 6 ?

C. ? 0,

? ? ? ? 3? ? ? ? ? ,? ? ? 3? ? 4 ?

D. ?

? ? 2? ? , ? ?3 3 ?

【答案】C 【解析】 试题分析:由点 A,B 在直线两侧,所以 ? a ? 1? ?

? 3 ? ? 3 a ? 1? ? ? 0 ??1 ? a ? 3 ,直线斜率范围 ?1 ? a ? 3 ? ?

由 k ? tan ? 可知倾斜角范围是 ? 0, 考点:直线性质

? ? ? ? 3? ? ? ? ? ,? ? ? 3? ? 4 ?

3.若 l 、 m 、 n 是互不相同的空间直线,α、β 是不重合的平面,则下列结论正确的是

A. ? // ? , l ? ? , n ? ? ? l // n C. l ? n, m ? n ? l // m 【答案】D 【解析】

B. ? ? ? , l ? ? ? l ? ? D. l ? ? , l // ? ? ? ? ?

试题分析:A 中两直线可能平行或异面;B 中直线 l , ? 可能平行,可能相交还可能直线在平面内;C 中两直 线 l , m 可能平行,相交或异面;D 中由面面垂直的判定定理可知结论正确 考点:空间线面平行垂直的位置关系学科网 4.对任意的实数 k ,直线 y=kx+1 与圆 x2 ? y 2 ? 2 的位置关系一定是 A.相离 【答案】C 【解析】 试题分析:直线 y=kx+1 过定点 ? 0,1? ,定点在圆内,因此直线与圆始终有两个交点,直线与圆相交且不过 圆心 考点:直线与圆的位置关系 5.点 A,B,C,D 均在同一球面上,且 AB,AC,AD 两两垂直,且 AB=1,AC=2,AD=3,则该球的表面 积为 A. 7? 【答案】B 【解析】 试题分析:以 AB,AC,AD 为三边作长方体,长方体的外切球即为所求,长方体的体对角线为球的直径, 所以 2R ? 12 ? 22 ? 32 ? 14 ,所以球的表面积为 S ? 4? R ? 14?
2

B.相切

C.相交但直线不过圆心

D.相交且直线过圆心

B. 14?

C.

7? 2

D.

7 14? 3

考点:正方体外接球 6.已知圆 C : ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 3 ,从点 P(?1, ?3) 发出的光线,经 x 轴反射后恰好经过圆心 C ,则入射光
2 2

线的斜率为 A. ?

4 3

B. ?

2 3

C.

4 3

D.

2 3

【答案】C 【解析】
[来源:学*科*网 Z*X*X*K]

试题分析:圆的圆心为 ? 2, ?1? ,圆心关于 x 轴的对称点为 A ? 2,1? ,入射光线 AP 斜率为 k ? 考点:1.圆的方程;2.直线方程

1? 3 4 ? 2 ?1 3

x?0 ? ? 7.设变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 则 z=3x-2y 的最大值为 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
A.4 【答案】A 【解析】 试题分析:线性约束条件对应的可行域为由直线 x ? 0, x ? y ? 0, 2 x ? y ? 2 ? 0, 围成的三角形及其内部,三 个顶点为 ? 0,0? , ? 0, ?2? , ? 2, 2? ,当 z=3x-2y 过点 ? 0, ?2 ? 时 z 取得最大值 4 考点:线性规划问题 8.若一个圆锥的侧面积是底面积的 2 倍,则圆锥侧面展开图的扇 形的圆心角为 A. 120
?

B. 2

C.0

D .6

B. 150

?

C. 180

?

D. 240

?

【答案】C 【解析】

l ? 2? r ? l ? l ? 2r ,所以扇形圆心角为 试题分析:设底面圆半径为 r ,母线长为 l ? ?2? r ?

? ?

