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黑龙江大庆实验中学2013届高三9月月考数学理试题


大庆实验中学 2012—2013 学年度高三九月月考

数学试卷(理工类)
考试说明:本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟. (1)答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚; (2) 选择题必须使用 2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚; (3)请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在 草稿纸、试题卷上答题无效; (4)保持卡面清洁,不得折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、刮纸刀.

第I卷

(选择题, 共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的.) 1.

cos(?510?) 的值为

A.

3 2

B. ?

3 2

C.

1 2

D. ?

1 2

2. 下列各数集及对应法则,不能构成映射的是 A. x ? ?2n | n ? Z ?, y ? ?2n ? 1 | n ? Z ? , f : x ? y ? x ? 1 B. x ? Z , y ? ?2n | n ? Z ?, f : x ? y ? 4 x C. x ? N , y ? Q , f : x ? y ? D. x ? ?

x ?1 x

?? 3? ? , y ? ?0,2?, f : x ? y ? sin x , ?4 4 ? ?

3. 扇形的中心角为 120 ? ,半径为 3 ,则此扇形的面积为 A.

?

B.

5? 4

C.

3? 3

D.

2 3 2 ? 9

4. 已知 ?ABC 的三个内角满足: sin A ? sin C ? cos B ,则 ?ABC 的形状为 A. 正三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 5. 在 ?ABC 中,已知点 D 为边 BC 的靠近点 B 的三等分点,设 AB ? a, AC ? b,则 CD ? A.

2 2 a? b 3 3

B.

2 2 b? a 3 3

C.

1 1 a? b 3 3

D.

1 1 b? a 3 3

1

6. 已知 cos(x ?

?
6

)??

? 3 ,则 cos x ? cos( x ? ) ? 3 3
B. ?

A. ?

2 3 3

2 3 3

C. ? 1

D. ? 1

7. 已知集合 A ? ? x x ? sin

? ?

? ? ? k? k? , k ? Z ? ,集合 B ? ? x x ? cos , k ? Z ? ,则 A 与 B 的关系是 6 6 ? ? ?
C. B ? A D. A ? B

A. A ? B ? ? 8. 已知 tan ? ?

B. A ? B

? 4 ,且 ? 为第三象限角,则 cos 的值为 2 3
B. ?

A.

5 5

2 5 5

C. ?

5 5

D. ?

2 5 5

9. 已知函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? m 的最大值为 4 ,最小值为 0 ,最小正周期为 ? ,直线 x ? 其图象的一条对称轴,则下面各式中符合条件的解析式是 A. y ? 4 sin( 2 x ? C. y ? ?2 sin( x ?

?
6



?

?

6 3

) )?2

B. y ? ?2 sin( 2 x ? D. y ? 2 sin( 2 x ?

?
?
3 6

)?2 )?2

10. 已知函数 y ? 2sin x 的定义域为 ?a, b? ,值域为 ?? 2,1? ,则 b ? a 的值不可能是 A.

5? 6

B.

7? 6

C.

4? 3

D.

3? 2

x 11. 现有四个函数① y ? x ? sin x ② y ? x ? cos x ③ y ? x? | cos x | ④ y ? x ? 2 的部分图象如

下,但顺序被打乱,则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是
y

y

y

y

O

x

O

x

O

x

O

x

A. ①④②③

B. ①④③②

C. ④①②③

D. ③④②①

12. 下列四个命题中,真命题的个数为 ①若函数 f ( x) ? sin x ? cos x ? 1 ,则 y ? f (x) 的周期为 2? ;

?? ? ? ? ?1 ; ? 12 ? 5? 5? ? ? 5? ③若角 ? 的终边上一点 P 的坐标为 ? sin ; , cos ? ,则角 ? 的最小正值为 3 6 6 ? ?
②若函数 f ( x) ? cos x ? sin x ,则 f ??
4 4

2

④函数 y ? 2 cos 2 x 的图象可由函数 y ? cos2x ? 3 sin 2x 的图象向左平移 A. 1 B. 2 C. 3

? 个单位得到. 6

D. 4

第Ⅱ卷
13. 函数 f ( x) ?

(非选择题, 共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在题后的横线上。 )

tan x ? 1 ? 1 ? x 2 的定义域为________.

