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高三高考数学三角函数复习


课题

授课教师 万金圣

一、知识网络 二、学法指导 三、例题分析

宏观思路 微观直觉

四、基础练习
五、小结及作业
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重点:让学生掌握三角函数的 图象;在理解各组三角 公式的基础上掌握并熟 练运用三角公式。

难点:两个变换,“图象变换” 和“三角变换”

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同角三角函数的基本关系 诱导公式 定义 单位圆与三角函数线 图象性质

形如y=Asin(ωx+φ)+B图象 y=asinα+bcosα的 最值 Cα±β Sα±β、T α±β 积化和差公式 和差化积公式

正弦定理、 余弦定理、 面积公式

S2α= C2α= T2α=

Sα/2= Cα/2= Tα/2=

万能公式

降幂公式

一、同角三角函数的八大关 系
sin α cscα ? 1 cosα secα ? 1 tanα cotα ? 1 sin α ? cosα tanα cosα ? sin α cotα sin 2α ? cos 2α ? 1 sec 2α ? tan 2α ? 1 csc 2α ? cot 2α ? 1

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二、两组诱导公式: ①2kπ±α,π±α的三角函数值等于α的同 名三角函数值,前面加上把α看成锐角时原函数 的符号. ②π/2±α,3π/2±α的三角函数值等于α 的余角的三角函数值,前面加上把α看成锐角时 原函数的符号.

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三、一般函数图象变换
位 移 变 换 上下 平移
向上(b>0)或向下(b<0)移︱b︱单位

y=f(x)+b图象

基 本 变 换 伸 缩 变 换

左右 平移 上下 伸缩 y=f(x) 图 象

向左(φ>0)或向右(φ<0)移︱φ︱单位

y=f(x+φ) 图 象

点的纵坐标变为原来的A倍 横坐标不变

y=A f(x)图象

左右 伸缩

点的横坐标变为原来的1/ω倍 纵坐标不变

y=f(ωx)图象

返回 例3 返小结

四、记住下列三角公式:
①两角和与差的正弦、余弦、正切 : sin(α ?β ) ? sin α cosβ ? cosα sin β cos( α ?β ) ? cosα cosβ ? sin α sin β tanα ? tanβ tan(α ?β ) ? 1 ? tanα tanβ

天哪 !

②二倍角公式 : 2 tanα sin2α ? 2sin α cosα ; tan 2 α? 2 1 ? tan α cos2 α ? cos 2α ? sin 2α ? 1 ? 2sin 2α ? 2cos 2α ? 1

③降幂公式: 1 ? cos 2 α 1 ? cos 2 α 2 2 cos α ? ; sin α ? 2 2 ④半角公式 :
α 1 ? cosα α 1 ? cosα cos ? ? ; sin ? ? 2 2 2 2 α 1 ? cosα sin α 1 ? cosα tan ? ? ? ? 2 1 ? cosα 1 ? cosα sin α ⑤万能公式 :

α 2α 2 tan 1 ? tan 2 ; cosα ? 2 sin α ? 2α 2α 1 ? tan 1 ? tan 2 2

记 住 啊 !
返回 例5

⑥和差化积与积化和差公式不需记但要会用.

三角解题常规
分析差异
指角的、函数的、运算的差异

宏 观 思 路

寻找联系

利用有关公式,建立差异间关系

促进转化

活用公式,差异转化,矛盾统一

返回返小结

微 观 直 觉

1、以变角为主线,注意配凑和转化; 2、见切割,想化弦;个别情况弦化切; 3、见和差,想化积;见乘积,化和差; 4、见分式,想通分,使分母最简; 5、见平方想降幂,见“1±cosα”想升幂; 6、见sin2α,想拆成2sinαcosα; sinα+sinβ=p 7、见sinα±cosα或 想两边平方或和差化积 cosα+cosβ=q 8、见a sinα+b cosα,想化为

a ? b sin(α ? φ )形式
2 2

9、见cosα·cosβ·cosθ····,先 sin 2α 若不行,则化和差 运用cosα ? ? 2 sinα 2 sin 10、见cosα+cos(α+β) 2 ? +cos(α+2 β )····, 想乘 2 sin 返回返小结 2

例1(90年,上海) α α 设α 角是第二象限且满足| cos |? ? cos , 2 2 α 则 角属于(C ) A.第-象限; B.第二象限; 2 C.第三象限; D.第四象限.
点评: 本题先由α所在象限确定α/2所在象限,再α/2的余弦符号确定结论.

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例2(94年, 全国) π 如果函数y ? sin 2 x ? a cos 2 x 的图像关于直线x ? ? 8 对称,那么a等于( ) A. 2 ; B. ? 2 ; C.1; D. ? 1

2 y ? 1 ? a sin( 2 x ?φ ) 思路:函数y=sin2x+acos2x可化为

π π 解 : 由| sin 2 ? (? ) ? a cos 2 ? (? | ) ? 1? a2 8 8 解得a ? ?1,应选D

要使它的图象关于直线x= -π/8对称,则图象在该处 必是处于波峰或波谷.即函数在x=-π/8时取得最大、 小值.

