北京市丰台区2012-2013届高三上学期期末考试数学理试题(word版)

丰台区 2012～2013 学年度第一学期期末练习 高三数学（理科） 一、选择题：共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项． 1．设全集 U={1，3，5，7}，集合 M={1， a ? 5 }， CU M ? {5，7}，则实数 a 的值为 (A)2 或－8 2．“ x ? 0 ”是“ x ? (B) －2 或－8 (C)

－2 或 8 (D) 2 或 8

1 ? 2 ”的 x
(B) 必要但不充分条件 (D) 既不充分也不必要条件

(A) 充分但不必要条件 (C) 充分且必要条件

3．从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取 2 个球，则恰有一个红球的概率是 (A)

1 3

(B)

1 2

(C)

2 3

(D)

5 6

4．如图，某三棱锥的三视图都是直角边为 2 的等腰直角三角形，则该三 棱锥的四个面的面积中最大的是 (A)

3

(B) 2 3

(C) 1

(D) 2

5． 函数 y ? 2sin(? x ? ? ) 在一个周期内的图象如图 所示，则此函数的解析式可能是 (A) (B) (C) (D)

y ? 2sin(2 x ? ) 4 y ? 2sin(2 x ? ) 4 3? y ? 2sin( x ? ) 8 x 7? y ? 2sin( ? ) 2 16
开 始 S=0, n=0

?

?

6．执行如图所示的程序框图，则输出的 S 值为（ ? x ? 表示不超过 x 的最 大整数） (A) 4 (B) 5 (C) 7 (D) 9

S ? S ? ? n? ? ?

n=n+1 否

n>4? 是 输出 S 第1页 结 束

7．在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A(1,0)，B（0,1） ，点 C 在第二象限内， ?AOC ? 且|OC|=2，若 OC ? ?OA ? ?OB ，则 ? ， ? 的值是（ (A)

5? ， 6

??? ?

??? ?

??? ?

） (D) - 3 ，1

3 ，1
2

(B) 1， 3

(C)

-1， 3

8．已知函数 f(x)= ax ? bx ? c ,且 a ? b ? c, a ? b ? c ? 0 ，集合 A={m|f(m)<0}，则 (A) ?m ? A, 都有 f(m+3)>0 (C) ?m0 ? A, 使得 f(m0+3)=0 (B) ?m ? A, 都有 f(m+3)<0 (D) ?m0 ? A, 使得 f(m0+3)<0

二、填空题：共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分． 9．某高中共有学生 900 人，其中高一年级 240 人，高二年级 260 人，为做某项调查，拟采 用分层抽样法抽取容量为 45 的样本，则在高三年级抽取的人数是 10．已知直线 y=x+b 与平面区域 C: ? 取值范围是________. 11．l1 , l2 是分别经过 A(1,1)， B(0,?1)两点的两条平行直线， l1 , l2 间的距离最大时， 当 直线 l1 的 方程是
2 2

______．

?| x |? 2, 的边界交于 A，B 两点，若|AB|≥2 2 ，则 b 的 ?| y |? 2

．
2 2

12．圆 ( x ? a) ? y ? 1 与双曲线 x ? y ? 1的渐近线相切，则 a 的值是 _______. 13．已知 ?ABC 中，AB= 3 ，BC=1，sinC= 3 cosC，则 ?ABC 的面积为______． 14．右表给出一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列，从第三行起， 每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第 i 行第 j 列的数为 ，则 aij （ i ? j, i, j ? N * ） a53 等于 ， amn ? ______(m ? 3) .

三、解答题：共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明 过程． 15． （本题共 13 分）

1 4 1 1 ， 2 4 3 3 3 ， ， 4 8 16
…

函数 f ( x) ? lg( x 2 ? 2 x ? 3) 的定义域为集合 A，函数 g ( x) ? 2x ? a( x ? 2) 的值域为集合 B． （Ⅰ）求集合 A，B；

第2页

（Ⅱ）若集合 A，B 满足 A ? B ? B ,求实数 a 的取值范围． 16． （本题共 13 分） 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，锐角 ? 和钝角 ? 的终边分别与单位圆交于 A ， B 两点． （Ⅰ）若点 A 的横坐标是

3 12 ，点 B 的纵坐标是 ，求 5 13

y B A

sin(? ? ? ) 的值；
（Ⅱ） 若∣AB∣= 17． （本题共 14 分） 如 图 ， 在 三 棱 锥 P-ABC 中 ， PA=PB=AB=2 ， BC ? 3 ，