2? r 2? r ? ? ? ,圆心角 180? l 2r

1 2

考点:圆锥表面积与扇形弧长公式学科网 9.已知点 P(x,y)是直线 kx+y+4=0(k>0)上一动点,PA,PB 是圆 C:x2+y2-2y=0 的两条切线,A,B 为切点,若四边形 PACB 的最小面积是 2, 则 k 的值为 A.4 【答案】C 【解析】 试题分析:四边形 PACB 的最小面积是 2,所以△PAC 面积最小为 1,AC=1,所以 PA 最小为 2,所以 PC B .3 C .2 D. 2

最小为 5 ,即 ? 0,1? 到直线 kx+y+4=0 的距离为 5 ? 考点:1.点到直线的距离;2.直线与圆相切的位置关系

5 k 2 ?1

? 5 ?k ? 2

E 是棱 AD 的中点, 10.如图所示, 在棱长为 2 的正四面体 A ? BCD 中, 若 P 是棱 AC 上一动点, 则 BP ? PE
的最小值为

A. 3 【答案】B 【解析】

B. 7

C. 1 ? 3

D. 5

试题分析:将 ?ABC , ?ACD 翻折到同一平面内, BP ? PE 的最小值为为 BE 的长,在 ?ABE 中

2 AB ? 2, AE ? 1, ?A ? ? ,由余弦定理可得 BE ? 7 3
考点:1.翻折问题;2.空间距离 11.若直线 y ? x ? b 与曲线 x ? 4 x ? y ? 6 y ? 9 ? 0 ( y ? 3) 有公共点,则 b 的取值范围是
2 2

A. [?1,1 ? 2 2 ] 【答案】C 【解析】

B. [1 ? 2 2,1 ? 2 2 ]

C. [1 ? 2 2,3]

D. [1 ? 2 ,3]

2 2 试题分析: x ? 4 x ? y ? 6 y ? 9 ? 0 ( y ? 3) 变形为 ? x ? 2 ? ? ? y ? 3? ? 4 ? y ? 3? ,直线与圆相切时有
2 2

2?3?b 2

? 2 ? b ? 1 ? 2 2 ,结合图形可知 b 的范围是 [1? 2 2,3]

考点:1.直线与圆的位置关系;2.数形结合法 12.如图,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 1,线段 B1D1 上有两个动点 E、F,且 EF= 中正确的个数 为 .....

1 .则下列结论 2

①AC⊥BE; ②EF∥平面 ABCD; ③三棱锥 A﹣BEF 的 体积为定值; ④ ?AEF 的面积与 ?BEF 的面 积相等, A.4 【答案】B 【解析 】 试题分析:①中 AC⊥BE,由题意及图形知,AC⊥面 DD1B1B,故可得出 AC⊥BE,此命题正确;②EF∥平面 ABCD,由正方体 ABCD-A1B1C1D1 的两个底面平行,EF 在其一面上,故 EF 与平面 ABCD 无公共点,故有 EF∥ 平面 ABCD,此命题正确;③三棱锥 A-BEF 的体积为定值,由几何体的性质及图形知,三角形 BEF 的面积是 定值,A 点到面 DD1B1B 距离是定值,故可得三棱锥 A-BEF 的体积为定值,此命题正确;④由图形可以看出, B 到线段 EF 的距离与 A 到 EF 的距离不相等,故△AEF 的面积与△BEF 的面积相等不正确 考点:1.正方体的结构特点;2.空间线面垂直平行的判定与性质 B.3 C.2 D.1

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
13.已知三条直线 ax ? 2 y ? 8 ? 0, 4 x ? 3 y ? 10 和 2 x ? y ? 10 交于一点,则实数 a 的值为 ▲▲▲ . 【答案】 ?1 【解析】 试题分析: 4 x ? 3 y ? 10 与 2 x ? y ? 10 的交点为 ? 4, ?2 ? 代入 ax ? 2 y ? 8 ? 0 得 4a ? 4 ? 8 ? 0 ? a ? ?1 考点:直线交点 14.如右图,在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,M、N 分别是 BB1 , BC 的中点,则图中阴影部分在平 面 ADD 1A 1 上的投影的面积为 ▲▲▲ .

【答案】 【解析】

1 8
1 1 ,面积为 8 8

试题分析:N 点投影到 AD 中点,M 点投影到 AA1 中点,因此投影面积为正方形面积的 考点:侧视图

15.圆心在直线 2 x ? y ? 7 ? 0 上的圆 C 与 y 轴交于两点 A(0, ?4) , B(0, ?2) ,圆 C 的方程为 ▲▲▲ . 【答案】 ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 5 【解析】

试题分析:设圆的方程为 ? x ? a ? ? ? y ? b ?
2

2

2a ? b ? 7 ? 0 ? ? a?2 ? ? 2 2 ? 2 2 ? r ,所以有 ?? 0 ? a ? ? ? ?4 ? b ? ? r ? ? b ? ?3 ,圆的方 ? ? 2 2 2 ? ?r ? 5 ?? 0 ? a ? ? ? ?2 ? b ? ? r

程为 ( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 5
2 2

考点:圆的方程学科网 16.如图正方形 BCDE 的边长为 a ,已知 AB ?

