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四川成都市六校2015-2016学年高一上学期期中联考数学试题解析


成都市“六校联考”高 2015 级第一学期期中试题 数学 (全卷满分: 150 分 第I卷 完成时间: 120 分钟) 60 分)
[来源:学科网 ZXXK]

(选择题

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小 题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.
1.设集合 U ? ?1,2,3,4,5? , A ? ?1,2,3?, B ? ?2,5? ,则 A ? (CU B) =( A. ) D. ?1,3?

?2?

B.

?2,3?

C.

?3?

【答案】 【解析】 试题分析:由补集定义可得: CU B ? ?1,3, 4? ,再由交集运算可得: A ? ?CU B? ? ?1,3? ,故选择 D 考点:补集,交集运算学科网 2. 设集合 A ? ?x | 0 ? x ? 6? , B ? ? y | 0 ? y ? 2? ,则 f:A→B 是映射的是( A. f : x ? y ? 3x C. f : x ? y ? 【答案】B 【解析】 试题分析:根据映射定义 A 中的元素都有唯一的元素与之对应,可得 B 满足,故选择 B 考点:映射定义 3.下列四组函数中,表示同一函数的是( A. f ( x) ? x , g ( x) ? ) B. f ( x) ? lg x , g ( x) ? 2lg x
2



B. f : x ? y ?

1 x 3

1 x 2

D. f : x ? y ? x

x2

x2 ?1 , g ( x) ? x ? 1 C. f ( x) ? x ?1
【答案】A 【解析】

D.

试题分析:B,C 中定义域不同,D 中定义域与对应法则都不同,故选择 A 考点:判断同一函数

4.若偶函数 f ( x ) 在 ? ??, ?1? 上是增函数,则下列关系式中成立的是( A. f ( ? ) ? f ( ?1) ? f (2) C. f (2) ? f ( ?1) ? f ( ? ) 【答案】D 【解析】

)

3 2

3 2

3 2 3 D. f (2) ? f ( ? ) ? f ( ?1) 2
B. f ( ?1) ? f (? ) ? f (2)

试题分析:因为 f ( x ) 在 ? ??, ?1? 上是增函数且为偶函数,所以可得 f ( x ) 在 ?1, ?? ? 上为减函数,所以

? 3? ?3? f ? ?1? ? f ?1? ? f ? ? ? ? f ? ? ? f ? 2 ? ,故选择 D ? 2? ?2?
考点:函数的奇偶性单调性 5.已知幂函数 y ? x 的图象过点 (2, 2) ,则 f (4) 的值是( A.
?

) D. 4

1 2

B. 1

C. 2

【答案】C 【解析】 试题分析:将点 (2, 2) 代入幂函数可得 f ? 2 ? ? 2 ?
?

2 解得 ? ?

1 1 ,即幂函数为 f ? x ? ? x 2 ,可得 2

f ? 4 ? ? 4 2 ? 2 ,故选择 C
考点:幂函数学科网

1

6. 已知函数 f ? x ? ? ? A. 3 【答案】B 【解析】

? x ? 1, x ? 1 ,则 f ( f (2)) ? ( ?? x ? 3, x ? 1
B. 2 C. 1

) D. 0

试题分析:因为 f ? 2? ? ?2 ? 3 ? 1,所以 f 考点:分段函数

? f ? 2?? ? f ?1? ? 1?1 ? 2 ,故选择 B


[来源:学科网]

7.已知 a ? log 2 0.3, b ? 20.1, c ? 0.21.3 ,则 a , b, c 的大小关系是( A. a ? b ? c C. a ? c ? b B. c ? a ? b D. b ? c ? a

【答案】C 【解析】 试题分析:因为 a ? 0, b ? 1,0 ? c ? 1 ,所以可得 a ? c ? b ,故选择 C 考点:比较大小 8.函数 y ? 1 ?

1 的图象是( x ?1

)

【答案】A 【解析】 试题分析:函数的定义域为 x x ? 1 排除 C,D,函数 y ? 1 ? 平移一个单位得到,所以 A 正确,故选择 A 考点:函数图象的平移 9.已知函数 f ( x) ? log 2 ( x 2 ? ax ? 3a ) 在区间[2,+ ? )上是增函数,则 a 的取值范围是( A. ? ??, 4? 【答案】C 【解析】 B. )

?

?

1 1 是 由 y ? 向右平移一个单位,再向上 x ?1 x

? ??, 2?

C.

? ?4, 4?

D.