??? ??? ? ? 3 , 求 OA ? OB 的值. 2

O

x

?ABC ? 90 °,平面 PAB ? 平面 ABC，D、E 分别为 AB、AC 中点.
（Ⅰ）求证：DE‖ 平面 PBC; （Ⅱ）求证：AB ? PE； （Ⅲ）求二面角 A-PB-E 的大小. 18． （本题共 14 分）
B

P

A D E C

已知函数 f ( x) ? 个零点为-3 和 0.

ax ? bx? c (a ? 0)的导函数 y ? f '( x) 的两 ex
2

（Ⅰ）求 f ( x ) 的单调区间； （Ⅱ）若 f(x)的极小值为 ? e ，求 f(x)在区间 [?5, ??) 上的最大值.
3

19． （本题共 13 分） 曲线 C1 , C2 都是以原点 O 为对称中心、离心率相等的椭圆．点 M 的坐标是（0,1） ，线 段 MN 是 C1 的短轴，是 C2 的长轴.直线 l : y ? m(0 ? m ? 1) 与 C1 交于 A,D 两点（A 在 D 的左 侧） ，与 C2 交于 B,C 两点（B 在 C 的左侧） ．

（Ⅰ）当 m=

5 3 ， AC ? 时，求椭圆 C1 , C2 的方程； 4 2

第3页

（Ⅱ）若 OB∥AN，求离心率 e 的取值范围． 20． （本题共 13 分） 已知曲线 C : y2 ? 2 x( y ? 0)， A1 ( x1 , y1 ), A2 ( x2 , y2 ), ???, An ( xn , yn ), ??? 是曲线 C 上的点，且满足
0 ? x1 ? x2 ? ??? ? xn ? ??? ，一列点 Bi (ai ,0)(i ? 1, 2, ???) 在 x 轴上，且 ?Bi ?1 Ai Bi ( B0 是坐标原点）

是以 Ai 为直角顶点的等腰直角三角形． （Ⅰ）求 A1 、 B1 的坐标； （Ⅱ）求数列 { yn } 的通项公式；

1 （Ⅲ）令 bi ? , ci ? ai

? 2?
2

? yi

，是否存在正整数 N，当 n≥N 时，都有

? bi ? ? ci ，若存
i ?1 i ?1

n

n

在，求出 N 的最小值并证明；若不存在，说明理由．

丰台区 2012～2013 学年度第一学期期末练习 高三数学（理科）参考答案
一、选择题 题号 答案 二、填空题： 9．20； 10.[-2,2] ； 11. x+2y-3=0； 12． ? 2 (只写一个答案给 3 分)； 1 D 2 C 3 C 4 A 5 B 6 C 7 D 8 A

13．

3 ； 2

14．

5 m , n ?1 16 2

(第一个空 2 分，第二个空 3 分)

三．解答题 15 ． 本 题 共 13 分 ） 函 数 f ( x) ? lg( x 2 ? 2 x ? 3) 的 定 义 域 为 集 合 A ， 函 数 （

g ( x) ? 2x ? a( x ? 2) 的值域为集合 B．
（Ⅰ）求集合 A，B； （Ⅱ）若集合 A，B 满足 A ? B ? B ,求实数 a 的取值范围．

第4页

解： （Ⅰ）A= {x | x2 ? 2 x ? 3 ? 0} = {x | ( x ? 3)( x ? 1) ? 0} = {x | x ? ?1, 或x ? 3} ，..………………………..……3 分 B= { y | y ? 2x ? a, x ? 2} ? { y | ?a ? y ? 4 ? a} ． ………………………..…..7 分 （Ⅱ）∵

A ? B ? B ，∴ B ? A ，

..……………………………………………. 9 分

∴ 4 ? a ? ?1 或 ? a ? 3 ， …………………………………………………………...11 分 ∴ a ? ?3 或 a ? 5 ，即 a 的取值范围是 (??, ?3] ? (5, ??) ．…………………….13 分 16． （本题共 13 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，锐角 ? 和 钝角 ? 的终边分别与单位圆交于 A ， B 两点．
y B A