例3( 2000年,全国 ) 已知函数y ? 3 sin x ? cos x,x ? R ①当函数y取得最大值时,求自变量 x的集合; ②该函数图象可由 y ? sin x,x ? R的图象经过怎样
复习

的平移和伸缩变换而得 到?
解题步骤:

3.指出变换过程:

π 1.化函数为y ? 2 sin( x ? ),x ? R ? ? ? ?3分 6 π 2.y取最大值时得 x的集合为 {x|x ? 2kπ ? , k ? Z} ? ? ? 6分 3
π π ①将y ? sin x图象向左平移 ,得到y ? sin( x ? )图象 ? ? ? 9分 6 6 ②将所得图象上所有点 的横坐标不变,把纵坐 标

伸长到原来的 2倍 , 得到y ? 2 sin( x ? π / 6)的图象. ? ? ? 12分

例4(94年,上海) 3 π 1 已知 sin α ? ,α ? ( ,π ), tan(π -β ) ? , 5 2 2 求 tan(α -2 β )值.

解题步骤 : ①由sin α 值求出 cosα 值,得出 tanα 值; ②由 tan(π ?β )值,求出 tanβ 值,再求 tan 2 β 值; ③再利用差角公式求出 tan(α ? 2 β )值.
答案:tan(α-2β)=7/24.

例5(1995年, 全国)
2 2

求 sin 20? ? cos 50? ? sin 20? cos 50?值 .
基本思路:
复习
2

1 ②利用积化和差公式 sinα cosβ ? [sin(α ?β ) ? sin(α ?β )] 2

1 ? cos 2 α 1 ? cos 2 α 2 ①利用降幂公式 sin α ? , cos α ? 2 2

α ?β α ?β ③利用和差化积公式 cosα ? cosβ ? ?2 sin sin 2 2 3 最后结果: 原式 ? 4

例6(1996年, 全国) 已知△ABC中,三内角为 A , B, C,满足 1 1 2 A?C A ? C ? 2B , ? ?? ,求 cos 的值. cos A cos C cos B 2 1 解 : 由题设有B ? 60?, A ? C ? 120?,则cos B ? . 2 1 1 ?有 ? ? ?2 2, cos A cos C 即 cos A ? cos C ? ?2 2 cos A cos C A?C A?C 即2 cos cos ? ? 2[cos(A ? C) ? cos(A ? C)] 2 2 A?C 2 ? cos ? ? 2 cos(A ? C) 2 2 A?C 2 A?C 2 2 A?C ? . ? cos ? ? 2 ( 2 cos ? 1) ? cos 2 2 2 2 2

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一、选择题: 基础练习 1、若A=21°,B=24°,则(1+tanA)(1+tanB 的值是( B ) (A)1 (B)2 (C)1+ 2 (D)2(tanA+tanB 2、若270°<α <360°,则 1 ? 1 1 ? 1 cos 2? 2 2 2 2 等于( A ) (A)-cos(α /2) (B) cos(α /2) (C) sin(α /2) (D) -sin(α /2) 3、在△ABC中,a=3,b=4,外接圆直径 为5,则△ABC的面积为( C ) (A)6 (B)42/25 (C)6或42/ 25 (D)5

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cosα ? sin α 2、设 cosα ? sinα ? 4 ? 3

二、填空题: 1 3 4 ? ?________ 1、 sin 10? cos 10?

4? 3 则ctg(π /4+α )=___________
4 3?3 α π 10 3、已知 tan ? 2,则 cos( ?α ) ? __________ 2 3

三、解答题: 1、已知α 、β 为锐角,且cosα 11 ? cos(α +β )= 14 ,求β 。
解 由条件可得sin ? ? 1 2 4 3 1?( ) ? , 7 7 又0 ? ? ? ? ? ? , 故 sin( ? ? ? ) ?

1 = 7



从而得 cos ? ? cos[(? ? ? ) ? ? ]

11 2 5 3 1 ? (? ) ? . 14 14

? cos(? ? ? ) cos ? ? sin( ? ? ? ) sin ? 11 1 5 3 4 3 1 ? (? ) ? ? ? ? 14 7 14 7 2

β为锐角,故?=?/3

2、已知sinα ? sinβ ? sinφ ? 0, cosα ? cosβ ? cosφ ? 0 且0 ? α ? β ? φ ? 2π , 求 β ?α 值. sinα ? sinβ ? ? sinφ 解 : 由条件有 cosα ? cosβ ? ? cosφ 两边平方相加得:2 ? 2(sinα sinβ ? cosα cosβ ) ? 1 1 ? cos( β ?α ) ? ? 又0 ? α ? β ? 2π , 2 2π 4π ?β ?α ? 或 β ?α ? 3 3 2π 4π 同理 φ ?α ? 或 φ ?α ? 3 3 但0 ? α ? β ? φ ? 2π , 2π ?β ?α ? . 3

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本课小结:由学生先根据 自己所掌握的口述,然后 再由教师总结:

1、三角函数的图象变换
2、三角变换的使用技巧 作业: 略

祝同学们月考 取得好成绩

再 见 !

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