14. 在 ?ABC 中, a, b, c 分别为角 A, B, C 的对边,如果 c ? 3a , B ? 30? ,那么角 C 等于 ________. 15. 已知函数 y ? cos??x ? ? ? (? ? 0, ? ? ?0,2? ?) 的部 右图所示,则 ? 的值为________. 分图象如

16. 若方程 x ? ax ? 4 ? 0 的各个实根 x1 , x2 ,?, xk ( k ? 4) 所对应的点 ( x i ,
4

4 ) (i ? 1,2,?, k ) xi

均在直线 y ? x 的同侧,则实数 a 的取值范围是__________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 17. (本小题满分 12 分) 现有四分之一圆形的纸板(如右下图) ?AOB ? 90? ,圆半径为 1 ,要裁剪成四边形 OAPB , , 且满足 AP // OB ,?OAB ? 30? ,?POA ? ? ,记此四边形的面积为 f ?? ? ,求 f ?? ? 的最大值.

P

B

18. (本小题满分 12 分) 已 知

θ

30° A





O

3

f ( x) ? ? 3sin2 ? x ? 2sin ? x ? cos ? x ? 3 cos2 ? x ,其中 ? ? 0 ,且 f ?x ? 的最小正周期为 ? .
(Ⅰ) 求 f ?x ? 的单调递增区间; (Ⅱ) 利用五点法作出 f ?x ? 在 ??

? ? 5? ? 上的图象. , ? 6 6 ? ?

19. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 的对边分别 a 、 b 、 c ,已知 a ? b ? 5 , c ? 且 sin 2C ? sin 2C ? sin C ? cos2C ? 1 .
2

7,

(Ⅰ) 求角 C 的大小; (Ⅱ) 求 ?ABC 的面积.

20. (本小题满分 12 分) 设动圆: ?x ? cos? ? ? ? y ? 2 cos? ? sin? ? ? 2 cos3 ? ? cos? ? sin? ? 4
2 2

?

? ?? ? R?
2

的圆心

轨迹为曲线 C ,这些动圆所覆盖的区域记为区域 D . (Ⅰ) 求曲线 C 的最高点坐标; (Ⅱ) 求区域 D 的最高点坐标.

4

(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ?

cos x ( a 为实数) a ? sin x

(Ⅰ) 当 a ? 2 时,求函数 f ?x ? 的单调递增区间; (Ⅱ) 若当 x ? ? ?

? x ? ? ?? , ? 时,都有 f ? x ? ? ? 成立,求实数 a 的取值范围. 6 3 ? 2 2?

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. (本小题满分 10 分) 选修 4-1:几何证明选讲 如图, CB 是⊙ O 的直径, AP 是⊙ O 的切线, AP 与 CB 的延长线交于点 P , A 为切点.若

PA ? 10 , PB ? 5 , ?BAC 的平分线 AE 与 BC 和⊙ O 分别交于点 D 、 E ,求 AD ? AE 的值.
A

C

? O D

B

P

E 23. (本小题满分 10 分) 选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 C : ?

? x ? 4 cos? ( ? 为参数) . ? y ? 3 sin ?
5

(Ⅰ)将 C 的方程化为普通方程; (Ⅱ)若点 P( x, y) 是曲线 C 上的动点,求 2 x ? y 的取值范围.

24. (本小题满分 10 分) 选修 4-5:不等式选讲 已知不等式 2 | x ? 3 | ? | x ? 4 |? 2a . (Ⅰ)若 a ? 1 ,求不等式的解集; (Ⅱ)若已知不等式的解集不是空集,求 a 的取值范围.

.

6

哈三中 2012 十月月考理科答案
1 B 2 C 3 A 4 B 5 A 6 C 7 D 8 C 9 B 10 D 11 A 12 D

一. 选择题 二. 填空题 13. ?

?? ? ,1 ?4 ? ?

14. 120 ?

15.

7? 4

16. ?? ?,?6? ? ?6,???

三.解答题 17. SOAPB ? =

1 ? OB ? AP ? ? OA 2

? 1? 3 cos ? ? sin ? ? ? cos ? ……………………………4 分 ? ? 2? 3 ? ? ? 1? 3 cos 2 ? ? sin ? ? cos ? ? ? ? 2? 3 ? ? ? 1 ? 3 1 ? cos 2? 1 ? sin 2? ? ? ? 3 ? 2? 2 2 ?