? ?4, 2?

? ?) 上是增函数,内函数 y ? x2 ? ax ? 3a 在 试题分析:使得函数 f ( x) ? log 2 ( x 2 ? ax ? 3a ) 在区间 [2,

?a ? ?2 [2, ? ?) 上单调递增且恒大与零,即满足 ? 2 解得: a ? ? ?4, 4? ,故选择 C 2 ?2 ? 2a ? 3a ? 0 ?
考点:复合函数的单调性学科网

10. 已知函数 f ( x) 的定义域为 [ 0,2 ] ,则 A. { x 0 ? x ? 4} C. { x 0 ? x ? 1} 【答案】D

f (2 x) 的定义域为( x



B. { x 0 ? x ? 4} D. { x 0 ? x ? 1}

【解析】 试题分析:函数

?0 ? 2 x ? 2 f (2 x) ? 0 ? x ? 1,故选择 D 的定义域满足: ? x ?x ? 0

考点:求函数定义域 11.对于函数 f ( x ) 的定义域中任意的 x1 、 x2 ( x1 ? x2 ) ,有如下结论:① f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; ② f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ;③

x ?x f ( x1 ) ? f ( x2 ) f ( x1 ) ? f ( x2 ) . ? 0 ;④ f ( 1 2 ) ? 2 2 x1 ? x2
)个 C. 1 D. 0

当 f ( x) ? 2x 时,上述结论中正确的有( A. 3 【答案】A 【解析】 试题分析:因为 f ? x1 ? . f ? x2 ? ? 2 1.2 2 ? 2 1
x x

B. 2

x ? x2

? f ? x1 ? x2 ? ,所以①正确②错误;因为 f ( x) ? 2x 为增函

数,所以有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 成立,即③正确;因为函数 f ( x) ? 2x 的图象为向下凸,所以满足 x1 ? x2

f(

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? ,即④正确,故选择 A 2 2

考点:指数运算以及指数函数的性质

?1,x ? 0 ? x ? 0 ,若函数 f ? x ? 在 R 上单调递增, g ( x) ? f ( x) ? f (ax)(a ? 1) ,则 12. 已知符号函数 sgn x ? ?0, ? ?1,x ? 0 ?
( ) B. sgn ? g ( x)? ? sgn ? f ( x)? D. sgn ? g( x) ? ? ?sgn x A. sgn ? g ( x)? ? sgn x C. sgn ? g ( x)? ? ? sgn ? f ( x)? 【答案】D 【解析】 试题分析:根据函数 f ? x ? 在 R 上单调递增,不妨设 f ? x ? ? x, a ? 2 ,则 g ( x) ? f ( x) ? f (ax) ? ? x ,

sgn ? ? g ? x ?? ? ? ? sgn x , sgn ? ? f ? x ?? ? ? sgn x ,所以 A,B 不正确,对于 C,令 f ? x ? ? x ? 1, a ? 2 ,则

?1, x ? ?1 ? g ( x) ? f ( x) ? f (ax) ? ? x ? 1, sgn ? ? f ? x ?? ? ? sgn ? x ? 1? ? ?0, x ? ?1 , ??1, x ? ?1 ? ?1, x ? ?1 ??1, x ? ?1 ? ? sgn ? ? g ? x ?? ? ? sgn ? ? x ? 1? ? ?0, x ? ?1 , ? sgn ? ? f ? x ?? ? ? ? sgn ? x ? 1? ? ?0, x ? ?1 所以 C 不正确 ,故 ??1, x ? ?1 ?1, x ? ?1 ? ?
选择 D 考点:分段函数,特殊值法

第 II 卷

(非选择题

共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分.
13.函数 y ?

2 的定义域是 x ?1



.

【答案】 ? ?1, ?? ? 【解析】 试题分析:函数满足 x ? 1 ? 0 ,即函数定义域为 ? ?1, ?? ? 考点:求函数定义域 14. 设 M ? ?2,4? , N ? ?a, b? ,若 M ? N ,则 log a b = 【答案】 2或 【解析】 试题分析:由题意可得 ? ▲ .

1 2

?a ? 2 ?a ? 4 1 1 或? ,此时 log 2 4 ? 2或log 4 2 ? ,故答案为 2或 2 2 ?b ? 4 ?b ? 2

考点:1.集合相等;2.对数性质 15. 函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 x ? x ? 1 ,则当 x ? 0 ,
2

f ( x) ?





