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一元二次不等式及其解法,分式及高次不等式解法


一元二次不等式及其解法

考察下面含未知数x的不等式:
15x2+30x-1>0 和 3x2+6x-1≤0. 这两个不等式有两个共同特点: (1)含有一个未知数x; (2)未知数的最高次数为2. 一般地,含有一个未知数,且未知

数的最高次数为2的整式不等式,叫做一
元二次不等式。

一元二次不等式的一般表达式为
ax2+bx+c>0 (a≠0),或ax2+bx+c<0 (a≠0) 其中a,b,c均为常数。 一元二次不等式一般表达式的左边,恰 是关于自变量x的二次函数f(x)的解析式, 即 f(x)=ax2+bx+c (a≠0),

一元二次不等式f(x)>0,或f(x)<0 (a≠0)的 解集,就是分别使二次函数f(x)的函数值为 正值或负值时自变量x的取值的集合。 一元二次方程f(x)=0 (a≠0)的解集,就是使 二次函数f(x)为零时自变量x的取值的集合。 因此二次函数,一元二次方程,一元二

次不等式之间有非常密切的联系。

下面我们通过实例,研究一元二次不等 式的解法,以及它与相应的方程、函数之 间的关系。 例如解不等式: (1)x2-x-6>0;(2)x2-x-6<0.
我们来考察二次函数f(x)=x2-x-6 =
(x ? 1 2 ) ?
2

25 4

的图象和性质。

方程x2-x-6=0的判别式 ? ? 1 ? 4 ? 1 ? ( ? 6 ) ? 2 5 ? 0

于是可知这个方程有两个不相等的实数根,
y

解此方程得x1=-2,x2=3. 建立直角坐标系xOy,画出 f(x)的图象,它是一条开口向 上的抛物线,与x轴的交点是
-2 -1 O

3 2 1 x 1 -1 -2 -3 2 3

M(-2,0),N(3,0),

1 25 ( ,) 2 4

观察这个图象,可以看出,抛物线位于x 轴上方的点的纵坐标大于零,因此这些点 的横坐标的集合
y

A={x| x<-2或x>3}是一元二
次不等式x2-x-6>0的解集。 抛物线位于x轴下方的点 的纵坐标小于零,因此这些 点的横坐标的集合B={x| - 2<x<3}是一元二次不等式x2 -x-6<0的解集。
-2 -1 O

3 2 1 x 1 -1 -2 -3 2 3

1 25 ( ,) 2 4

一元二次不等式的解法
判别式 △=b2- 4ac △>0 y y=ax2+bx+c (a>0)的图象 x1 O x2 x O x1 ax2+bx+c=0 (a>0)的根 有两相异实根 x1, x2 (x1<x2) x O 没有实根 x

△=0
y

△<0
y

有两相等实根 b x1=x2= ?
2a

ax2+bx+c>0 大于取两边 (a>0)的解集 {x|x<x1,或 x>x2} ax2+bx+c<0 小于取中间 (a>0)的解集 {x|x1< x <x2 }

{x|x≠ ?

b

}

2a

R Φ

Φ

题2:解不等式4x2-4x +1>0
解: 由于4x2-4x+1=(2x-1)2≥0

另解: 因为△= 16 -16 =0
方程 4 x2 - 4x +1=0 的解是

x1=x2=1/2
故原不等式的解集为{ x| x ≠ 1/2 }

题3:解不等式- x2 + 2x – 3 >0
解:整理,得 x2 - 2x + 3 < 0 因为△= 4 - 12 = - 8 < 0 方程 2 x2 - 3x – 2 = 0无实数根 所以原不等式的解集为ф

例2.解不等式1-x-4x2>0.

解:原不等式化为4x2+x-1<0,
因为△=12-4×4×(-1)>0,
2+x-1=0的根是 x ? ? 1 ? 1 7 , x ? ? 1 ? 1 7 方程4x 1 2
8 8

所以不等式的解集是
{x | ?1 ? 8 17 ? x ? ?1 ? 8 17 }

例3.解不等式x2+4x+4>0. 解:因为△=42-4×1×4=0,

原不等式化为(x+2)2>0,
所以不等式的解集是{x∈R| x≠-2}.

例4.解不等式-2x2+4x-3>0. 解:原不等式化为2x2-4x+3<0,

因为2x2-4x+3=2(x-1)2+1>0,
所以原不等式的解集是 ?

例5.求函数 f ( x ) ?

2 x ? x ? 3 ? lo g 3 (3 ? 2 x ? x )
2 2

的定义域。
解:由函数f(x)的解析式有意义得
?2x ? x ? 3≥ 0 ? 2 3 ? 2x ? x ? 0 ?
2



? ( 2 x ? 3)( x ? 1) ≥ 0 ? ? ( x ? 3)( x ? 1) ? 0

解得

3 ? ?x ≤ ? 或x≥ 1 2 ? ? ?1 ? x ? 3 ?

因此1≤x<3,所求函数的定义域是[1,3).

小结
解一元二次不等式ax2+bx+c>0、
ax2+bx+c<0 (a>0) 的步骤是: (1)化成标准形式 ax2+bx+c>0 (a>0) ax2+bx+c<0 (a>0) (2)判定△与0的关系,并求出方程ax2+bx+c=0 的实根; (3)写出不等式的解集.

不等式ax2 +(a-1)x+ a-1<0对所有实数 x∈R都成立,求a的取值范围.
分析:开口向下,且与x轴无交点 。 解:由题目条件知: (1) a < 0,且△ < 0. 因此a < -1/3。 (2)a = 0时,不等式为-x-1 <0 不符合题意。 综上所述:a的取值范围是 ?

1? ?a | a ? ? ? 3? ?

不等式ax2 +(a-1)x+ a-1<0对所有实数 x∈R都成立,求a的取值范围.
分析:开口向下,且与x轴无交点 。 解:由题目条件知: (1) a < 0,且△ < 0. 因此a < -1/3。 (2)a = 0时,不等式为-x-1 <0 不符合题意。 综上所述:a的取值范围是
1? ? ?a | a ? ? ? 3? ?

二次不等式ax? +bx+c>0的解集是全体实数的 条件是______. a>0时,⊿=b? -4ac<0

解关于x的不等式(x-2)(ax-2)>0.

不等式 x ? x ? 0的解集为
3

____ .

?x x ? 0?

已知 ax ? 2 x ? c ? 0的解集为
2

?

1 3
2

? x?

1 2

,

试求 a , c 的值,并解不等式
答案

? cx ? 2 x ? a ? 0。

a ? ? 12 , c ? 2 解集 ?x ? 2 ? x ? 3 ?

1.

2.

3.


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