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2010年全国高中数学联赛江西预赛试题及答案


2010 年全国高中数学联赛 江西省预赛试题
(考试时间:9 月 24 日上午 8:30-11:00) 一.填空题(共 8 题,每题 10 分,合计 80 分)
1.设多项式 f ( x ) 满足:对于任意 x ? R ,都有 f ( x ? 1) ? f ( x ?1) ? 2 x2 ? 4 x ,则 f ( x ) 的 最小值是________________. 2.数列 {an } , {bn } 满足: ak bk ? 1 , k ? 1, 2, 则数列 {bn } 的前 n 项和 Bn ? ________________. 3.函数 f ( x) ?

, 已知数列 {an } 的前 n 项和为 An ?

n , n ?1

1 ? x2 的值域是________________. x?2

4.过抛物线 y 2 ? 8x 的焦点 F ,作一条斜率为 2 的直线 l ,若 l 交抛物线于 A, B 两点,则

?OAB 的面积是________________.
5. 若 ?ABC 为 锐 角 三 角 形 , 满 足 ________________. 6.若正三棱锥的内切球半径为 1 ,则其体积的最小值为________________. 7.将 1, 2,

sin A A 的最大值为 ? cos( A ? B) , 则 t a n sin B

,9 随机填入右图正方形 ABCD 的九个格子中,则其每行三

数, 每列三数自上而下、 自左而右顺次成等差数列的概率 p ? _______.

8. 将 集 合 M ? {1, 2,

12} 的 元 素 分 成 不 相 交 的 三 个 子 集 : M ? A ? B ? C , 其 中

, B ? {b1 , b2 , b3 , b4 } , C ? {c1 , c2 , c3 , c4 } , c1 < c 2 < c3 < c 4 , 且 A ?{a 1, a 2, a 3, a 4}

ak ? bk ? ck, k ? 1, 2,3, 4 ,则集合 C 为________________.

二.解答题(共 3 题,合计 70 分) N 分别是两段弧的中点, 9.(20 分)如图, AB 是圆的一条弦,它将圆分成两部分, M 、
以点 B 为旋转中心,将弓形 AMB 顺时针旋转一个角度成弓形 A1MB , AA1 的中点为 P ,

MN 的中点为 Q .求证: MN ? 2PQ .

10.(25 分)给定椭圆 C :

x2 y2 ? 2 ? 1, (a > b > 0) 以及圆 O : x2 ? y 2 ? b2 ,自椭圆上异 2 a b
O 的两条切线,切点为 M , N ,若直线 MN 在 x, y 轴上的截

于其顶点的任意一点 P ,做

距分别为 m, n ;证明:

a 2 b2 a 2 ? ? . n2 m2 b2

11.(25 分)对于 2 n 个素数组成的集合 M ? { p1 , p2 , 积,得到一个 n 元集,如果 A ? {a1a2 , a3a4 ,

, p2n } ,将其元素两两搭配成 n 个乘

, a2n?1a2n ,} 与 B ? {b1b2 , b3b4 , , , a2n } = {b1 , b2 , , b2n } ? M ,且

b2n?1b2n } 是由此得到的两个 n 元集,其中 {a1 , a2 ,

A ? B ? ? ,就称集合对 { A, B} 是由 M 炮制成的一副“对联”.(例如当 n ? 2 时,由四元
集 {a, b, c, d} 可炮制成三副“对联” : {ab, cd }

{ac, bd } , {ab, cd }

{ad , bc} ,

{ac, bd }

{ad , bc} ).

(1).当 n ? 3 时,求 6 元素集 M ? {a, b, c, d , e, f } 所能炮制成的“对联”数; (2)对于一般的 n ? 2 ,求由 2 n 元素集 M 所能炮制成的“对联”数 T (n) .

2010 年全国高中数学联赛 江西省预赛试题答案
1.-2 n(n ? 1)(n ? 2) 2. 3
? 3? 3. ?0, ? ? 3 ?

4. 4 5 5.
2 4

6. 8 3 7.
8 9!

8. {8,9,10,12},{7,9,11,12},{6,10,11,12} 9.思路:取 AB 中点 E, A1B 中点 F,可证 PEBF 为菱形; 证明角 MFP=角 PEN; 再证角 PNE=角 MPF; 然后证角 MPN 为直角 10.关键步骤:设 P 点坐标 ( x0 , y0 ) ,易的 OMPN 四点共圆,此圆方程减圆 O 方 程得直线 MN 方程 x0 x ? y0 y ? b2 11.(1)60;
1 n ?1 ? 1 1 1 (2) T (n) ? C2 (其中 Dn = n !?1 ? ? ? ? n ?1 ? Dn ? n ! 2 ? 1! 2! 3!

(?1) n

1? ?) n! ?


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