【答案】 ?2 x 2 ? x ? 1 【解析】 试题分析:设 x ? 0 ,则 ? x ? 0 ,因为函数为奇函数,所以有

f ? x ? ? ? f ? ? x ? ? ? ? 2 x 2 ? x ? 1? ? ?2 x 2 ? x ? 1 ,故答案为 f ? x ? ? ?2x2 ? x ?1

考点:利用奇偶性求函数解析式 16. 给出定义:若 m ?

1 1 ? x ? m ? ( 其中 m 为整数 ) ,则 m 叫做离实数 x 最近的整数,记作 ? x? ,即 2 2

?x? ? m .

在此基础上给出下列关于函数 f ( x) ? x ? ?x? 的四个命题:

①函数 y ? f ( x) 的定义域是 R ,值域是 ( ? ②函数 y ? f ( x) 的图像关于 y 轴对称;

1 1 , ]; 2 2

③函数 y ? f ( x) 的图像关于坐标原点对称; ④ 函数 y ? f ( x) 在 ( ? 则其中正确命题是 【答案】①④ 【解析】 试题分析:由题意可得: ? x? ? ▲

1 1 , ] 上是增函数; 2 2
(填序号) .

1 1 ? 1 1? ? x ? ? x? ? ,则有 f ( x) ? x ? ? x? ? ? ? , ? ,则命题①正确;函数 2 2 ? 2 2?
1 1 2 2

f ( x) ? x ? ?x? 为分段函数,且在 (? , ] 上是增函数,所以命题④正确,其中正确命题是①④
考点:考查学生对新定义的理解

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (本小题满分 11 分) 已知全集为 R ,集合 A ? {x | 2 ? x ? 4} , B ? {x | 3x ? 7 ? 8 ? 2 x} , C ? x x ? a (1)求 A ? B ;(2)求 A ? (CR B) ;(3)若 A ? C ,求 a 的取值范围. 【答案】 (1) ?x | 3 ? x ? 4? ; (2) ?x | x ? 4? ; (3) ? 4, ?? ? 【解析】 试题分析: (1)根据已知可得 B ? ?x | x ? 3? ,由交集运算可得; (2)根据集合的补集,并集运算可得到; (3)因为 A ? C ,根据数轴可以得到 a ? 4 试题解析: (1) ? B ? ?x | 3x ? 7 ? 8 ? 2x? ? ?x | x ? 3?,

?

?

A ? B ? ?x 2 ? x ? 4?? ?x x ? 3? ? ?x | 3 ? x ? 4? .?????????4 分学科网
[来源:学+ 科+网]

(2)?CR B ? ?x | x ? 3?

? A ? (CR B) ? ?x | 2 ? x ? 4? ??x | x ? 3? ? ?x | x ? 4? ??????????8 分
(3)?集合A=?x | 2 ? x ? 4? , C ? ?x | x ? a? 且 A ? C ,? a ? 4

? a 的取值范围是 ? 4, ?? ? ??????????????????????????11 分
考点:集合的运算 18. (本小题满分 11 分) (1)计算 log2.5 6.25 ? lg0.01 ? ln e ? 2 (2)计算 64
? 1 3

1?log2 3

? (?

4 3 2 0 ) ? (2) ?3 3 ? 16?0.75 2

?

?

【答案】 (1) ? 【解析】

11 9 ; (2) ? 2 16

试题分析: (1)根据 log 2.5 6.25 ? log 2.5 2.5 ? 2, lg 0.01 ? lg10
2

?2

1 ? ?2, ln e ? , 2log2 6 ? 6 ,代入化简求 2

得; (2)根据 64

?

1 3

3 4 1 3 2 0 1 1 ?3 3 ?4 ?0.75 4 ?4 ? ? 4?1 ? ,(? ) ? 1, ? (2) ? 2 ? ,16 ? 2 ? 2?3 ? ,化简可求得 ? ? ? ? 4 2 16 8

试题解析:(1)原式= 2 ? 2 ? =?

1 ? 2?3 2

???????????????????????4 分

11 ; ????????????????????????5 分 2 1 1 1 ?1? ? (2)原式= ?????????????????????????9 分 4 16 8 9 ?? ?????????????????????????????11 分 16
考点:指数对数的运算 19. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? ?

? x 2 ? bx ? c, (?4 ? x ? 0) ,若 f (?4) ? f (0), f (?2) ? ?1, ? x ? 3, ( x ? 0) ?

4 3 2 1

y

(1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)画出函数 f ( x) 的图象,并指出函数的定义域、值域、单调区间.

