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浙江省杭州二中2016届高三上学期第一次月考数学理试题


杭州二中 2015-2016 学年高三年级第一次月考数学试题
一、选择题: 1.已知集合 A ? {x x 2 ? x ? 2 ? 0}, B ? {? tan? ? 0} ,则 A ? B ? ( (A) ?? 1,2? (B) ?0,1? )

(C)

? ?? 0, ? ? ? 2?

(D)

?? ? ? 1, ? ? 2? ?

1 1 ? x ? , x ? [0, ) ? ? 2 2 1 2.已知 f ( x) ? ? ,定义 f n ( x) ? f ( f n?1( x )) ,其中 f1 (x) ? f (x) 则 f 2015 ( ) ? ( 5 ?2(1 ? x), x ? [ 1 ,1] ? 2 ?
(A)

)

9 10

(B)

4 5

(C)

7 10

(D)

3 5


3. 已知 f ( x) ? (A) ? 2 tan ?

? 1? x , 若? ? ( , ? ), 则化简 f (sin ? ) ? f (? sin ? ) 的结果是( 2 1? x
(B) 2 tan ? (C) ?

2 tan ?

(D)

2 tan ?


4. 函数 y = A sin( ωx + φ) + B 的图象的一部分如图所示,则它的一个解析式是(

3 6 9? 3 sin( x ? )? 2 5 10 2 3 6 9π )?3 (B) y ? ? sin( x ? 2 5 10
(A) y ? ? (C) y =

3 6 9π 3 sin( x + ) + 2 5 10 2
3 6 9π sin( x ? ) ? 3 2 5 10
)
x

(D) y ? ?

5.在下面给出的四组函数中,仅通过平移就可以使组内的两个函数的图象完全相互重合的有 ( ⑴ y?x
2

与 y ? x ? 2 x;
2

⑵ y ? log 2 x 与 y ? 3 ? 2log 4 x; ⑶ y ? 2

x

与 y ? 3 ? 2 ? 1;

⑷ y ? sin x ? cos x 与 y ? (A)1 组 (B) 2 组

cos 2 x ; sin x ? cos x
(C) 3 组 (D) 4 组 )

6.已知 f (x) ? lg x ,且 0 ? a ? b ? c ,若 f (b) ? f (a) ? f (c) ,则下列一定成立的是 ( (A) a ? 1, b ? 1 且 c ? 1
a

(B) 0 ? a ? 1, b ? 1 且 c ? 1
a a b

(C) b ? 1, c ? 1 )

(D) c ? 1 且

1 1 ? a ? 1,a ? b ? c a

7.若实数 a , b 满足: 3 + 4 + 5 = 6 ,则“ a > b ”是“ a > 3 ”的( (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C) 充要条件

(D)既不充分也不必要条件

8.非空集合 M = {x f ( x) = 0} , N ={x f ( f ( x)) = 0} ,若 M = N ,则存在实数 a 使函数 f ( x ) 可以是( ) (A) f ( x) ? x 2 ? x ? a (B) f ( x) ? ax2 ? x ? 1 (C) f ( x ) = sin x + a cos x (D) f ( x ) = a sin x + cos x 二、填空题:本大题有 7 小题, 9-12 题每题 6 分,13-15 题每题 4 分,共 36 分.把答案填在答题卷的相应位置.

A ? B ? {a ? b a ? A, b ? B} , A+ B = {1,2,3,4,5,6,7}, 9. 对于非空数集 A, B , 我们定义: 若 A ? {?1,0,1} ,
则元素个数最少的集合 B = ▲ ;满足条件的集合 B 有 ▲ 个 10. 已知 f ( x ) 是 R 上的奇函数,对任意 x ? R ,均有 f ( x + 2) = f ( x ) ,且 x ? (0,1) 时, f ( x) ? x2 ,则

f(

2015 )= 2



; f (2015 )=
2

▲ ▲ ; f ( x)

11.若幂函数 f ( x) ? x m

?2m?3

(m ? N ) 的图象与坐标轴不相交,且关于原点对称,则 m =

的单调减区间为 ▲ 12. 已知 f ( x) 是定义在 D 上的函数 , 若存在区间 [m, n] ? D , 使函数 f ( x) 在 [ m, n ] 上的值域恰为

[ km, kn] ,则称函数 f ( x) 是 k 型函数. 若函数 y ? ? x 2 ? x 是 3 型函数, 则 m ?

1 2



,n ?



13. 若 f ( x) ? loga ( x 2 ? 2ax) 在 (1,3) 上是减函数,则实数 a 的取值范围为 14. 若 a > b > 0 , (a ? b) 2 ? a 3b 3 ,则 +



1 a

1 的最小值为 b



2 15. 已知函数 f ( x) ? x ? 2ax ? b , 若对任意 t ? (1,2) ,f (2t ? ) ? f ( ? t ) 恒成立, 则 a 的范围是

1 t

2 t



三.解答题:本大题共 5 小题,满分 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本题满分 14 分)已知:集合 A ? {x

ax ? 6 4x ? b ? 0} , B ? {x ? 1} ,是否存在实数 a , b 使 x ?1 x?3

A∪B ? R, A ? B ? ? 同时成立?若存在,求 a , b 的值;若不存在,请说明理由.