=

=

=

3 ? ?? 3 sin ? 2? ? ? ? 6 6 ? 12 ?

…………………………………8 分

又∵ 0 ? ? ? ∴? ?

?
2



?
6

? 2? ?

?
6

?

7? 6

∴ 2? ?

?
6

?

?
2

?
6

时,面积取最大值

3 4

…………………………12 分

18. (1) f ( x) ? 3 cos 2? x ? sin 2? x

? 2sin(2? x ? ) 3
∵周期为 ? ∴? ? 1 ∴ f ( x) ? 2sin(2 x ?

?

?
3

) ……………2 分

∴ f ( x ) 的单调递增区间为 ? k? ? (2)

? ?

5? ? ? , k? ? ? , k ? Z ………6 分 12 12 ?

2x ?

? 3

0

? 2

?

3? 2
7

2?

x
y
(图略)
2

?
0

?
6

? 12
2

? 3
0

7? 12 ?2

5? 6
0

………………………………8 分 ………………………………12 分

19.(1)∵ sin 2C ? sin 2C ? sin C ? cos 2C ? 1 . ∴ 4sin C ? cos C ?2sin C ? cos C ? 2sin C ? 0
2 2 2 2

? sin C ? 0

? 2 c o2sC ?
1 2

cC ? ? 1 os

0

? cos C ? ?1 (舍)或 cos C ?

………………………4 分

?C ?

?
3

…………………………………6 分

(2) cos C ? cos

?
3

?

1 a 2 ? b 2 ? c 2 (a ? b)2 ? 2ab ? c 2 ? ? 2 2ab 2ab

又∵ a ? b ? 5 , c ? ∴S ?

7

∴ ab ? 6

……………10 分

1 1 3 3 3 ab sin C ? ? 6 ? ? 2 2 2 2

……………………12 分

20. 曲线 C : ?

x ? cos ? ? y ? sin ? ? 2cos ? ?

? 5 ? 2 5 sin ? ? cos ? ? y ? s i n ? 2 c? = 5 ? ? os ? ? 5 ? 5 ?
令 sin ? ?

2 5 5 , cos ? ? 则 y ? 5 sin ?? ? ? ? ……………4 分 5 5

∴ ? ? ? ? 2 k? ? 此时 ? ? 2k? ?

?
2

时 y 取最大值 5

?
2

? ? , cos ? ? ? sin ? = ?

2 5 5 , sin ? ? cos ? ? 5 5
…… ……………6 分

∴最高点坐标为 (?

2 5 , 5) ; 5
3

3 (2)∵ 2cos ? ? cos ? ? sin ? ? 4 = 2 cos ? ? 2 sin(? ?

?
4

)?4 ?0

……………………7 分 ∴ y ? sin ? ? 2cos? ? 2cos
3

? ? cos? ? sin ? ? 4
8

= 2cos ? ? 3cos ? ? 4
3

…………………………9 分

令 t ? cos? ???1,1? 则 y ? 2t 3 ? 3t ? 4 则 则 y? ? 6t 2 ? 3 ? 0 得 t ? ?

2 2
1

x

?1

2 (?1, ? ) 2
+

2 ? 2

2 2 (? , ) 2 2

2 2

2 ( ,1) 2
+

y?
y
5

?
2?4




4? 2
……………12 分



3

∴最高点为 (?

2 , 4 ? 2) 2 ? 1 ? 2 sin x

21.(Ⅰ)当 a ? 2 时,令 f ?( x) ?

?2 ? sin x ?2

?0得

? ? 5? ? f ?x ? 的增区间为 ? ? ? 2k? ,? ? 2k? ??k ? Z ? ………………4 分 6 ? 6 ?
(Ⅱ)设 g ( x ) ?

?
6

?

x 3

若使 f ?x ? 有意义,则 a ? ?1 或 a ? 1

f (0) ?

6 1 ? 得 a ? ?1 或 a ? ? g (0) ? ? a 6

……………… 6 分

① 当 a ? ?1 时, f ?? x ? ?

? a sin x ? 1

?a ? sin x ?2



若 a ? ?1 ,则 f ??x ? ? 0 恒成立, f ?x ? ? f ? ? 若 a ? ?1 ,令 f ?? x ? ? 0 ? sin x ? ?