-4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 -4

1

2

3

4

x

【答案】 (1) f ( x) ? ?

? x 2 ? 4 x ? 3,?4 ? x ? 0 ;(2) 函数的定义域 ?? 4,??? 值域: ?? ?,3? ,单调增区间: ? x ? 3, x ? 0 ?

(?2, 0)
【解析】 试题分析:(1)因为 f (?4) ? f (0) ,而 f ? 0? ? 3 ,代入 ?4 ? x ? 0 对应的解析式,可得 16 ? 4b ? c ? 3 , 再结合 f (?2) ? ?1, 即可求得; (2)根据(1)可在坐标系下画出该函数图象,根据图象可得其值域以及单 调区间 试题解析: (1)解:? f (?4) ? f (0), f (?2) ? ?1,

? 16 ? 4b ? c ? 3 , 4 ? 2b ? c ? ?1
解得: b ? 4, c ? 3

4 3 2

y

? x 2 ? 4 x ? 3,?4 ? x ? 0 ? f ( x) ? ? ? x ? 3, x ? 0 ?

??????????4 分

1 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

(2)图象见右所示????????????????8 分 由图象可知:函数的定义域: ?? 4,??? 值域: ?? ?,3? 学科网

单调增区间: (?2, 0)

4 3 2 11 2 3 4

x

单调减区间: (?4, ?2), (0, ??) ??????????????????????????????12 分 考点:1.求函数解析式;2.根据图象求函数的值域以及单调区间 20. (本小题满分 12 分) 甲厂根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律:每生产产品 x (百台) ,其总成本为 ,其中固定成本为 3 万元,并且每生产 1 百台的生产成本为 1 万元(总成本 ? 固定成本+ G ( x) (万元)

??0.4 x 2 ? 4.2 x ? 0.2 (0 ? x ? 5) 生产成本) ,销售收入 R ( x) ? ? ,假定该产品产销平衡(即生产的产品   ( x ? 5) ?11.2      
都能卖掉) ,根据上述统计规律,请完成下列问题 (1)写出利润函数 y ? f ( x) 的解析式(利润 ? 销售收入—总成本) ; (2)甲厂生产多少台新产品时,可使盈利最多?

【答案】 (1) f ( x) = ? 【解析】

??0.4 x2 ? 3.2 x ? 2.8(0≤x≤5) ? 8.2 ? x( x ? 5)

; (2)4 百台

试题分析: (1)由题意得总成本为 G( x) ? 3 ? x ,再根据利润=销售收入-总成本求 得; (2)求得利润函数的 每一段上的最大值,其中最大的为该函数的最大值 试题解析: (1)由题意得 G(x)=3+x. ????????????????????????2 分

??0.4 x2 ? 3.2 x ? 2.8(0≤x≤5) ∴ f ( x) =R(x)-G(x)= ? ????????????? 6 分 ? 8.2 ? x( x ? 5)
(2)当 x >5 时,∵函数 f ( x) 递减, ∴ f ( x) ? 8.2 ? 5 =3.2(万元) ??????????????? 8 分 当 0≤x≤5 时, f ( x) = -0.4(x-4)2+3.6, 当 x=4 时, f ( x) 有最大值为 3.6(万元)??????10 分 答:当工厂生产 4 百台时,可使赢利最大为 3.6(万元) .???????????12 分 考点:1.函数的应用;2.求函数的最值问题 21. (本小题满分 12 分) 设函数 y= f ( x ) 是定义在 ? 0, ?? ? 上的减函数,并且满足 f ( xy) = f ( x ) + f ( y ) , f ( ) ? 1 (1)求 f (1) 的值; (2)若存在实数 m ,使得 f (m) ? 2 ,求 m 的值; (3)若 f ( x ? 2) ? 2 ,求 x 的取值范围. 【答案】 (1) f (1) ? 0 ; (2) 【解析】 试题分析: (1)令 x = y =1 可得到; (2)因为 f ( ) ? 1 ,所以有 f ( ) ? f ( ) ? 1 ? 1 ? 2 ,而

1 3

19 1 ; (3) 2 ? x ? 9 9
1 3

1 3

1 3

1 1 ?1? ?1 1? ?1? f ( ) ? f ( ) ? f ? . ? ? f ? ? 得到; (3)根据(2)可得 f ? x ? 2 ? ? 2 ? f ? ? ,又因为函数在 ? 0, ?? ? 3 3 ?9? ?3 3? ?9?

