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抛物线的简单几何性质


典型例题一
例 1 过抛物线焦点的一条直线与它交于两点 P、Q,通过点 P 和抛物线顶点的直线交 准线于点 M,如何证明直线 MQ 平行于抛物线的对称轴? 解:思路一:求出 M、Q 的纵坐标并进行比较,如果相等,则 MQ//x 轴,为此,将方 程 y ? 2 px , y ? k ( x ?
2

p ) 联立,解出 2

/>P(

p( k 2 ? 1 ? 1) 2 p(1 ? k 2 ? 1) p( k 2 ? 1 ? 1) 2 p(1 ? k 2 ? 1) , ), Q ( , ) k k 2k 2 2k 2
2k (1 ? k 2 ? 1) ( k 2 ? 1 ? 1) 2 x, 即 y ?

直线 OP 的方程为 y ?

? 2(1 ? k 2 ? 1) x. k

令x??

p p(1 ? k 2 ? 1) ,得 M 点纵坐标 yM ? ? yQ 得证. 2 k

由此可见,按这一思路去证,运算较为繁琐. 思路二:利用命题“如果过抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点的一条直线和这条抛物线相交,两 上交点的纵坐标为 y1 、 y2 ,那么 y1 y2 ? ? p 2 ”来证. 设 P( x1 , y1 ) 、 Q( x2 , y2 ) 、 M ( x3 , y3 ) ,并从 y ? 2 px 及 y ? k ( x ?
2

p ) 中消去 x,得到 2

? p2 . ky ? 2 py ? kp ? 0 ,则有结论 y1 y2 ? ? p ,即 y2 ? y1
2 2 2

又直线 OP 的方程为 y ?

? py1 p y1 . x , x ? ? ,得 y3 ? 2 x1 2 x1

因为 P( x1 , y1 ) 在抛物线上,所以 2 x1 ?

y1 . p

2

从而 y3 ?

py1 p p2 ? (? py1 ) ? 2 ? ? ? y2 . 2 x1 y1 y1
2

这一证法运算较小.

y p 思路三:直线 MQ 的方程为 y ? yo 的充要条件是 M (? , y0 ), Q( 0 , y0 ) . 2 2p
将直线 MO 的方程 y ? ?

2 py 2 y0 p 和直线 QF 的方程 y ? 2 0 2 ( x ? ) 联立,它的解 p 2 yo ? p

(x ,y)就是点 P 的坐标,消去 yo 的充要条件是点 P 在抛物线上,得证.这一证法巧用了充

要条件来进行逆向思维,运算量也较小. 说明:本题中过抛物线焦点的直线与 x 轴垂直时(即斜率不存在) ,容易证明成立.

典型例题二
例 2 已知过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A、B 两点, 点 R 是含抛物线顶点 O 的弧 AB 上一点,求△RAB 的最大面积. 分析:求 RAB 的最大面积,因过焦点且斜率为 1 的弦长为定值,故可以 AB 为三角形 的底,只要确定高的最大值即可. 解:设 AB 所在的直线方程为 y ? x ?

p . 2

将其代入抛物线方程 y 2 ? 2 px ,消去 x 得 y 2 ? 2 py ? p 2 ? 0

? AB ? 2 y1 ? y2 ? 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ? 4 p
当过 R 的直线 l 平行于 AB 且与抛物线相切时,△RAB 的面积有最大值. 设直线 l 方程为 y ? x ? b .代入抛物线方程得 y 2 ? 2 py ? 2 pb ? 0 由 ? ? 4 p 2 ? 8 pb ? 0, 得 b ? ∴△RAB 的最大面积为