? x 2 ? ax ? 1 x ? a ? 17.(本题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? ? x . x?a x?a ? ?4 ? 4 ? 2
(Ⅰ)若 x ? a 时, f ( x) ?1 恒成立,求 a 的取值范围; (Ⅱ)若 a ? ?4 时,函数 f ( x ) 在实数集 R 上有最小值,求实数 a 的取值范围.

18.(本题满分 15 分)已知函数 f ( x ) ? 4 sin( x ? (Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)求证:{x ? N f ( ) ? } 是无限集.

π ) cos x , x ∈ R 6

x 2

3 5

19.(本题满分 15 分)已知实数 x, y 满足: x 2 ? 2 3xy ? y 2 ? 1 , (Ⅰ)求 3x + y 的取值范围; (Ⅱ)求 x + y 的最小值.
2 2

20.(本题满分 15 分)二次函数 f ( x) = ax + bx+ c ,
2

(Ⅰ)若 a = 2 ,当 x ? [?1,3] 时, f ( x ) 最大值不大于 7 ,求 b + c 的最大值; (Ⅱ)当 f ( x) ? 1对 x ? [?1,1] 恒成立时,都有 ax ? b ? M 对 x ? [?1,1] 恒成立,求 M 的最小值.

杭州二中 2015 学年高三年级第一次月考数学答案 一、 选择题: BAAC CDCC 二、 填空题:
(9) {2,4,6} , {2,3,6} , {2,5,6} ;7 (11) 0,2 ; (??, 0), (0,??) (13) (0, ] 三、解答题: 16.解:由 A∪B ? R, A ? B ? ? ,得 A, B 互为补集 得: ?R A ? {x (12) ? 4 ; 0 (15) (?? ,1] ? [ ,?? ) (10) ?

1 ;1 4

1 2

(14) 2

5 4

x ?1 3 x ? ( b ?3) ? 0} ?{ x ?0} ? B ax ? 6 x?3

所以方程: ( x +1)(ax + 6) = 0 与方程: ( x ? 3)(3x ? b ? 3) ? 0 为同解方程 将 x ? ?3 , x ? ?1 分别代入上述方程,得: a = 2,b = 6 。 (经检验满足条件) 17.解: (1)∵ x ? a 时, f ( x) ? 4 - 4 ?2
x x- a
x a ,∴令 t ? 2 ,则有 0 ? t ? 2 ,

2 当 x ? a 时, f ( x) ?1 恒成立, 转化为 t ? 4 ?

4 1 t 1 a ?1, 即 a ? t ? 在 t ? (0, 2 ) 上恒成立, 令 p (t ) ? t ? , a 2 t 2 t 4 1 t ? (0, 2a ) ,显然 p(t ) 在 (0, 2a ) 上单调递增,∴ a ? 2 a ? a ,∴ 2a ? 5 ,解得 a ? log2 5 ; 2 2
2

a2 a? a2 ? (2)当 x ? a 时, f (x) ? x ?ax ? 1 ,即 f ( x) ? ? x ? ? ?1 ? +1- , 4 2? 4 ?
2



a ? a 时,即 a ? 0 时, f (x) min ? f (a) ?1 ; 2
a a2 a ? a 时,即 ?4 ? a ? 0 , f ( x) min ? f ( ) ? 1 ? , 2 4 2
x x- a
2 x a ,令 t ? 2 , t ? (0, 2 ) ,则 h(t ) ? t ?



当 x ? a 时, f ( x) ? 4 - 4 ?2 当

4 2 4 t ? (t ? a ) 2 ? a , a 2 2 4

2 4 2 1 ? 2a ,即 a ? 时, h(t ) min ? h( a ) ? ? a ; a 2 4 2 2 2 1 a a 当 a ? 2a ,即 a ? 时, h (t ) 在 (0, 2 ) 上单调递减, h(t ) ? (4 ? 4,0) ,无最小值, 2 2 4 1 4 综合 x ? a 与 x ? a ,∴当 a ? 时,1 ? ? a ,函数 f ( x ) min ? ? a , 4 2 4

a2 1 a a 即:当 0 ? a ? 时, 4 ? 4 ? 0 ? 1 ,函数 f ( x ) 无最小值,当 ?4 ? a ? 0 时, 4 ? 4 ? ?3 ? 1? ,函数 2 4
f ( x) 无最小值,综上所述,当 a ?
18(1)解:

1 时,函数 f ( x ) 有最小值. 2

π 3 1 f ( x) ? 4sin( x ? ) cos x ? 4( sin x ? cos x) cos x ? 2 3 sin x cos x ? 2cos 2 x 6 2 2
π ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? 2sin(2 x ? ) ? 1 6
由: ?