3 12 （Ⅰ）若点 A 的横坐标是 ，点 B 的纵坐标是 ，求 5 13

si n( ? ? ) ? 的值；
（Ⅱ） 若∣AB∣=

O

x

??? ??? ? ? 3 , 求 OA ? OB 的值. 2

解： （Ⅰ）根据三角函数的定义得，

12 ． ………………………………………………………2 分 13 4 ∵ ? 的终边在第一象限，∴ sin ? ? ． ……………………………………………3 分 5 5 ? ∵ ? 的终边在第二象限，∴ c o s ? ? ．………………………………………4 分 13 4 5 3 12 16 ∴ sin(? ? ? ) = sin ? cos ? ? cos ? sin ? = ?( ? ) + ? = ．……………7 分 5 13 5 13 65 ??? ??? ? ? ??? ? （Ⅱ）方法（1）∵∣AB∣=| AB |=| OB ? OA |, ……………………………………9 分 co? ? s sin ? ?
2 又∵ | OB ? OA | ? OB ? OA ? 2OA ? OB ? 2 ? 2OA ? OB ，…………………11 分

3 ， 5

??? ??? ? ?

??? 2 ?

??? 2 ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

∴ 2 ? 2OA ? OB ?

??? ??? ? ?

∴ OA ? OB ? ? ．…………………………………………………………………13 分 方法（2）∵ cos ?AOB ?

??? ??? ? ?

9 ， 4

1 8

| OA |2 ? | OB |2 ? | AB |2 1 ? ? ， …………………10 分 2 | OA || OB | 8

第5页

∴ OA ? OB = | OA || OB | cos ?AOB ? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

1 ． ………………………………… 13 分 8

BC 17． (本题共 14 分)如图， 在三棱锥 P-ABC 中， PA=PB=AB=2， ? 3 ，

?ABC ? 90 °,平面 PAB ? 平面 ABC，D、E 分别为 AB、AC 中点．
（Ⅰ）求证：DE//平面 PBC; （Ⅱ）求证：AB ? PE； （Ⅲ）求二面角 A-PB-E 的大小． 解： （Ⅰ）? D、E 分别为 AB、AC 中点， ?DE//BC ．

P

A D B
P _

E C

? DE?平面 PBC，BC?平面 PBC，
?DE//平面 PBC ．…………………………4 分 （Ⅱ）连结 PD，

? PA=PB， ? PD ? AB． …………………………….5 分 ? DE / / BC ，BC ? AB，
B _ D _ A _ E _ C _

? DE ? AB． .... .......................................................................................................6 分
又? PD ? DE ? D ，

? AB ? 平面 PDE．......................................................................................................8 分 ? PE?平面 PDE， ? AB ? PE ． ..........................................................................................................9 分
（Ⅲ）? 平面 PAB ? 平面 ABC，平面 PAB ? 平面 ABC=AB，PD ? AB，

? PD ? 平面 ABC．................................................................................................10 分
如图,以 D 为原点建立空间直角坐标系

3 ? B(1,0,0)，P(0,0, 3 )，E(0, ,0) , 2 ??? ? ??? ? 3 ． ? PB =(1,0, ? 3 )， PE =(0, , ? 3 ） 2 ?? 设平面 PBE 的法向量 n1 ? ( x, y, z) ，

z P _

A _ D _ 第6页 B _ E _ y C _

x

? x ? 3z ? 0 , ? 令z ? 3 ? ?3 ? y ? 3z ? 0 , ?2 ?? 得 n1 ? (3,2, 3) ． ............................11 分

? DE ? 平面 PAB，

?? ? ? 平面 PAB 的法向量为 n2 ? (0,1,0) ．………………….......................................12 分
设二面角的 A ? PB ? E 大小为 ? ，

?? ?? ? ?? ?? ? | n1 ? n2 | 1 由图知， cos ? ? cos ? n1 , n2 ?? ?? ?? ? ， ? n1 ? n2 2
所以 ? ? 60?, 即二面角的 A ? PB ? E 大小为 60? ． ..........................................14 分 18． （本题共 14 分） 已知函数 f ( x) ? -3 和 0. （Ⅰ）求 f ( x ) 的单调区间； （Ⅱ）若 f(x)的极小值为 ? e ，求 f ( x ) 在区间 [?5, ??) 上的最大值.
3

ax 2 ? bx ? c (a ? 0) 的导函数 y ? f '( x) 的两个零点为 ex

解： （Ⅰ） f ?( x) ?