?x ? 2 ? 0 ? 上是减函数,所以 ? 1 即可得到学科网 x?2? ? 9 ?

试题解析: (1)令 x = y =1 则 f (1) = f (1) + f (1) ∴ f (1) =0 ???????????????????????????????2 分 (2)∵ f ( ) =1

1 3 1 1 1 1 1 ∴ f ( ) = f ( ? ) = f ( ) + f ( ) =2 9 3 3 3 3 1 ∴m= ??? ??????????????????????5 分 9
(3)∵ f ? x ? 2 ? ? 2 ? f ? ?

?1? ?9?

?x ? 2 ? 0 19 ? ∴? ???????????????????5 分 1 则2 ? x ? 9 x?2? ? 9 ?
考点:1.抽象函数求值;2.利用函数的单调性求 x 的范围 22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? log4 (4x ? 1) ? kx ( k ? R )是偶函数. (1)求 k 的值; (2)若函数 y ? f ( x) 的图象与直线 y ? (3)若函数 h( x) ? 4
f ( x )? 1 x 2

1 x ? a 没有交点,求 a 的取值范围; 2

? m ? 2 x ? 1 , x ??0,log2 3? ,是否存在实数 m 使得 h( x) 最小值为 0 ,若存

在,求出 m 的值; 若不存在,请说明理由.
1 【答案】 (1) k ? ? ; (2) ? ??, 0?. (3)存在 m ? ?1 得 h( x) 最小值为 0. 2

【解析】

4- x ? 1 试题分析: (1)根据偶函数定义 f (? x) ? f (? x) 化简可得 2kx ? log4 x , ? 2kx ? ? x 即可求得; (2)即 4 +1

f ? x? ?

1 x ? a 没有解,整理可得方程 a=log4 (4x ? 1) ? x 无解,令 g ( x) ? log4 (4x ? 1) ? x ,则函数 y ? g ( x) 的 2

1 图象与直线 y ? a 无交点,可证明 g ( x) 在 ? ??, ? ? ? 上是单调减函数,又因为 1 ? x ? 1 , 4

1? ? g ( x) ? log4 ? (3) 由题意 h( x) ? 4 x ? m ? 2 x , x ??0,log2 3? ?1 ? x ? ? 0 .求得 g ( x) 的值域即可得到 a 的范围; ? 4 ?
令 t ? 2 ??1,3? ?(t ) ? t ? mt, t ??1.3? ,转化为轴动区间定求二次函数最值的问题,? 开口向上,对称轴
x 2

t??

m m m m ,所以分 ? ? 1, 即m ? ?2 , 1 ? ? ? 3, 即 ?6 ? m ? ?2 , 1 ? ? ? 3, 即 ?6 ? m ? ?2 三种情况 2 2 2 2

讨论求得 试题解析: (1)? f (? x) ? f (? x) , 即 log4 (4? x ? 1) ? kx ? log4 (4x ? 1) ? kx 对于 任意x ? R 恒成立.
-x ? 2kx ? log 4 (4? x ? 1) ? log 4 (4 x ? 1) ? log 4 4 x ? 1 4 +1 ? 2kx ? ? x

?k ??1

2

???????????????????????????? ???3 分

成都市“六校联考”高 2015 级第一学期期中试题 数学参考答案 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分 DBADCB CACDAD 二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分 13.

? ?1, ???

14. 2或

1 2

15. ?2 x 2 ? x ? 1

16. ①④

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分 17. 解: (1) ? B ? ?x | 3x ? 7 ? 8 ? 2x? ? ?x | x ? 3? ,

A ? B ? ?x 2 ? x ? 4?? ?x x ? 3? ? ?x | 3 ? x ? 4? .?????????4 分
(2)?CR B ? ?x | x ? 3?

? A ? (CR B) ? ?x | 2 ? x ? 4? ??x | x ? 3? ? ?x | x ? 4? ??????????8 分
(3)?集合A=?x | 2 ? x ? 4? , C ? ?x | x ? a? 且 A ? C ,? a ? 4

? a 的取值范围是 ? 4, ?? ? ???????????????????????????11
分 18. 解: (1)原式= 2 ? 2 ? 分 =? ?5 分 (2) 原 式 =

1 ? 2?3 2

??????????????????????????4

11 ; 2

???????????????????????????

1 1 1 ?1? ? 4 16 8

??????????????????????????????9 分

??
???11 分

9 16

???????????????????????????????