3BC ,将 ?ABE 沿 BE 边折起,折起后 A 点在平面

BCDE 上的射影为 D 点,则翻折后的几何体中有如下描述: ① AB 与 DE 所成角的正切值是 2 ;


AB ∥ CE ;③ VB? ACE 的体积是 1 a 2 ;④平面 ABC ⊥平面 ADC ;⑤直线 EA 与平面 ADB 所成角为
6

(填写你认为正确的序号) 30? .其中正确的有 ▲▲▲ .

【答案】①④⑤ 【解析】

试题分析:由题意, AB ? 3BC ,AE= 2 a, AD⊥平面 BCDE,AD=a,AC= 2 a ①由于 BC∥DE,∴∠ABC (或其补角)为 AB 与 DE 所成角 ∵AB= 3 a,BC=a,AC= 2 a, ∴BC⊥AC,∴tan∠A BC= 2 ,故①正确; ②由图象可知 AB 与 CE 是异面直线,故②错误. ③ VB? ACE 的体积是 S ?BCE ? AD ?

1 3

1 1 3 1 3 ? a ? a ,故③ 3 2 6

错误;④∵ AD⊥平面 BCDE,BC?平面 BCDE, ∴AD⊥BC,∵BC⊥CD,AD∩CD=D,∴BC⊥平面 ADC, ∵BC? 平面 ABC,∴平面 ABC⊥平面 ADC,故④正确; ⑤连接 CE 交 BD 于 F,则 EF⊥BD, ∵平面 ABD⊥平面 BDE,

∴EF⊥平面 ABD,连接 F, 则∠AFE 为直线 AE 与平面 ABD 所成角, 在△AFE 中,EF=

2 a,AE= 2 a, ∴ 2

sin∠EAF=

EF 1 ? ,则∠EAF=30°,故⑤正确 AF 2

考点:1.空间中直线与直线之间的位置关系;2.平面与平面之间的位置关系

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(本小题满分 12 分)已知直线 l : x ? y ? 1 ? 0 , (1)若直线 l1 过点(3,2)且 l1 // l ,求直线 l1 的方程; (2)若直线 l 2 过 l 与直线 2 x ? y ? 7 ? 0 的交点,且 l 2 ? l ,求直线 l 2 的方程. 【答案】 (1) x ? y ? 5 ? 0 (2) x ? y ? 5 ? 0 【解析】
[来源:学科网]

试题分析: (1)由两直线平行得到直线斜率,点斜式可写出直线方程; (2)解方程组得到直线交点,由已 知直线得到所求直线斜率,最后点斜式写出直线方程学科网 试题解析: (1)设直线 l1 的方程为 x ? y ? m ? 0 ,? 过点(3,2) ∴ m ? ?5 ∴直线的方程为 x ? y ? 5 ? 0 6分

(2) ?

?x ? y ? 1 ? 0 ? x ? ?2 3? ?? ? 交点为 ? ?2, ?2 x ? y ? 7 ? 0 ? y ? 3
∴直线方程为 x ? y ? 5 ? 0 12 分

∵ l2 ? l

考点:1.直线方程;2.直线平行垂直的位置关系 18.(本小题满分 12 分)如图所示,正方形 ABCD 和矩形 ADEF 所在平面相互垂直, G 是 AF 的中点. (1)求证: ED ? AC ; (2)若直线 BE 与平面 ABCD 成 45o 角,求异面直线 GE 与 AC 所成角的余弦值.

【答案】 (1)详见解析(2) 【解析】

3 3

试题分析: (1)由已知中的面面垂直结合正方形中的 ED ? AD 可得到 ED ? 平面ABCD ,进而得到

ED ? AC ; (2)由直线 BE 与平面 ABCD成 45o 角得到正方形边长与矩形边长的关系,求异面直线 GE 与

AC 所成角首先借助于中点作平行线,转化为相交线所成角,通过三角形三边长求得内角大小
试题解析: (1)证明:在矩形 ADEF 中, ED ? AD ∵平面 ADEF ? 平面 ABCD ,且平面 ADEF ? 平面 ABCD ? AD ∴ ED ? 平面ABCD ∴ ED ? AC (2)由(1)知: ED ? 平面ABCD ∴ ? EBD 是直线 BE 与平面 ABCD 所成的角,即 ? EDB ? 45 ? 设 AB ? a, 则DE ? BD ? ∵ G 是 AF 的中点
[来源:Z&xx&k.Com]