p p 2 ,这时 R ( , p ) .它到 AB 的距离为 h ? p 2 2 2

1 AB ? h ? 2 p 2 . 2

典型例题三
例 3 直线 l1 过点 M (?1,0) ,与抛物线 y2 ? 4 x 交于 P 1、P 2 两点,P 是线段 P 1 P 2 的中 点,直线 l 2 过 P 和抛物线的焦点 F,设直线 l1 的斜率为 k. (1)将直线 l 2 的斜率与直线 l1 的斜率之比表示为 k 的函数 f ( k ) ; (2)求出 f ( k ) 的定义域及单调区间. 分析: 利用两点的斜率公式, 可将 l 2 的斜率用 k 表示出来, 从而写出 f ( k ) , l2 过点 P 及 F, 由函数 f ( k ) 的特点求得其定义域及单调区间. 解: (1)设 l1 的方程为: y ? k ( x ? 1) ,将它代入方程 y ? 4 x ,得
2

k 2 x 2 ? (2k 2 ? 4) x ? k 2 ? 0
设P 1 ( x1 , y1 )、P 2 ( x2 , y2 )、P( x, y) ,则 x1 ? x2 ?

4 ? 2k 2 2? k2 , x ? k2 k2

将x?

2 2? k2 2? k2 2 y ? ( , ). 代入 得: ,即 P 点坐标为 y ? k ( x ? 1 ) k k2 k2 k

2 k k 由 y 2 ? 4 x ,知焦点 F (1,0) ,∴直线 l 2 的斜率 k 2 ? ? 2 2?k 1? k 2 ? 1 k2
∴函数 f ( k ) ?

1 . 1? k 2

(2)∵ l 2 与抛物线有两上交点,∴ k ? 0 且 ? ? (2k 2 ? 4) 2 ? 4k 4 ? 0 解得 ? 1 ? k ? 0 或 0 ? k ? 1 ∴函数 f ? (k ) 的定义域为 k ?1 ? k ? 0或0 ? k ? 1 当 k ? (?1,0) 时, f ( k ) 为增函数.

?

?

典型例题四
例 4 如图所示:直线 l 过抛物线 y ? 2 px 的焦点,并且与
2

这抛物线相交于 A、B 两点,求证:对于这抛物线的任何给定的 一条弦 CD,直线 l 不是 CD 的垂直平分线. 分析:本题所要证的命题结论是否定形式,一方面可根据垂 直且平分列方程得矛盾结论;别一方面也可以根据 l 上任一点到 C、D 距离相等来得矛盾结论. 证法一:假设直线 l 是抛物线的弦 CD 的垂直平方线,因为 直线 l 与抛物线交于 A、B 两点,所以直线 l 的斜率存在,且不 为零;直线 CD 的斜率存在,且不为 0. 设 C、D 的坐标分别为 (2 pt1 ,2 pt1 ) 与 (2 pt2 ,2 pt2 ) .则 kCD ?
2 2

1 t1 ? t 2

∴l 的方程为 y ? ?(t1 ? t 2 ) ? ( x ? ∵直线 l 平分弦 CD

p ) 2

∴CD 的中点 ( p(t1 ? t 2 ), p(t1 ? t 2 )) 在直线 l 上,
2 2

即 p (t1 ? t 2 ) ? ?(t1 ? t 2 )[ p (t1 ? t 2 ) ?
2 2

p 1 2 ] ,化简得: p(t1 ? t 2 )( t12 ? t 2 ? )?0 2 2

由 p(t1 ? t2 ) ? 0 知 t1 ? t 2 ?
2 2

1 ? 0 得到矛盾,所以直线 l 不可能是抛物线的弦 CD 的垂 2

直平分线. 证法二:假设直线 l 是弦 CD 的垂直平分线 ∵焦点 F 在直线 l 上,∴ CF ? DF 由抛物线定义, C ( x1 , y1 ), D( x2 , y2 ) 到抛物线的准线 x ? ? ∵ x1 ? x2 , y1 ? ? y2 , ∴CD 的垂直平分线 l: y ? 0 与直线 l 和抛物线有两上交点矛盾,下略.

p 的距离相等. 2

典型例题五
例 5 设过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的顶点 O 的两弦 OA、OB 互相垂直,求抛物线顶点 O 在 AB 上射影 N 的轨迹方程. 分析:求与抛物线有关的轨迹方程,可先把 N 看成定点 ( x0 , y0 ) ;待求得 x0、y0 的关 系后再用动点坐标 ( x,y ) 来表示,也可结合几何知识,通过巧妙替换,简化运算. 解法一:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), N ( x0 , y0 ), 则: y1 ? 2 px1 , y2 ? 2 px2 ,? x1 x2 ?
2 2
2 y12 ? y2 4 p2

? OA ? OB ,? kOA ? kOB ? ?1 即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0

?

