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2008年广州市普通高中毕业班综合测试(一)数学(理科)


2008 年广州市普通高中毕业班综合测试(一)

数学(理科)
题目要求的.

2008.3

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合

1. 已知全集 U ? R ,集合 A ? {x | ?2 ? x ? 2} , B ?

{x | x2 ? 2x ? 0} ,则 A ? B ? ( A. (0 , 2) B. (0 , 2] C. [0 , 2) D. [0 , 2]



2. 某赛季,甲、乙两名篮球运动员都参加了 11 场比赛,他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图 表示,则甲、乙两名运动员的中位数分别是( A. 19 、 13 B. 13 、 19 C. 20 、 18 D. 18 、 20
7 5 3


甲 9 7 4 8 9 6 2 1 0 1 2 3 4 7 1 2 1 0 乙 8 1 0 0 5 3

?log 2 x 3. 已知函数 f ( x) ? ? x ?2
A. ?1

( x ? 0) ( x ? 0)

,若 f (a) ?

1 ,则实数 a ? ( 2
C. ?1或 2 )



B. 2

D. 1 或 ? 2

4. 直线 ax ? y ? 2a ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? 9 的位置关系是( A.相离 B.相交 C.相切

D.不确定 )

5. 在区间 [0 , 1] 上任取两个数 a 、 b ,则方程 x 2 ? ax ? b2 ? 0 有实根的概率为( A.

1 8

B.

1 4

C.

1 2


D.

3 4

6. 已知 a ? R ,则“ a ? 2 ”是“ a 2 ? 2a ”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 据: lg 2 ? 0.3010 , lg3 ? 0.4771 ) ( A. 15 次 B. 14 次

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

7. 抽气机每次抽出容器内空气的 60 %,要使容器内剩下的空气少于原来的 0.1 %,则至少要抽(参考数 ) C. 9 次 D. 8 次 )

??? ??? ??? ??? ? ? ? ? 8. 在 ?ABC 所在的平面上有一点 P , 满足 PA ? PB ? PC ? AB , ?PBC 与 ?ABC 的面积之比是 则 (
A.

1 3

B.

1 2

C.

2 3

D.

3 4

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分.本大题分为必做题和选做题两部分.

(一)必做题:第 9 ? 12 题为必做题,每道试题考生都必须作答. 9. 若复数 z ? (m ? 5m ? 6) ? (m ? 3)i 是实数,则实数 m ?
2

开始 . 输入 x

10. 已知 cos ? ?

3 ,则 cos 2? ? 5
1 0



11. 根据定积分的几何意义,计算: ? 12. 按如图所示的程序框图运算: 若输入 x ? 8 ,则输出 k ?

4 ? x 2 dx ?



k ?0

; .

x ? 2x ? 1 k ? k ?1

若输出 k ? 2 ,则输入 x 的取值范围是

(注: A ? 1”也可写成“ A :? 1 ”或“ A ? 1 ” “ ,均 表示赋值语句) (二)选做题:第 13 ? 15 题为选做题,考生只能选做其中的两 题,三题全答的,只计算前两题的得分.

x ? 115




k 输出 x 、

π? ? 13. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,过点 ? 2 2 , ? 4? ?
作圆 ? ? 4sin ? 的切线,则切线的极坐标方程是 .

结束 .

2 c 14. (不等式选讲选做题) a 、b 、c ? R , a 2 ? 2b ? 32 ? 6 , a ? b ? c 的最小值等于 若 且 则

15. (几何证明选讲选做题)在平行四边形 ABCD 中,点 E 在边 AB 上,且 AE : EB ? 1: 2 , DE 与 AC 交 于点 F ,若 ?AEF 的面积为 6 cm 2 ,则 ?ABC 的面积为

cm 2 .

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)

?π ? ?π ? 已知函数 f ( x) ? a sin x ? b cos x 的图像经过点 ? , 0 ? 和 ? , 1? . ?3 ? ?2 ?
(Ⅰ)求实数 a 和 b 的值; (Ⅱ)当 x 为何值时, f ( x) 取得最大值.

17. (本小题满分 12 分) 某计算机程序每运行一次都随机出现一个二进制的六位数 N ? n1 n2 n3 n4 n5 n6 ,其 中 N 的 各 位 数 字 中 , n1 ? n6 ? 1 , nk ( k ? 2 , 3 , 4 , 5 ) 出 现 0 的 概 率 为

2 1 ,出现 1 的概率为 ,记 3 3

? ? n1 ? n2 ? n3 ? n4 ? n5 ? n,当该计算机程序运行一次时,求随机变量 ? 的分布列和数学期望. 6

18. (本小题满分 14 分)

如图 1 所示,在边长为 12 的正方形 AA?A1?A1 中,点 B 、 C 在线段 AA ? 上,且 AB ? 3 ,
BC ? 4 ,作 BB1 ∥ AA1 ,分别交 A1 A1? 、 AA1? 于点 B1 、 P ,作 CC1 ∥ AA1 ,分别交 A1 A1? 、 AA1? 于点 C1 、 Q ,