? ?? ? ? 0 ,而 g ?x ? ? 0 ,故 f ?x ? ? g ?x ? 成立 ? 2?

1 , a

? 1 ? sin x ? ?

1 1 , f ??x ? ? 0 , f ?x ? 递减; ? ? sin x ? 1 , f ??x ? ? 0 , f ?x ? 递增,又 a a


? ?? ?? ? f ?? ? ? f ? ? ? 0 ? 2? ?2?


f ?x ? ? 0





g ?x ? ? 0





f ?x ? ? g ?x ?



……………………… 8 分

9

② 当a ?

6

?

时,令 F ?x ? ? f ?x ? ? g ?x ?
2

a ? 3a 2 ? ?3 ? sin x ? ? ? 2? 4 ? F ??x ? ? 2 3?a ? sin x ?
若 a ? 2 ,则 F ??x ? ? 0 ,而 F ? ∴ f ?x ? ? 0 ? g ?x ? ,此时成立

?? ? ??0 ?2?
…………………………10 分
2



2 ? a ? 3a ? a ? 2 ,设 sin x ? t, t ? ?? 1,1? ,令 G?t ? ? ? t ? ? ? ?3 ? 4 ? 2?

6

G?t ? ? 0 ? t ?

6 3a 2 a2 a 3a 2 ? 1? a ? ,由 ? a ? 2 知 3 ? ? 3? ? 4 4 2 4

即 3?

3a 2 a a 3a 2 a 3a 2 ? 1 ? ,∴ ? 3 ? ? 1 ,又 ? 3 ? ? ?0,1? 4 2 2 4 2 4

a 3a 2 ∴ t ? (0, ? 3 ? ) , G?t ? ? 0 2 4 a 3a 2 t ?( ? 3? ,1) , G?t ? ? 0 2 4
∴ F ?x ? 先增后减,而 F ?

?? ? ? ? 0 ,必存在 x0 使 F ?x0 ? ? 0 ,不成立 ?2?
………………………12 分

综上, a ? ?? ?,?1? ? ?2,??? 22.

证明:连结 CE ,? PA 2 ? PB ? PC , PA ? 10 , PB ? 5 , A 又

? PC ? 20 , BC ? 15 . ……………………2 分

?PA 与⊙ O 相切于点 A ,? ?PAB ? ?ACP ,
B P

C

? O D

??PAB ∽ ?PCA ,?

AB PB 1 ? ? . AC PA 2

? BC 为⊙ O 的直径,? ?CAB ? 90? ,
E

AC 2 ? AB 2 ? BC 2 ? 225 .
可解得 AC ? 6 5 , AB ? 3 5 . ……………………6 分

又? AE 平分 ?BAC ,? ?CAE ? ?EAB ,
10

又? ?ABC ? ?E ,? ?ACE ∽ ?ADB ,

?

AB AD ? AE AC

AD ? AE ? AB ? AC ? 3 5 ? 6 5 ? 90 . ……………10 分
23. 解: (Ⅰ)

x2 y2 ? ? 1 .………………………………………4 分 16 9 8 (Ⅱ) 2x ? y ? 8 cos ? ? 3 sin? ? 73 sin(? ? ? ) , tan ? ? . 3

? 2 x ? y ?[? 73, 73] .……………………………………10 分
24. 解: (Ⅰ) 2 | x ? 3 | ? | x ? 4 |? 2 , ① 若 x ? 4 ,则 3 x ? 10 ? 2 , x ? 4 ,?舍去. ② 若 3 ? x ? 4 ,则 x ? 2 ? 2 ,? 3 ? x ? 4 . ③ 若 x ? 3 ,则 10 ? 3 x ? 2 ,? ? x ? 3 . 综上,不等式的解集为 {x |

8 3

8 ? x ? 4} . ……………5 分 3

(Ⅱ)设 f ( x) ? 2 | x ? 3 | ? | x ? 4 | ,则

?3x ? 10, x ? 4 ? f ( x) ? ? x ? 2, 3 ? x ? 4 ,? f ( x) ? 1 ?10 ? 3x, x ? 3 ?
? 2a ? 1 , a ?

1 . 2

…………………………10 分

11


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