19. 解: (1)解:? f (?4) ? f (0), f (?2) ? ?1,

? 16 ? 4b ? c ? 3 , 4 ? 2b ? c ? ?1 解得: b ? 4, c ? 3

4 3 2 1

y

? x ? 4 x ? 3,?4 ? x ? 0 ? f ( x) ? ? ? x ? 3, x ? 0 ?
2

??????????4 分

(2)图象见右所示????????????????8 分 由图象可知:函数的定义域: ?? 4,???

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

4 3 2 11 2 3

x

值域: ?? ?,3? 单调增区间: (?2, 0) 单

(?
20.

调 减 区 间 ?????????????????????????????? 12 分 4? , ? 2 ? ) , 解 : ( 1 ) 由 题 意



(


G(x)=3+x. ?????????????????????????????2 分

??0.4 x2 ? 3.2 x ? 2.8(0≤x≤5) ∴ f ( x) =R(x)-G(x)= ? ????????????? 6 分 ? 8.2 ? x( x ? 5) (2)当 x >5 时,∵函数 f ( x) 递减,
∴ f ( x) ? 8.2 ? 5 =3.2(万元) ??????????????? 8 分 当 0≤x≤5 时, f ( x) = -0.4(x-4) +3.6, 当 x=4 时, f ( x) 有最大值为 3.6(万元)??????10 分 答:当工厂生产 4 百台时,可使赢利最大为 3.6(万元) .???????????12 分 21. 解: (1)令 x = y =1 则 f (1) = f (1) + f (1) ∴
[来源:学科网]

2

f (1) =0

????????????????????????????????????2 分 (2)∵ f ( ) =1

1 3 1 1 1 1 1 ∴ f ( ) = f ( ? ) = f ( ) + f ( ) =2 9 3 3 3 3


m=

1 9

?????????????????????????????????5 分 (3)∵ f ? x ? 2 ? ? 2 ? f ? ?

?1? ?9?



?x ? 2 ? 0 ? 1 ? x?2? ? 9 ?



2? x?

19 ?????????????????????????5 分 9
[来源:学.科.网 Z.X.X.K]

22. 解: (1)? f (? x) ? f (? x) ,

即 log4 (4? x ? 1) ? kx ? log4 (4x ? 1) ? kx 对于 任意x ? R 恒成立.
-x ? 2kx ? log 4 (4? x ? 1) ? log 4 (4 x ? 1) ? log 4 4 x ? 1 4 +1 ? 2kx ? ? x

? k ??1
? ???3 分

2

?????????????????????????????????

(2)由题意知方程 log 4 (4 x ? 1) ? 1 x ? 1 x ? a 即方程 a=log4 (4x ? 1) ? x 无解. 2 2 令 g ( x) ? log 4 (4 x ? 1) ? x ,则函数 y ? g ( x) 的图象与直线 y ? a 无 交点. ???????4 分
x 4x ? 1 ? log (1 ? 1 ) ? g ( x) ? log( 4 4 ? 1) ? x ? log 4 4 x x

4

4

? 1 . 任取 x1 、 x2 ? R,且 x1 ? x2 ,则 0 ? 4 x1 ? 4 x2 ,? 1 4 x1 4 x2
1 ? ? g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? log 4 ?1 ? x1 4 ? 1 ? ? ? ? ? log 4 ?1 ? x2 ? ? 0 , 4 ? ? ?

? g ( x) 在 ? ??, ? ? ? 上是单调减函数.

1? ?1 ? 1x ? 1 ,? g ( x) ? log4 ? ?1 ? x ? ? 0 . 4 ? 4 ?

?

a













? ??, 0?.

????????????????????????????? 7 分 (3)由题意 h( x) ? 4 x ? m ? 2 x , x ??0,log2 3? 令 t ? 2 ??1,3?
x

?(t ) ? t 2 ? mt

t ??1.3? ??????????????????????8 分
m 2

? 开口向上,对称轴 t ? ?
当?

m ? 1, 即m ? ?2 , 2

? (t )min ? ? (1) ? 1 ? m ? 0 , m ? ?1
当1 ? ?

m ? 3, 即 ?6 ? m ? ?2 , 2

? (t )min
当?

m m2 ? ? (? ) ? ? ? 0 , m ? 0 (舍去) 2 4

m ? 3 , 即m ? ?6 , 2

? (t )min ? ? (3) ? 9 ? 3m ? 0, m ? ?3 (舍去)
? 存在 m ? ?1 得 h( x) 最小值为 0
????????????????? 12 分


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