(2ax ? b)e x ? (ax 2 ? bx ? c)e x ?ax 2 ? (2a ? b) x ? b ? c ．.......2 分 ? (e x )2 ex
2

令 g ( x) ? ?ax ? (2a ? b) x ? b ? c ，
2 因为 e ? 0 ，所以 y ? f '( x) 的零点就是 g ( x) ? ?ax ? (2a ? b) x ? b ? c 的零点，且
x

f ?( x ) 与 g ( x) 符号相同.
又因为 a ? 0 ，所以 ?3 ? x ? 0 时，g(x)>0,即 f ?( x) ? 0 ， ………………………4 分 当 x ? ?3, x ? 0 时,g(x)<0 ,即 f ?( x) ? 0 ， …………………………………………6 分 所以 f ( x ) 的单调增区间是（-3，0）,单调减区间是（-∞，-3）（0，+∞） ， ．……7 分

第7页

（Ⅱ）由（Ⅰ）知， x =-3 是 f ( x ) 的极小值点，所以有

? 9a ? 3b ? c ? ?e 3 , ? e ?3 ? ?b ? c ? 0, ??9a ? 3(2a ? b) ? b ? c ? 0, ? ?
解得 a ? 1, b ? 5, c ? 5 ， 所以 f ( x) ? …………………………………………………………11 分

x2 ? 5x ? 5 . ex

， ? f ( x) 的单调增区间是（-3，0）,单调减区间是（-∞，-3）,（0，+∞）

? f (0) ? 5 为函数 f ( x) 的极大值, …………………………………………………12 分 ? f ( x) 在区间 [?5, ??) 上的最大值取 f (?5) 和 f (0) 中的最大者. …………….13 分
而 f ( ?5) ?

5 ? 5e5 >5，所以函数 f(x)在区间 [?5, ??) 上的最大值是 5e5 ．.…14 分 ?5 e

19． （本题共 13 分）曲线 C1 , C2 都是以原点 O 为对称中心、离心率相等的椭圆 . 点 M 的坐 标是（0,1）,线段 MN 是 C1 的短轴，是 C2 的长轴 . 直线 l : y ? m(0 ? m ? 1) 与 C1 交于 A,D 两 点（A 在 D 的左侧） ，与 C2 交于 B,C 两点（B 在 C 的左侧） ．

（Ⅰ）当 m=

5 3 ， AC ? 时，求椭圆 C1 , C2 的方程； 4 2

（Ⅱ）若 OB∥AN，求离心率 e 的取值范围． 解： （Ⅰ）设 C1 的方程为

x2 x2 ? y 2 ? 1 ,C2 的方程为 2 ? y 2 ? 1,其中 a ? 1, 0 ? b ? 1 ．..2 分 a2 b

a2 ?1 ? C1 ,C2 的离心率相同，所以 2 ? 1 ? b 2 ,所以 ab ? 1 ，……………………….…3 分 a

? C2 的方程为 a2 x2 ? y2 ? 1 ．

第8页

当 m=

3 a 3 1 3 时，A (? , ) ,C ( , ) ． .………………………………………….5 分 2 2 2 2a 2
5 1 1 a 5 ? ? ，解得 a=2 或 a= (舍)， ………….…………..6 分 ,所以， 4 2 2a 2 4

又? AC ?

? C1 ,C2 的方程分别为

x2 ? y 2 ? 1， 4 x2 ? y 2 ? 1 ．………………………………….7 分 4
1 1 ? m 2 ,m) ． …………………………………………9 分 a

（Ⅱ）A(- a 1 ? m2 ,m), B(-

? OB∥AN,? kOB ? k AN ,

?
?
e2 ?

m 1 1 ? m2 a

?

m ?1 ?a 1 ? m
2

,? m ?

1 ． …………………………………….11 分 a ?1
2

1 a2 ?1 1 ? e2 2 ，? a ? ，? m ? ． ………………………………………12 分 1 ? e2 a2 e2

? 0 ? m ? 1 ，? 0 ?