且 AC ? 平面 ABCD 5分

2a 取 DE中点M ,连接 AM

∴ AM // GE

∴ ? MAC 是异面直线 GE 与 AC 所成角或其补角 ∵ AM ? CM ?

a2 ? (

2 2 6 a) ? a , AC ? 2a , 2 2

在 ?ACM 中,由余弦定理有:

AM 2 ? AC 2 ? CM 2 cos?MAC ? ? 2 ? AC ? AM

(

6 2 6 2 a ) ? ( 2a ) 2 ? ( a) 3 2 2 ? 3 6 2 ? 2a ? a 2

∴ 异面直线 GE 与 AC 所成角的余弦值为

3 . 3

(用向量法也可)

12 分

考点:1.线面垂直的判定与性质;2.异面直线所成角

19.(本小题满分 12 分)已知关于 x,y 的方程 C: x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? m ? 0 . (1)当 m 为何值时,方程 C 表示圆. (2)若圆 C 与直线 l1 : x+2y-4=0 相交于 M,N 两点,且 MN= 【答案】 (1) m ? 5 (2) m ? 4 【解析】 试题分析: (1)一般式圆的方程中表示圆需满足 D ? E ? 4F ? 0 ; (2)直线与圆相交问题常利用圆的半
2 2

4 ,求 m 的值. 5

径,圆心到直线的距离,弦长的一般构成的直角三角形三边勾股定理求解 试题解析: (1)方程 C 可化为

( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 5 ? m
4分

显然 5 ? m ? 0 时方程 C 表示圆.即 m ? 5 (2)圆的方程化为 圆心 C(1,2) ,半径

( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 5 ? m
r ? 5?m

则圆心 C(1,2)到直线 l:x+2y-4=0 的距离为

d?

1? 2? 2 ? 4 1 ?2
2 2

?

1 5

? MN ?

4

1 2 1 2 2 2 , 则 MN ? ,有 r ? d ? ( MN ) 2 2 5 5 1 2 2 ) ? ( )2 , 得 5 5
m?4
12 分

?5 ? m ? (

考点:1.圆的方程;2.直线与圆相交的弦长问题 20.(本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 A ? BCDE 中,底面 BCDE 为矩形,侧面 ABC ? 底面 BCDE ,

BC ? 2, CD ? 2, AB ? AC .
(1)求证: BE ? 面 ABC ;
[来源:学_科_网 Z_X_X_K]

(2)设 ?ABC 为等边三角形,求直线 CE 与平面 ABE 所成角的大小.

【答案】 (1)详见解析(2) 【解析】

? 4

试题分析: (1)由侧面 ABC ? 底面 BCDE ,由面面垂直的性质借助于 BE ? BC 可得到 BE ? 面 ABC . (2)取 AB 的中 H ,连接 EH , CH ,借助于(1)的结论可得直线 CE 与平面 ABE 所成角为 ?CEH ,通 过求三角形 ?CEH 的三边可求得 ?CEH 的大小 试题解析: (1)∵底面 BCDE 为矩形 ∴ BE ? BC .

∵侧面 ABC ? 底面 BCDE ,且交线为 BC ,

BE ? 平面 ABCD.
∴ BE ? 面 ABC . 备注: 也可以取 BC 的中点去证明。学科网 5分

H

(2)由(1)可知 BE ? 面 ABC 。 ∵ BE ? 平面 ABE . ∴平面 ABE ? 底面 ABC ,且交线为 AB 。 取 AB 的中 H ,连接 EH . ∵ ?ABC 为等边三角形 ∴ CH ? AB, CH ? 平面 ABE . ∴ ?CEH 是直线 CE 与平面 ABE 所成角. 9分

在矩形 BCDE 中, CE ? 6 . 在正 ?ABC 中, CH ? 3.

∴ sin ?CEH ?