将该正方形沿 BB1 、 CC1 折叠,使得 A?A1? 与 AA1 重合,构成如图 2 所示的三棱柱 ABC ? A1B1C1 . (Ⅰ)在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,求证: AB ? 平面 BCC1 B1 ; (Ⅱ)求平面 APQ 将三棱柱 ABC ? A1B1C1 分成上、下两部分几何体的体积之比; (Ⅲ)在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,求直线 AP 与直线 A1Q 所成角的余弦值.
B1 A1 Q Q P P A B C
图1

A1

B1

C1

A'1

C1

C

B

A'

A
图2

19. (本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 中, a1 ? 5 , an ? 2an?1 ? 2n ? 1 ( n ?N? 且 n ? 2 ) .

?a ? ? ? (Ⅰ)若数列 ? n n ? 为等差数列,求实数 ? 的值; ? 2 ?
(Ⅱ)求数列 {an } 的前 n 项和 Sn .

20. (本小题满分 14 分)

已知函数 f ( x) ? e x ? x (其中 e 为自然对数的底) . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小值;

e ?1? ? 2? ? n ?1 ? ? n ? (Ⅱ)若 n ?N? ,证明: ? ? ? ? ? ? ? ? ? . ? ?? ? ? ?n? ?n? ? n ? ? n ? e ?1
n n n n

21. (本小题满分 14 分) 已知抛物线 L : x2 ? 2 py ( p ? 0 )和点 M (2 , 2) ,若抛物线 L 上存在不同的两点 A 、 B

???? ???? ? ? 满足 AM ? BM ? 0 .
(Ⅰ)求实数 p 的取值范围; (Ⅱ)当 p ? 2 时,抛物线 L 上是否存在异于 A 、 B 的点 C ,使得经过 A 、 B 、 C 三点的圆和抛物线

L 在点 C 处有相同的切线?若存在,求出点 C 的坐标;若不存在,请说明理由.

2008 年广州市普通高中毕业班综合测试(一)

数学(理科)参考答案
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 题号 答案 1 C 2 A 3 C 4 B 5 B 6 A 7 D 8 C

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分.本大题分为必做题和选做题两部分. (一)必做题:第 9 ? 12 题为必做题,每道试题考生都必须作答. 9. 3 10. ?

7 25

11.

π 3 ? 3 2

12. 4 , (28 , 57]

(二)选做题:第 13 ? 15 题为选做题,考生只能选做其中的两题,三题全答的,只计算前两题的得分. 13. ? cos? ? 2 14. ? 11 15. 72

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 解: (Ⅰ)依题意,有

? ?f ? ? ?f ? ?
(Ⅱ)由(Ⅰ)知:

3 1 ?π? a? b?0 ? ?? 2 ?3? 2 ? a ? 1, b ? ? 3 ; ?π? ? ? ? a ?1 ?2?

π? ? f ( x) ? sin x ? 3 cos x ? 2sin ? x ? ? . 3? ?

π π 5π ( k ? Z )时, f ( x) 取得最大值 2 . ? 2kπ ? ,即 x ? 2kπ ? 3 2 6 17. 解:依题意,知 ? 的可能取值为 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ,其概率分别为
因此,当 x ?

16 0 ?2? ? ? 2 表示 nk ( k ? 2 , 3 , 4 , 5 )中全为零,故 P(? ? 2) ? C4 ? ? ? ? ; ? 3 ? 81 1 32 1 ?2? ? ? 3 表示 nk ( k ? 2 , 3 , 4 , 5 )中恰有一个 1,故 P(? ? 3) ? C4 ? ? ? ? ? ; ? 3 ? 3 81
2 ?2? ? ? 4 表示 nk ( k ? 2 , 3 , 4 , 5 )中恰有两个 1,故 P(? ? 4) ? C4 ? ? ? ?3? 2 3

4

24 ?1? ; ?? ? ? 81 ? 3?
3

2

8 ? 2? ?1? ? ? 5 表示 nk ( k ? 2 , 3 , 4 , 5 )中恰有三个 1,故 P(? ? 5) ? C ? ? ? ? ? ? ? ; ? 3 ? ? 3 ? 81
3 4

1 4 ?1? ? ? 6 表示 nk ( k ? 2 , 3 , 4 , 5 )中全部为 1,故 P(? ? 6) ? C4 ? ? ? ? . 3 ? 81 ?

4

因此, ? 的分布列为

?

2

3

4

5

6

P
? 的数学期望为

16 81 E? ? 2 ?

32 81

24 81

8 81

1 81

16 32 24 8 1 10 ? 3? ? 4 ? ? 5? ? 6 ? ? . 81 81 81 81 81 3
AC 2 ? AB 2 ? BC 2 ,即 AB ? BC .

