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2014届高考理科数学总复习(第1轮)全国版课件:6.3不等式的证明(第1课时)


第六章 不等式
第 讲
(第一课时)

1

考 点




●比较法 ●综合法 ●分析法 ●反证法 ●放缩法 ●换元法 ●判别式法
2

不等式的证明近年来高考虽然淡 高 化了单纯的证明题,但是以能力立意 考 的、与证明有关的综合题频繁出现, 常常与函数、数列、三角函数等综合, 猜 考查逻辑推理能力,是高考常考的一 想 项重要内容.

3

一、比较法 ? 1.作差比较法 ? 要证不等式a>b(或a<b),只需证a-b>0(或 a-b<0)即可.其步骤为: ? 作差→变形(常用变形方法有:通分,因式 分解,配方等)→判断(各因式大于或小于0). ? 2.作商比较法 ? 当欲证的不等式两端是乘积形式或幂指数形 式时可采用作商比较法.
?
4

a ? 若b>0,欲证a>b,只需证 >1;欲证a<b,只 a b 需证 <1.其步骤为: b

作商→变形→判断(大于或小于1). ? 二、综合法 ? 综合法就是从已知或已证明过的不等式出 发,根据不等式的基本性质推导出欲证的不 等式(由因导果). ? 在证明时,还常要用到以下证题依据:
?

5

1.若a,b∈R,则|a|≥0,a2≥0,(a-b)2≥0. b a ? 2.若a,b同号,则 ? ? 2. a b ? 3.平方和不等式:若a,b∈R, 1 ? 则a2+b2≥ (a ? b)2 . 2 ? 4.均值不等式: a?b ? 若a,b均为正数,则 ? ab ; 2 ? 若a,b∈R,则a2+b2≥2ab. ? 5.倒数和不等式: ? 若a,b均为正数,则 1 1
?

(a ? b)(

? ) ? 4. a b

6

三、分析法 ? 分析法是从寻求结论成立的充分条件入 手,逐步寻求所需条件成立的充分条件, 直至所需的条件已知正确时为止,明显 地表现出“执果索因”. ? 四、反证法 ? 假设所证不等式不成立,结合已知条件 和不等式的基本性质推出一个矛盾的结 论,从而得出所证不等式成立.
?

7

?

五、用放缩法证明不等式经常用到的方法 技巧有:
1. 2.
k ? 1 - ①___ = k

? ?

?
?

1 1 ④___ ③___< = k2 k (k -1) 1 1 ⑥___ ⑤___ > = 2 k k (k ? 1)

1 ②___ < k ?1 ? k

1 ; 1 k -1 k 1 1 . k k ?1

1 . 2k

8

a ?b 2ab a 2 ? b2 ? 1.若a、b是正数,则 、 ab、 、 a?b 2 这四个数的大小顺序是( 2 ) C
A. B. a?b 2ab ab ? ? ? 2 a?b a 2 ? b2 ? 2 a 2 ? b2 2

a?b 2ab ab ? ? 2 a?b a 2 ? b2 2

2ab C. ? a?b D.

a?b ab ? ? 2

a?b ab ? ? 2

a 2 ? b2 2ab ? 2 a?b
9

?

解:可设a=1,b=2,则

2ab 4 ab ? 2, ? , a?b 3
2 2

a?b 3 ? , 2 2

a ?b 1? 4 5 ? ? ? 2.5. 2 2 2

10

2.设0<x<1,则 ? 中最大的一个是( )C ? A. a B. b ? C. c D. 不能确定 ? 解:因为0<x<1,所以1+x> 2 x ? 4x ? 2x. 1 ? 所以只需比较1+x与 的大小.
?
? ?

1 a ? 2 x,b ? 1 ? x,c ? 1- x

因为 所以

1- x 1 1- x 2 -1 x2 1? x ? ??0 1- x 1- x 1- x

1 1 ? x? . 1- x

11

3.对实数a和x而言,不等式x3+13a2x> 5ax2+9a3成立的充要条件是______. x>a ? 解:(x3+13a2x)-(5ax2+9a3) ? =x3-5ax2+13a2x-9a3 ? =(x-a)(x2-4ax+9a2) ? =(x-a)[(x-2a)2+5a2]>0. ? 因为当x≠2a≠0时,有(x-2a)2+5a2>0. ? 由题意知只需x-a>0,即x>a, ? 以上过程可逆.
?
12

题型1
?

用均值不等式证明不等式

1. 已知△ABC的外接圆半径R=1, 1 ? S△ABC = ,a、b、c是三角形的三边, 4 1 1 1 ?令 s ? a ? b ? c,t ? ? ? . a b c ? 求证:t>s. ? 证明: 1 1 c abc
S?ABC ? 2 ab sin C ? 2 ab ? 2R ? 4R .

13

1 ? 又因为R=1,S△ABC = ,所以abc=1. 4 ? 所以 1 1 1 s? a? b? c ? ? ? bc ca ab 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? b c ? c a ? a b ? t. 2 2 2 ? 所以s≤t,且t=s的条件是a=b=c=1,

此时S△ABC = 与已知矛盾.所以t>s. 3 4 ? 点评:本题考查均值不等式的应用.应用 均值不等式证明时,注意构造成应用均值 不等式的形式.
?
14

1 ? 2 2. ? 已知a、b∈R+,求证: a ? b ? ab

证明:因为a、b∈R+, a ? b ? 2 ab 1 1 ? 所以 a?b? ? 2 ab ? ab ab
?