2 y12 y2 ? y1 y2 ? 0 4 p2

? y1 y2 ? 0 ,? y1 y2 ? ?4 p 2
把 N 点看作定点,则 AB 所在的直线方程为: y ? y0 ? ?
2



x0 ( x ? x0 ), 显然 x0 ? 0 y0

?x ?

y0 y ? ( x ? y0 ) 2 2 2 2 代入 y ? 2 px, 化简整理得: x0 y ? 2 py0 y ? 2 p( x0 ? y0 ) ? 0 ? x0

? x0 ? 0 ,? y1 y2 ?

2 2 ? 2 p( x0 ? y0 ) x0



由①、②得: ? 4 p 2 ?

2 2 ? 2 p( x0 ? y0 ) 2 2 ,化简得 x0 ? y0 ? 2 px0 ? 0( x0 ? 0) x0

用 x、y 分别表示 x0、y0 得: x 2 ? y 2 ? 2 px ? 0( x ? 0) 解法二: 点 N 在以 OA、 OB 为直径的两圆的交点 (非原点) 的轨迹上, 设 A(2 pt2 ,2 pt) , 则以 OA 为直径的圆方程为: ( x ? pt2 )2 ? ( y ? pt)2 ? p 2 (t 4 ? t 2 )

x 2 ? y 2 ? 2 pt2 ? 2 pty ? 0
2



设 B(2 pt1 ,2 pt1 ) ,OA⊥OB,则 t1t ? ?1 ? t1 ? ? 在求以 OB 为直径的圆方程时以 ? 代 t1 ,可得

1 t

1 t

t 2 ( x 2 ? y 2 ) ? 2 px ? 2 pty ? 0
由①+②得: (1 ? t 2 )(x 2 ? y 2 ? 2 px) ? 0



? x 2 ? y 2 ? 2 px ? 0( x ? 0)

典型例题六
例 6 如图所示,直线 l1 和 l 2 相交于点 M, l1 ⊥ l 2 ,点 N ? l1 ,以 A、B 为端点的曲线段 C 上的任一点到 l 2 的距离与到点 N 的距离相等,若△AMN 为锐角三角形, AM ?

7,

AN ? 3 ,且 BN ? 6 ,建立适当的坐标系,求曲线段 C 的方程.
分析:因为曲线段 C 上的任一点是以点 N 为焦点,以 l 2 为准线的抛物线的一段,所以 本题关键是建立适当坐标系,确定 C 所满足的抛物线方程. 解:以 l1 为 x 轴,MN 的中点为坐标原点 O,建立直角坐标 系.

由题意,曲线段 C 是 N 为焦点,以 l 2 为准线的抛物线的一段,其中 A、B 分别为曲线 段的两端点. ∴设曲线段 C 满足的抛物线方程为: xB y 2 ? 2 px( p ? 0)(xA ? x ? xB , y ? 0), 其中 x A 、 为 A、B 的横坐标 令 MN ? p, 则 M ( ?

p p ,0), N ( ,0) ,? AM ? 17, AN ? 3 2 2

? ?( x A ? ? ∴由两点间的距离公式,得方程组: ? ?( x ? A ? ?
?p ? 4 ?p ? 2 或? ? xA ? 1 ?xA ? 2

p 2 ) ? 2 pxA ? 17 2 p 2 ) ? 2 pxA ? 9 2

解得 ?

∵△AMN 为锐角三角形,∴

p ? x A ,则 p ? 4 , xA ? 1 2 p ? 6?2 ? 4 2

又 B 在曲线段 C 上,? xB ? BN ?