1 ? e2 2 ? 1，? ? e ? 1．........................................................13 分 2 e 2

20.（本题共 13 分）已知曲线 C : y 2 ? 2 x( y ? 0) ， A1 ( x1 , y1 ), A2 ( x2 , y2 ), ???, An ( xn , yn ), ??? 是曲线 C 上的点， 且满足 0 ? x1 ? x2 ? ??? ? xn ? ??? ， 一列点 Bi (ai ,0)(i ? 1, 2, ???) 在 x 轴上， ?Bi ?1 Ai Bi ( B0 且 是坐标原点）是以 Ai 为直角顶点的等腰直角三角形． （Ⅰ）求 A1 ， B1 的坐标； （Ⅱ）求数列 { yn } 的通项公式；

? 2? 1 （Ⅲ）令 b ? , c ?
i

? yi

ai

i

2

，是否存在正整数 N，当 n≥N 时，都有

? b ? ? c ，若
i ?1 i i ?1 i

n

n

存在，写出 N 的最小值并证明;若不存在，说明理由． 解： （Ⅰ）? ?B0A1B1 是以 A1 为直角顶点的等腰直角三角形，

? 直线 B0A1 的方程为 y=x．

第9页

?y ? x ? 2 由 ? y ? 2 x 得 x1 ? y1 ? 2 ，即点 A1 的坐标为（2，2） ，进而得 B1 (4,0) ．…..3 分 ?y ? 0 ?
（Ⅱ）根据 ?Bn ?1 An Bn 和 ?Bn An ?1 Bn ?1 分别是以 An 和 An?1 为直角顶点的等腰直角三角形可 得?

?an ? xn ? yn ，即 xn ? yn ? xn?1 ? yn?1 ． （*） …………………………..5 分 ?an ? xn ?1 ? yn ?1

2 2 ? An 和 An?1 均在曲线 C : y 2 ? 2x( y ? 0) 上，? yn ? 2xn , yn?1 ? 2xn?1 ，

? xn ?

2 yn y2 2 2 , xn ?1 ? n ?1 ，代入（*）式得 yn?1 ? yn ? 2( yn?1 ? yn ) ， 2 2

n ) ? yn?1 ? yn ? 2 ( ? N * ，

………………………………………………………..7 分

? 数列 { yn } 是以 y1 ? 2 为首项，2 为公差的等差数列， ? 其通项公式为 yn ? 2n ( n ? N * )． ……………………………………………....8 分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知， xn ?
2 yn ? 2n 2 ， 2

2 ( ) ? an ? xn ? yn ? n n?1，
1 ， ci ? ? bi ? 2i ( ? 1 ) i

……………………………………………………9 分

? 2?
2

? yi

?

1 ． 2i ?1

? ? bi ?
i ?1

n

1 ? 2 (1 2 ) ?

1 1 ??? 2 ( 2 3) n n? ( ? 2

1)

1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? ? ? ? ? ) = (1 ? ) ．….……………..…………10 分 2 2 2 3 n n ?1 2 n ?1 1 1 (1 ? n ) n 1 1 1 1 1 2 ? ci ? 22 ? 23 ? ? ? 2n?1 ? 4 1 ? 2 (1 ? 2n ) ． ……………………….11 分 i ?1 1? 2
= （方法一）
n 1 1 1 1 1 1 1 n ? 1 ? 2n bi - ? ci = (1 ? )- (1 ? n ) ? ( n ? ) ? n?1 ? i ?1 2 n ? 1 2 2 2 2 n ? 1 2 (n ? 1) ． i ?1 n

当 n=1 时 b1 ? c1 不符合题意，

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当 n=2 时 b2 ? c2 ，符合题意， 猜想对于一切大于或等于 2 的自然数，都有 （ ? bi ? ? ci ． ? ）
i ?1 i ?1 n n

观察知，欲证（ ? ）式，只需证明当 n≥2 时，n+1<2n 以下用数学归纳法证明如下： (1)当 n=2 时，左边=3，右边=4，左边<右边； (2)假设 n=k（k≥2）时，(k+1)<2k, 当 n=k+1 时，左边=（k+1）+1<2k+1<2k+2k=2k+1=右边,

? 对于一切大于或等于 2 的正整数，都有 n+1<2n ，即 ? bi < ? ci 成立．
i ?1 i ?1

n

n

综上，满足题意的 n 的最小值为 2. ……………………………………………..13 分 （方法二）欲证

? bi ? ? ci 成立，只需证明当 n≥2 时，n+1<2n．
i ?1 i ?1

n

n

0 1 2 3 n 2 3 n ? 2n ? ?1 ? 1? ? Cn ? Cn ? Cn ? Cn ? ... ? Cn ? 1 ? n ? Cn ? Cn ? ... ? Cn ， n

2 3 n 并且 Cn ? Cn ... ? Cn ? 0 ，

? 当 n ? 2 时， 2n ? n ? 1 .

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