? CH 3 2 ? ? . ∴ ?CEH ? . 4 CE 2 6

∴求直线 CE 与平面 ABE 所成角的大小为

? . 4

12 分

考点:1.线面垂直的判定与性质;2.线面所成角 21.(本小题满分 12 分)已知以点 C ? t , ? (t∈R,t≠0)为圆心的圆与 x 轴交于点 O、A 两点,与 y 轴交 于点 O,B,其中 O 为原点. (1)求证:△AOB 的面积为定值; (2)设直线 2x+y-4=0 与圆 C 交于点 M,N,若 OM ? ON ,求圆 C 的方程; (3)在(2)的条件下,设 P,Q 分别是直线 l:x+y+2=0 和圆 C 上的动点,求 PB ? PQ 的最小值及此 时点 P 的坐标. 【答案】 (1)详见解析(2) (x-2)2+(y-1)2=5(3) ? - , - ?

? 2? ? t?

? 4 ? 3

2? 3?

(2)解:∵|OM|=|ON|,则原点 O 在 MN 的中垂线上,设 MN 的中点为 H,则 CH⊥MN,∴C,H,O 三

2 1 2 t 点共线,则直线 OC 的斜率 k= = 2 = ,∴t=2 或 t=-2. t 2 t

∴圆心为 C(2,1)或(-2,-1) ,∴圆 C 的方程为(x-2)2+(y-1)2=5 或(x+2)2+(y+1)2=5, 由于当圆方程为(x+2)2+(y+1)2=5 时, 直线 2x+y-4=0 到圆心的距离 d>r,此时不满足直线与圆相交,故舍去, ∴圆 C 的方程为(x-2)2+(y-1)2=5. 8分

(3)解:点 B(0,2)关于直线 x+y+2=0 的对称点为 B′(-4,-2) ,则|PB|+|PQ|=|PB′| +|PQ|≥|B′Q|,又 B′到圆上点 Q 的最短距离为 |B′C|-r=

?- 6?2 ? ?- 3?2 -

5 ?3 5- 5 ?2 5.
1 x,则直线 B′C 与直线 x+y+2=0 的交点 P 的坐 2
12 分

所以|PB|+|PQ|的最小 值为 2 5 ,直线 B′C 的方程为 y= 标为 ? - , - ?. 考点:1.圆的标准方程;2.两点间的距离公式

? 4 ? 3

2? 3?

22.(本小题满分 10 分)如 图 甲 , ⊙ O 的 直 径 AB ? 2 , 圆 上 两 点 C , D 在 直 径 AB 的 两 侧 , 使

?C A B?

?
4

, ?DAB ?

?
3

.沿 直 径 AB 折 起 ,使 两 个 半 圆 所 在 的 平 面 互 相 垂 直( 如 图 乙 ), F

为 BC 的 中 点 . 根 据 图 乙 解 答 下 列 各 题 : ( 1 ) 求 点 D 到 平 面 ABC 的 距 离 ; ( 2) 如 图 : 若 ?DOB 的 平 分 线 交 弧 BD 于 一 点 G ,试判断 FG 是 否 与 平 面 A C D平行? 并 说 明 理 由 .

【答案】( 1 ) 【解析】

3 ( 2 ) FG ∥ 面ACD 2

[来源:Z*xx*k.Com]

试题分析:( 1 )翻 折 问 题 着 重 注 意 翻 折 中 不 变 的 边 角 大 小 及 位 置 关 系 ,本 题 中 翻 折 后 两 个 半 圆 所 在 的 平 面 互 相 垂 直 , 因 此 点 D 到 面ABC 的距离即为点 D 到 AB 的距离,通过解△ABD 即可求解; ( 2 ) 判 定 线 面 平 行 可 通 过 线 线 平 行 或 面 面 平 行 , 本 题 中 可 以 借 助 于 中 点 F , 取 BD 中 点 E, 连 结 OE,OF,EF , 借 助 于 三 角 形 中 位 线 可 得 到 OE ∥ AD , EF ∥ CD , 从 而 实 现 面 面 平 行 , 此 时 OE 与 弧 BD 的 交 点 即 为 G 点 学科网

试题解析: (1) ?ADO 中, AO ? DO ,且 ?OAD ?

?
3

,∴ AO ? DO ? AD .

又 E 是 AO 的中点,∴ DE ? AO .又∵ 面ABC ? 面AOD ,且

面ABC ? 面AOD=AO

, D E? 面 A O D

∴ DE ? 面ABC .∴ DE 即为点 D 到 面ABC 的距离. 又 DE ?

3 3 3 1 3 .∴点 D 到 面ABC 的距离为 . ? AO ? ? AB ? 2 2 2 2 2
理由如下:

5分

(2) FG ∥ 面ACD .


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