?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
6

?

π π π ? 2kπ 解得: f ( x ) 的单调增区间为: [- + kπ, + kπ ], k ∈ Z 6 3 2

由:

π 5π π π 3π ? 2kπ ≤2 x ? ≤ ? 2kπ 解得: f ( x ) 的单调增区间为: [ + kπ, + kπ], k ∈ Z 3 6 2 6 2 x 2 3 π 4 化简得: sin( x - ) > , 5 6 5

(2)证明:由 f ( ) >

令 sin θ =

4 π π 4 3 , θ ∈ (0, ) ,又因为 < ,故 θ ∈ (0, ) 5 2 3 5 2

解得: x ? (? ?

?
6

? 2k? , ? ? ? ?

?
6

? 2k? ), k ? Z 2? ? ? ? 1 ,所以每一个区间内均至少有一个整数 3 3

由于:对?k ,区间长度: π ? 2θ ? ? ? 故{x ? N f ( ) ? } 是无限集.

x 2

3 5

19.解:(1)令 t = 3x + y ,则 y ? t ? 3x 代入 x 2 ? 2 3xy ? y 2 ? 1 , 化简得: 8x ? 4 3tx ? 1 ? t ? 0
2 2

由: ? ? (4 3t ) 2 ? 32(1 ? t 2 ) ? 0 解得: t ? 2
2

故 3x + y 的取值范围是: (-?, ? 2 ] ? [ 2, ? ?) (2)令 x + y = r ,则 x = r cos θ, y = r sin θ , θ ∈ R ,代入 x 2 ? 2 3xy ? y 2 ? 1
2 2 2

得: r 2 (cos 2 ? ? 2 3 sin ? cos ? ? sin 2 ? ) ? 1 化简得: r ?
2

1 π 2 sin( 2θ ? ) 6

?

1 2

故 ( x + y ) min = r
2 2

2

min

=

6 2 1 6 2 ,y ?? ( 当且仅当 x = 或x ? ? 取到) ,y= 4 4 2 4 4

20.解:(1) f ( x) ? 2 x 2 ? bx ? c, x ? [?1 , 3] , f ( x) ? 7 恒成立,即 f ( x) max ? 7 (i)当 ?

b ? 1 ,即 b ≥-4 时: f ( x) max ? f (3) ? 18 ? 3b ? c ? 7 ,得 3b ? c ? ?11 4

故 b ? c ? (3b ? c) ? 2(?b) ? ?11? 8 ? ?3 (ii)当 ?

b ? 1 ,即 b ? ?4 时: f ( x) max ? f (?1) ? 2 ? b ? c ≤7 ,得 ? b ? c ≤5 4

故 b ? c ? (?b ? c) ? 2(b) ≤5 ? 8 ? ?3 综上: (b ? c) max ? ?3 ,当且仅当 b ? ?4, c ? 1 时取到。

x ?1 x ?1 x ?1 x ?1 |,| |? 1 ,故: | f ( ) |? 1, | f ( ) |? 1, 2 2 2 2 x ?1 x ?1 x ?1 x ?1 )? f( ) |?| f ( )|?| f( ) |? 1 ? 1 ? 2, 所以 ax+ b = | f ( 2 2 2 2 故M ? 2.
(2)当 x ? 1 |时, | 又取 f ( x) ? 2x 2 ? 1 则 2 x max = 2 ,所以 M 的最小值为 2 。

20.解:(Ⅰ) a = 2 ,当 x ? [?1,3] 时, f ( x ) 最大值不大于 7 ,则

? f (?1) ? 7 ??b ? c ? 5 1 ?? b ? c ? [(?b ? c) ? (3b ? c)] ? ?3 ? , 2 ? f (3) ? 7 ?3b ? c ? ?11 ,
此时b ? ?4, c ?1 满足题意,故 b + c 的最大值为-3; (2)考虑 x=-1,x=0 和 x=1 的情形,则

??1 ? f (?1) ? a ? b ? c ? 1 ?a ? f (?1) ? f (1) ? f (0) ? ? ? 2 ?? ??1 ? f (0) ? c ? 1 f (1) ? f (?1) ??1 ? f (1) ? a ? b ? c ? 1 ?b ? ? ? , ? 2

ax ? b ? [
? max{[

f (?1) ? f (1) f (1) ? f (?1) ? f (0)]x ? 2 2
f (?1) ? f (1) f (1) ? f (?1) f (?1) ? f (1) f (1) ? f (?1) ? f (0)] ?1 ? ,[ ? f (0)] ? (?1) ? } 2 2 2 2

? max{ f (1) ? f (0) , f (?1) ? f (0)}=2,
即 M ? 2 .又取 f ( x) ? 2x ? 1 则 2 x max = 2 ,所以 M 的最小值为 2 .
2


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