则曲线段 C 的方程为 y ? 8x(1 ? x ? 4, y ? 0).
2

典型例题七
例 7 如图所示, 设抛物线 y ? 2 px(0 ? p ? 1) 与圆 ( x ? 5) ? y ? 9 在 x 轴上方的交点
2 2 2

为 A、 B, 与圆 ( x ? 6) ? y ? 27 在 x 由上方的交点为 C、 D, P 为 AB 中点, Q 为 CD 的中点. (1)
2 2

求 PQ . (2)求△ABQ 面积的最大值. 分析:由于 P、Q 均为弦 AB、CD 的中点,故可用韦达定理表示出 P、Q 两点坐标,由两 点距离公式即可求出 PQ . 解 : ( 1 ) 设

A( xA , y A ), B( xB , yB ),C( xC , yC ), D( xD , yD ), P( x1, y1 ),Q( x2 , y2 )

2 2 ? ?( x ? 5) ? y ? 9 由? 2 得: x 2 ? 2(5 ? p) x ? 16 ? 0 , ? ? y ? 2 px

? x1 ?

x A ? xB ? 5? P 2

y1 ?

2p y A ? yB ? ( x A ? xB ) 2 2 2p ? x A ? xB ? 2 x A xB 2 2p ? 2(5 ? p ) ? 8 2 ? 9 p ? p2

2 2 ? ?( x ? 6) ? y ? 27 2 由? 2 得 x ? 2(6 ? p) x ? 9 ? 0 , ? ? y ? 2 px

? x2 ?

xC ? xD ? 6? p 2

y2 ?

2p yC ? yD ? ( xC ? xD ) 2 2

2 同 y1 类似, y2 ? 9 p ? p

则 x1 ? x2 ? 1, y1 ? y2 ? 0 ,? PQ ? 1

(2) S ?ABQ ? S ?APQ ? S ?BPQ ?

1 PQ ? y A ? y B ? 2 2P 10 ? 2 p ? 8 ? 2

2P 2

x A ? xB

?

p(1 ? p)

? 0 ? p ? 1 ,∴当 p ?

1 1 时, S ?ABQ 取最大值 . 2 2

典型例题八
例 8 已知直线 l 过原点,抛物线 C 的顶点在原点,焦点在 x 轴的正半轴上,且点

A(?1 , 0) 和点 B(0 , 8) 关于直线 l 的对称点都在 C 上,求直线 l 和抛物线 C 的方程.
分析:设出直线 l 和抛物线 C 的方程,由点 A 、 B 关于直线 l 对称,求出对称点的坐标, 分别代入抛物线方程.或设 ?B Ox ? ? ,利用对称的几何性质和三角函数知识求解.
'

解法一:设抛物线 C 的方程为 y 2 ? 2 px ( p ? 0) ,直线 l 的方程为 y ? kx (k ? 0) , 则有点 A(?1 , 0) ,点 B(0 , 8) 关于直线 l 的对称点为 A' ( x1 , y1 ) 、 B ' ( x2 , y2 ) ,

x1 ? 1 ? y1 ? k 2 ?1 ? k ? , x ? , ? ? 2 ?2 ? 1 k 2 ?1 则有 ? 解得 ? ? y1 ? k ? ?1, ? y ? ? 2k ; 1 ? ? k 2 ?1 ? ? x1 ? 1

x 16k ? y2 ? 8 ? ?k? 2 , x2 ? 2 , ? ? 2 ? 2 ? k ?1 解得 ? ? y ?8 2 ? 2 ? y ? 8(k ? 1) . ? k ? ?1, 2 ? ? k 2 ?1 ? ? x2
如图, A 、 B 在抛物线上
' '

? 4k 2 k 2 ?1 ? 2 p ? , ? 2 2 k 2 ?1 ? (k ? 1) ∴? 2 2 ? 64(k ? 1) ? 2 p ? 16k . 2 2 ? k 2 ?1 ? (k ? 1)
2 两式相除,消去 p ,整理,得 k ? k ? 1 ? 0 ,故 k ?