1 ? 2 2 ab ? ?2 2 ab

15

题型2 用比较法证不等式 b2 a 2 ? 2. 已知a>0,b>0,求证: ? ? a ? b. a b ? 证法1: 2 2 2 2

b a b a ? - ( a ? b ) ? ( - a ) ? ( - b) a b a b (b ? a)(b - a) (a - b)(a ? b) ? ? a b 1 1 1 ? (a - b)(a ? b)( - ) ? (a - b) 2 (a ? b). b a ab 1 ? 因为a>0,b>0,所以 (a - b) 2 (a ? b) ? 0, ab 2 2 ? 所以

b a ? ? a ? b. a b

16

?

证法2:由于
b2 a 2 ? 3 3 2 2 a b ? a ? b ? a - ab ? b ? 2ab - ab ? 1, a?b ab(a ? b) ab ab

?

?
?



b a ? ? 0,a ? b?所以有 0, a b

2

2

b a ? ? a ? b. a b

2

2

证法3:因为

b2 b2 a2 a2 ?a ?2 ? a ? 2b, ? b ? 2 ? b ? 2a, ? a a b b b2 a 2 b2 a2 ? ? a ? b. ? a ? ? b ? 2a ? 2b, ? 所以 故 a b a b
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?

点评:比较法分差值比较法与商值比 较法两种,用比较法证不等式的关键 在于作差(商)后的变形,注意因式分解、 通分、配方等变形的运用,变形的方 向就是有利于式子与0(或1)的比较.

18

已知函数f(x)=x2+ax+b(a、b∈R),当实数p、q 满足p+q=1时,试证明:pf(x)+qf(y)≥f(px+qy)对 于任意实数x、y都成立的充要条件是0≤p≤1. ? 证明:pf(x)+qf(y)-f(px+qy) ? =p(x2+ax+b)+q(y2+ay+b)-(px+qy)2-a(px+qy)-b ? =p(1-p)x2-2pqxy+q(1-q)y2 ? =pqx2-2pqxy+pqy2=pq(x-y)2.
?

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充分性:若0≤p≤1, ? 则q=1-p∈[0,1], ? 所以pq(x-y)2≥0,故pf(x)+qf(y)≥f(px+qy). ? 必要性:若pf(x)+qf(y)≥f(px+qy), ? 则pq(x-y)2≥0. ? 因为(x-y)2≥0,所以pq≥0, ? 即p(1-p)≥0, ? 所以0≤p≤1. ? 综上所述,原命题成立.
?
20

题型3 用综合法证不等式 ? 3. 已知a>0,b>0,c>0,a,b,c不全相等, 求证: bc ? ac ? ab ? a ? b ? c. a b c ? 证明:因为a>0,b>0,c>0, ? 所以
bc ac bc ac bc ab ? ?2 ? ? 2c, ? a b a b a c

?

又因为a,b,c不全相等,所以上面三式不能全 取等号,三式相加得
bc ac ab ? ? ? a ? b ? c. a b c
21

bc ab ac ab ac ab ?2 ? ? 2b, ? ?2 ? ? 2a, a c b c b c

?

点评:本题所要证的式子是轮换式形 式:即交换a,b,c的位置,题中条件 和结论都不会变,此类题用综合法证 明时,关键是先得到某两个(或多个)关 系式之间的一个不等关系,再用同样 的方法得到其他的不等式,然后再综 合得出整个要证明的式子.

22

已知 a,b,c 为正实数,a+b+c=1. 1 2 2 2 求证:a +b +c ≥3.

23

证明:方法 1: 1 1 2 2 2 2 a +b +c -3=3(3a +3b2+3c2-1) 1 2 =3[3a +3b2+3c2-(a+b+c)2] 1 2 = 3 (3a +3b2 +3c2 -a2 -b2 -c2 -2ab -2ac-2bc) 1 =3[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]≥0. 1 2 2 2 所以 a +b +c ≥3.
24

方法 2: 因为(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc≤a2+ b2+c2+a2+b2+a2+c2+b2+c2, 所以 3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2=1, 1 2 2 2 所以 a +b +c ≥3.

25

1 1 1 方法 3:设 a=3+α,b=3+β,c=3+γ. 因为 a+b+c=1,所以 α+β+γ=0. 1 1 1 2 2 2 2 2 所以 a +b +c =(3+α) +(3+β) +(3+γ)2 1 2 =3+3(α+β+γ)+α2+β2+γ2 1 1 2 2 2 =3+α +β +γ ≥3. 1 2 2 2 所以 a +b +c ≥3.

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参 考 题
1 ? 已知函数f(x)=|1|,若b>a>0,且 x f(a)=f(b),证明:ab>1. ? 证明:由已知,当x≥1时,f(x)=1; 1 1 x ? 当0<x<1时,f(x)= -1. x ? 所以f(x)在(0,1]上是减函数, ? 在[1,+∞)上是增函数.

27

?
? ? ? ?

因为b>a>0,f(a)=f(b),所以0<a<1<b,

1 1 -1 ? 1- 即 , a b
1 1 ? ?即a+b=2ab. 2, a b

因为a>0,b>0,a≠b,

所以a+b>2
所以

,从而2ab>2 ab

>0, ab

>1,即ab>1. ab

28

1. 作差比较法证明不等式时,通常是进 行因式分解,利用各因式的符号进行判 断,或配方利用非负数的性质进行判断. ? 2. 综合法证明不等式,主要利用重要不 等式,函数的单调性及不等式的性质, 在严密的演绎推理下推导出结论.
?

29


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