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2016年全国高中数学联合竞赛辽宁省初赛试卷版


2016 年全国高中数学联合竞赛辽宁省初赛试卷 (7 月 3 日上午 8:30-11:00) 考生注意:1.本试卷共三道大题,14 道小题,满分 150 分. 2.请用圆珠笔或钢笔将解答写在答题纸上. 一.选择题(本题满分 30 分,每小题 6 分) 本题共有 5 道小题,每小题给出了(A) 、 (B) 、 (C ) 、 (D)四个结论,其中只有一 个是正确的.请把正确结论的代表

字母写在答题纸上.每小题选对得 6 分,不选、选 错或选出的代表字母超过一个(不论是否写在横线上) ,一律得 0 分. 3 1.已知复数 z 满足|z|=1,则|z +3z+2i|的最大值为( ).(i 为虚数单位) (A)4 2 (B)3 3 (C)2 5 (D)4 3

sinAcostC+cosA 2.若△ABC 的内角 A,B,C 所对的边 a,b,c 成等比数列,则 sinBcotC+cosB 的取值 范围是( ) 5-1 5+1 5-1 (C)( 2 , 2 ) (D) ( 2 ,+∞) 5+1 (A)(0,+∞) (B)(0, 2 )

3.函数 f(x,y)= x2+y2-6y+9+ x2+y2+2 3y+3+ x2+y2-2 3y+3 ,则 f(x,y)的最小值是 ( ) (B)2 3+2 (C)6 (D)8

(A)3+2 3

4.将 2,3,4,6,8,9,12,15 共 8 个数排成一行,使得任意相邻两个数的最大 公约数均大于 1,则所有可能的排法共有( )种. (A)720 (B)1024 (C)576 (D)1296 5.正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,在对角线 A1D 上取点 M,在 CD1 上取点 N, 使得线段 MN 平行于对角面 A1ACC1,则|MN|的最小值为( ) 3 (A) 3 (B)1 ( C) 2 (D) 2 2

二.填空题(本题满分 30 分,每小题 6 分) 6.设集合 A={x|x2-[x]=2},B={x|-2<x<2},其中符号[x]表示不大于 x 的最大整数,则 A ∩B=_________ 7.在(2+ x)2n+!的展开式中,x 的幂指数是整数数的各项系数之和为____________. 8.与正四面体 4 个顶点距离之比为 1:1:1: 2的平面共有_______个.

1

? ??? ? ??? ? ??? ? C 2 5 ???? ??? 9.如图所示, 在△ABC 中, cos2= 5 , AH ? BC ? 0 , AB?(CA ? CB ) ? 0 ,

C

则过点 C,以 A、H 为两焦点的双曲线的离心率为___________. 10.已知数列{an}共有 100 项,满足 a1=0,a100=475, 且|ak+1-ak=5(k=1,2,3,…,99),则符合条件下的不同数列有_________ A 个. 三.解答题(本题共 4 道小题,满分 90 分) a b c 11.(本小题满分 20 分)已知 lga+lgb+lgc=0,证明:1<a+1+b+1+c+1<2.

H
B

1 1 2 12. (本小题满分 20 分)已知数列{an}满足 a0= k,an=an-1+ 2 an ,其中 k 为正整数. n ?1 如果对于所有的 n∈N*,都有 an<1,求 k 的取值范围.

2

13. (本小题满分 25 分) 如图, △ABC 为锐角三角形, 外接圆圆心为 O, 半径为 R, AO 的延长线交△BOC 的外接圆于点 A? , BO 的延长线交△AOC 的外接圆于点 B? , CO 的延长线交△AOB 的外接圆于点 C ? ,求证: OA??OB??OC ??8R 3 . A C?

B?

O?

B

C

A?

14.(本小题满分 25 分)设 A、B、C 为抛物线 y=x2 上不同的点,R 为△ABC 外接 圆的半径,求 R 的取值范围.

3


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