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2016高考数学二轮复习 专题5 立体几何 第一讲 空间几何体 文


第一讲

空间几何体

空间几何体的三视图成为近几年高考的必考点, 单独考查三视图的逐渐减少, 主要考查 由三视图求原几何体的面积、体积,常以选择题、填空题的形式考查,预测 2016 年高考会 出现给出几何体的三视图,求原几何体的表面积或体积的选择题或填空题.

柱、锥、台、球的概念 柱、锥、台、球的结构特征列表如下:

几何体 多面体

几何特征

图形

有两个面互相平行,其余各面都是四 棱柱 边形,并且每相邻两个四边形的公共 边都互相平行

棱锥

有一个面是多边形,其余各面都是有 一个公共顶点的三角形

用一个平行于棱锥底面的平面去截棱 棱台 锥,底面与截面之间的部分,叫做棱 台

(续上表) 旋转体

1

圆柱

以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余三边 旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱

以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转 圆锥 轴,其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫 做圆锥

圆台

用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面 与截面之间的部分,叫做圆台



以半圆的直径所在的直线为旋转轴,半圆面旋 转一周形成的旋转体叫做球体

三视图 1.空间几何体的三视图包括正(主)视图、侧(左)视图和俯视图. 2.在三视图中,正(主)侧(左)一样高,正(主)俯一样长,侧(左)俯一样宽. 多面体与旋转体的表面积与体积的计算 1.多面体的表面积. 多面体的表面积为各个面的面积之和. 2.旋转体的表面积. (1)圆柱的表面积 S=2π r(r+L); (2)圆锥的表面积 S=π r(r+L); (3)圆台的表面积 S=π (r′ +r +r′L+rL); (4)球的表面积 S=4π R . 3.体积公式. (1)柱体的体积 V=Sh. 1 (2)锥体的体积 V= Sh. 3 1 (3)台体的体积 V= (S′+ S′S+S)h. 3 4 3 (4)球的体积 V= π R . 3
2 2 2

2

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.(×) (2)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥.(×) (3)用斜二测画法画水平放置的∠A 时,若∠A 的两边分别平行于 x 轴和 y 轴,且∠A= 90°,则在直观图中,∠A=45°(×) (4)正方体、球、圆锥各自的三视图中,三视图均相同.(×) (5)圆柱的侧面展开图是矩形.(√) (6)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差来计算.(√)

1.(2015·新课标Ⅰ卷)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如 下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在 屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为 8 尺,米堆的高 为 5 尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺,圆周 率约为 3,估算出堆放的米约有(B)

A.14 斛 B.22 斛 C.36 斛 D.66 斛
π 16 1 1 解析:设米堆的底面半径为 r 尺,则 r=8,所以 r= ,所以米堆的体积为 V= × 2 π 4 3 π ?16?2 320 320 2 π ·r ·5= ×? ? ×5≈ (立方尺).故堆放的米约有 ÷1.62≈22(斛).故选 B. 12 ?π ? 9 9 2.(2015·北京卷)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是(C)

3

A.2+ 5 B.4+ 5 C.2+2 5 D.5
解析:作出三棱锥的示意图如图,在△ABC 中,作 AB 边上的高 CD,连接 SD. 在三棱锥 S?ABC 中,SC⊥底面 ABC,SC=1,底面三角形 ABC 是等腰三角形,AC=BC, AB 边上的高 CD=2,AD=BD=1,斜高 SD= 5,AC=BC= 5. ∴ S 2 5. 3.(2014·全国大纲卷)正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为 4,底面边 长为 2,则该球的表面积是(A)


1 1 1 1 =S△ABC+S△SAC+S△SBC+S△SAB= ×2×2+ ×1× 5+ ×1× 5+ ×2× 5=2+ 2 2 2 2

A.

81π 4

B.16π

C.9π

D.

27π 4

解析:由已知条件可知球心在正四棱锥的高上,设球的半径为 R,球心为 O,正四棱锥 9 2 2 2 底面中心为 E,则 OE 垂直棱锥底面,OE=4-R,所以(4-R) +( 2) =R ,解得 R= ,所 4 81π 2 以球的表面积 S=4π R = . 4 4.(2015·安徽卷)一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是(B)

A.1+ 3 B.2+ 3

4

C.1+2 2 D.2 2
解析:根据三视图还原几何体如图所示,其中侧面 ABD⊥底面 BCD,另两个侧面 ABC, 1 3 2 ACD 为等边三角形,则有 S 表面积=2× ×2×1+2× ×( 2) =2+ 3.故选 B. 2 4

5


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