1? 5 , 2

由 p ? 0 , k ? 0 ,得 k ?

1? 5 1? 5 2 5 .把 k ? 代入,得 p ? . 2 2 5

∴直线 l 的方程为 y ?

4 5 1? 5 x. x ,抛物线 C 的方程为 y 2 ? 5 2

解法二:设点 A 、 B 关于 l 的对称点为 A' ( x1 , y1 ) 、 B ' ( x2 , y2 ) ,
' ' ' 又设 ?B Ox ? ? ,依题意,有 OA ? OA ? 1 , OB ? OB ? 8 .

故 x2 ? 8 cos? , y2 ? 8 sin ? .
' ' 由 ?BOA ? 90? ,知 ?B OA ? 90? .

∴ x1 ? cos(? ? 90?) ? sin ? , y1 ? sin(? ? 90?) ? ? cos? . 又 x1 ? 0 , x2 ? 0 ,故 ? 为第一象限的角. ∴ A' (sin? , ? cos? ) 、 B' (8 cos? , 8 sin ? ) . 将 A 、 B 的坐标代入抛物线方程,得 ?
' '

2 ? ?cos ? ? 2 p sin ? , 2 ? ?64sin ? ? 16 p cos? .

3 3 ∴ 8 sin ? ? cos ? ,即 tan ? ?

1 5 2 5 从而 sin ? ? , cos? ? , 2 5 5

∴p?

4 5 2 5 2 x. ,得抛物线 C 的方程为 y ? 5 5
90? ? ? ? ? ? 45? . 2 2

' 又直线 l 平分 ?B OB ,得 l 的倾斜角为 ? ?

∴ k ? tan( ? 45?) ?

?

2

sin(? ? 90?) cos? 1? 5 . ? ? 1 ? cos(? ? 90?) 1 ? sin ? 2
1? 5 x. 2

∴直线 l 的方程为 y ?

说明: (1)本题属于点关于直线的对称问题.解法一是解对称点问题的基本方法,它的思路明 确,但运算量大, 若不仔细、沉着, 难于解得正确结果.解法二是利用对称图形的性质来解, 它的技巧性较强,一时难于想到. (2)本题是用待定系数法求直线的方程和抛物线方程.在已知曲线的类型求曲线方程时, 这种方法是最常规方法,需要重点掌握.

典型例题九
例 9 如图,正方形 ABCD 的边 AB 在直线 l:y ? x ? 4 上, C 、 D 两点在抛物线

y 2 ? x 上,求正方形 ABCD 的面积.

分析: 本题考查抛物线的概念及其位置关系, 方程和方程组的解法和数形结合的思想方 法,以及分析问题、解决问题的能力. 解:∵直线 AB:y ? x ? 4 , AB // CD ,∴设 CD 的方程为 y ? x ? b ,且 C ( x1 , y1 ) 、

D( x2 , y2 ) .
?y2 ? x 由方程组 ? ,消去 x ,得 y 2 ? y ? b ? 0 ,于是 ?y ? x ? b

y1 ? y2 ? 1 , y1 y2 ? b ,∴ CD ? 1 ?
∴ CD ?

1 y1 ? y2 (其中 k ? 1 ) k2

2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ? 2(1 ? 4b) .

由已知, ABCD 为正方形, CD ? AD , ∴ CD 可视为平行直线 AB 与 CD 间的距离,则有

CD ?