18. 解: (Ⅰ)证明:因为 AB ? 3 , BC ? 4 ,所以 AC ? 5 ,从而有

又因为 AB ? BB1 ,而 BC ? BB1 ? B ,所以

AB ? 平面 BCC1 B1 ;
(Ⅱ)因为 BP ? AB ? 3 , CQ ? AC ? 7 ,所以

SBCQP ? 1 3 1 3

( BP ? CQ) ? BC (3 ? 7) ? 4 ? ? 20 , 2 2

从而 VA? BCQP ? ? SBCQP ? AB ? ? 20 ? 3 ? 20 . 又因为

1 VABC ? A1B1C1 ? S ABC ? AA1 ? ? 3 ? 4 ?12 ? 72 , 2
所以平面 APQ 将三棱柱 ABC ? A1B1C1 分成上、下两部分几何体的体积之比为

V上 72 ? 20 52 13 ? ? ? ; V下 20 20 5
(Ⅲ)如图建立空简直角坐标系,则

A(3 , 0 , 0) 、 P(0 , 0 , 3) 、
A1 (3 , 0 ,12) 、 Q(0 , 4 , 7) ,
所以 AP ? (?3 , 0 , 3) , AQ ? (?3 , 4 , ? 5) . 1 设直线 AP 与直线 A1Q 所成角为 ? ,则

??? ?

???? ?

??? ???? ? ? | AP ? A1Q | 6 1 ? ? cos? ? ??? ???? ? ? . | AP | ? | A1Q | 3 2 ? 5 2 5
19. 解: (Ⅰ)因为 an ? 2an?1 ? 2n ? 1 ( n ? N? 且 n ? 2 ) ,所以

an ? ? 2an ?1 ? 2n ? 1 ? ? an ?1 ? ? 1? ? ? ? ?1? n . n n n ?1 2 2 2 2
显然,当且仅当

1? ? ?a ? ? ? ? 0 ,即 ? ? ?1 时,数列 ? n n ? 为等差数列; n 2 ? 2 ?

a ?1 ? a ? 1? (Ⅱ)由(Ⅰ)的结论知:数列 ? n n ? 是首项为 1 ? 2 ,公差为 1 的等差数列, 2 ? 2 ?
故有

an ? 1 ? 2 ? (n ? 1) ?1 ? n ? 1 ,即 2n
. an ? (n ? 1) ? 2n ? 1 ( n ? N? )

因此,有

Sn ? 2 ? 2 ? 3 ? 22 ? 4 ? 23 ? ? ? (n ? 1) ? 2n ? n , 2Sn ?
两式相减,得

2 ? 22 ? 3 ? 23 ? 4 ? 24 ? ? ? (n ? 1) ? 2n?1 ? 2n ,

?Sn ? 4 ? (22 ? 23 ? ? ? 2n ) ? (n ? 1) ? 2n?1 ? n ,
整理,得

Sn ? n(2n?1 ? 1) ( n ? N? ) .
20. 解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? e x ? x ,所以 f ?( x) ? e x ? 1. 显然,当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 .因此, f ( x) 在 (?? , 0) 上单调 递减,在 (0 , ? ?) 上单调递增. 因此,当 x ? 0 时, f ( x) 取得最小值 f (0) ? 1 ? 0 ? 1 ; (Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知:当 x ? 0 时,有 f ( x) ? 1 ,即 x ? 1 ? e x ,故
n?k k ?k ? ? n?k ? ? ? n ? e , ? ? n ( k ? 1, 2 , ? , n ) ? ? ? ?1 ? ? ? ?e n ? ? ?n? ? ? e n n n

从而有

?1? ? 2? ? n ?1 ? ? n ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ?? ? ?n? ?n? ? n ? ?n?
n n n

n

?

1 (e ? e2 ? ? ? en ) en 1 e(1 ? e n ) e n ? 1 e e ? n? ? n ? ? . e 1? e e e ?1 e ?1

???? ???? ? ? 21. 解: (Ⅰ)由 AM ? BM ? 0 知: M 是线段 AB 的中点.
设直线 AB : y ? 2 ? k ( x ? 2) ,则

? y ? 2 ? k ( x ? 2) ? x2 ? 2kpy ? 4 p(k ? 1) ? 0 . ? 2 x ? 2 py ?

依题意,有 xM ?

xA ? xB 2 ? kp ? 2 ? k ? . 2 p

??①

又由 ? ? 4k 2 p2 ? 16 p(k ? 1) ? 0 ? k 2 p ? 4k ? 4 ? 0 ,由此及①可得

4 8 ? ? 4 ? 0 ,即 p ? 1 ; p p
(Ⅱ)若存在满足条件的点 C ,则因为 M 是线段 AB 的中点,所以 CM ? AB ,即 CM 经过 ?ABC 的外接圆圆心,故 CM 与抛物线 L 在点 C 处的切线垂直,即直线 AB 与抛物线 L 在点 C 处的切 线平行. 当 p ? 2 时,由①知:直线 AB 的斜率 k ? 为 1,故由 y? ?

2 ? 1 ,从而抛物线 L 在点 C 处的切线的斜率 p

1 1 x ? 1 ? x ? 2 , y ? x 2 ? 1 知:点 C 的坐标为 (2 , 1) . 2 4


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