4?b 2

,于是得 2(1 ? 4b) ?
2

4?b 2



两边平方后,整理得, b ? 8b ? 12 ? 0 ,∴ b ? ?6 或 b ? ?2 . 当 b ? ?6 时,正方形 ABCD 的面积 S ? CD ? 2(1 ? 24) ? 50 . 当 b ? ?2 时,正方形 ABCD 的面积 S ? CD ? 2(1 ? 8) ? 18 . ∴正方形 ABCD 的面积为 18 或 50. 说明:运用方程(组)的思想和方法求某些几何量的值是解析几何中最基本的、贯穿始 终的方法,本题应充分考虑正方形这一条件.
2 2

典型例题十
例 10 设有一颗彗星围绕地球沿一抛物线轨道运行,地球恰好位于抛物线轨道的焦点

4 处,当此彗星离地球为 d ?10 km 时,经过地球与彗星的直线与抛物线的轴的夹角为 30 ? ,

求这彗星与地球的最短距离. 分析:利用抛物线有关性质求解. 解:如图,设彗星轨道方程为 y 2 ? 2 px , p ? 0 ,焦点为 F ( 彗星位于点 P( x0 , y0 ) 处.直线 PF 的方程为 y ?

p , 0) , 2

3 p (x ? ) . 3 2

? y 2 ? 2 px, (7 ? 4 3 ) p ? 解方程组 ? , 3 p 得x? 2 ( x ? ), ?y ? 3 2 ?
故 x0 ?

(7 ? 4 3 ) p . 2 2 3 p 2 3 (7 ? 4 3 ) p p | x0 ? |? | ? |? (4 ? 2 3 ) p . 3 2 3 2 2 2? 3 d. 2

PF ?

故 (4 ? 2 3) p ? d ,得 p ?

由于顶点为抛物线上到焦点距离最近的点,所以顶点是抛物线上到焦点距离最近的 点.焦点到抛物线顶点的距离为

p 2? 3 ? d ,所以彗星与地球的最短距离为 2 4

2? 3 2? 3 ( P 点在 F 点的左边与右边时,所求距离取不同 d ?104 km 或 d ?104 km , 4 4
的值) . 说明: (1)此题结论有两个,不要漏解; (2)本题用到抛物线一个重要结论:顶点为抛物线上的点到焦点距离最近的点,其证明 如下:设 P( x0 , y0 ) 为抛物线 y ? 2 px 上一点,焦点为 F (
2

p p , 0) ,准线方程为 x ? ? , 2 2

依抛物线定义,有 PF ?

p p ? x0 ? ( x0 ? 0) ,当 x0 ? 0 时, PF 最小,故抛物线上到焦 2 2

点距离最近的点是抛物线的顶点.

典型例题十一
例 11 如图,抛物线顶点在原点,圆 x 2 ? y 2 ? 4 x 的圆心是抛物线的焦点,直线 l 过抛 物线的焦点,且斜率为 2,直线 l 交抛物线与圆依次为 A 、 B 、C 、 D 四点,求 AB ? CD 的值.

分析:本题考查抛物线的定义,圆的概念和性质,以及分析问题与解决问题的能力,本 题的关键是把 AB ? CD 转化为直线被圆锥曲线所截得的弦长问题. 解:由圆的方程 x 2 ? y 2 ? 4 x ,即 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 可知,圆心为 F (2 , 0) ,半径为 2, 又由抛物线焦点为已知圆的圆心,得到抛物线焦点为 F (2 , 0) ,设抛物线方程为 y 2 ? 8x ,

AB ? CD ? AD ? BC
∵ BC 为已知圆的直径,∴ BC ? 4 ,则 AB ? CD ? AD ? 4 . 设 A( x1 , y1 ) 、 D( x2 , y2 ) ,∵ AD ? AF ? FD ,而 A 、 D 在抛物线上, 由已知可知,直线 l 方程为 y ? 2( x ? 2) ,于是,由方程组

? y 2 ? 8, 2 消去 y ,得 x ? 6 x ? 4 ? 0 ,∴ x1 ? x2 ? 6 . ? y ? 2 ( x ? 2 ). ?
∴ AD ? 6 ? 4 ? 10 ,因此, AB ? CD ? 10 ? 4 ? 6 . 说 明 : 本 题 如 果 分 别 求 AB 与 CD 则 很 麻 烦 , 因 此 把 AB ? CD 转 化 成

AD ? BC ? AD ? 4 是关键所在,在求 AD 时,又巧妙地运用了抛物线的定义,从而避
免了一些繁杂的运算.


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