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1.2导数的计算(4课时)


1.2 1.2.1

导数的计算

几个常用函数的导数

问题提出
(x 0 ) 的几何意义是什么? 1.导数 f ?

函数y=f(x)的图象在点x=x0处的切线 的斜率. 2.如何求函数f(x)的导函数?
f (x + Vx ) - f (x ) f? (x ) = lim

Vx ? 0 Vx

3.对于简单的常用函数,我们希望有相 应的求导公式,便于在解题中直接应用.

探究(一):函数y=f(x)=c的导数 思考1:设c为常数,函数f(x)=c的图象 是什么?相对于x的函数值增量△y等于 什么? y
4 3 pr 3

V (r ) =

y =c O x

△y=f(x+△x)-f(x)=c-c=0.

思考2:函数f(x)=c的导数f′(x)等于什 么? Vy f? (x ) = lim = lim 0 = 0 D x 瓺0 Vx x 0

思考3:若y=c表示路程关于时间的函数, 则y′=0的物理意义如何解释?

物体的瞬时速度始终为0,即物体处于静 止状态.

探究(二):函数y=f(x)=x的导数 思考1:函数f(x)=x的图象是什么?相 对于x的函数值增量△y等于什么? y y =x
v= h(0.5) - h(0) = 4.05(m / s ) 0.5 - 0

O

x

△y=f(x+△x)-f(x)=△x.

v= 0

思考2:函数f(x)=x的导数f′(x)等于什 Vy 么?

f? (x ) = lim

D x 瓺0

Vx

= lim 1 = 1
x 0

思考3:若y=x表示路程关于时间的函数, 则y′=1的物理意义如何解释?
v= 0

物体做瞬时速度为1的匀速直线运动. 思考4:根据导数定义,函数f(x)= kx(k≠0)的导数f′(x)等于什么?

f? (x ) = k

思考5:函数f(x)=kx(k≠0)的图象是什 么?其导数表示什么? y=kx的图象是过原点的一条直线

f? (x ) = k 表示直线y=kx的斜率.
思考6:函数f(x)=kx(k≠0)增(减)的快 慢与k的取值有什么关系? k>0时,k越大,f(x)增加得越快; k<0时,k越大,f(x)减少得越慢.

探究(三):函数y=f(x)=x2的导数 思考1:函数f(x)=x2的图象是什么?相 对于x的函数值增量△y等于什么? y y =x 2 O x

△y=f(x+△x)-f(x)=(2x+△x)△x.

思考2:函数f(x)=x2的导数f′(x)等于 什么?
Vy f? (x ) = lim = lim (2x + D x ) = 2x D x 瓺0 Vx x 0

思考3:若y=x2表示路程关于时间的函 数,则y′=2x的物理意义如何解释?

物体做变速直线运动,在时刻x的瞬时 速度为2x.

思考4:根据导数分析,当x>0时,随着 x的增加,y=x2增加的快慢程度如何变 化?当x<0时,随着x的增加,y=x2减 少的快慢程度如何变化? 当x>0时,随着x的增加,y=x2增加的 速度越来越快; 当x<0时,随着x的增加,y=x2减少的 速度越来越慢.

1 探究(四):函数y=f(x)= 的导数 x

1 思考1:函数f(x)= 的图象是什么? x

相对于x的函数值增量△y等于什么? y 1 y= x O x

1 1 Dx Dy = = - 2 x + Dx x x + x譊x

1 思考2:函数f(x)= 的导数等于什么? x
Vy 1 1 f? (x ) = lim = lim (- 2 )= - 2 D x 瓺0 Vx x 0 x + x譊x x

思考3:根据导数分析,当x>0时,随
1 y= 着x的增加, 减少的快慢程度如何 x 1 变化?当x<0时,随着x的增加,y = x

减少的快慢程度如何变化?

探究(五):函数y=f(x)=

x的导数

思考1:函数 f (x ) = x 的图象是什么? 相对于x的函数值增量△y等于什么? y y= x
O
Dy = x + Dx x =

x
Dx x + Dx + x

思考2:函数 f (x ) = 什么?

(x )等于 x 的导数 f ?
1 = 2 x x

Vy 1 f? (x ) = lim = lim D x 瓺0 Vx x 0 x + Dx +

思考3:根据导数分析,当x>0时,随 y = x 增加的快慢程度如何 着x的增加, 变化?
y= 当x>0时,随着x的增加, 速度越来越慢. x 增加的

理论迁移

1 例1 求曲线 y = 在点(1,1)处 x 的切线方程.
y=-x+2.

例2 抛物线y=x2在点A(a,a2)(a≠0) 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的 面积为16,求实数a的值. a=±4.

1 y = 与曲线C2: y= 例3 设曲线C1: x

x

在其交点处的切线分别为l1,l2,求直线 l1与l2的夹角的正切值.

tanθ=3

小结作业

1 1.函数y=c,y=x,y=x2,y = , x y = x 都是幂函数,在解题中会经常遇 到,其导数公式要作为基本知识点掌握.
2.由于导数是函数在一点的瞬时变化 率,所以利用导数可以反映函数在某个 区间内增、减的快慢程度.

作业: P18习题1.2A组:1.

1.2

导数的计算

1.2.2 基本初等函数的导数 公式及导数的运算法则 第一课时

问题提出 1.如何求函数f(x)的导数?

y= 2.函数y=c,y=x,y=x2,


f (x + Vx ) - f (x ) f? (x ) = lim Vx ? 0 Vx 1
x 的导数分别是什么?.
x ?= 1
2

y=

x



1 1 ( )?= - 2 x x

c ?= 0

(x )?= 2x

1 ( x )?= 2 x

3.利用导数定义求导数,其求导过 程是繁琐的,我们希望有一些现成的导 数公式,并能对导数进行四则运算.

探究(一):基本初等函数的导数公式
1- 1 2 2- 1 ? ? (x ) = 2x = 2x 思考1:对于 x = 1 = x ,
1 -1 1 1 2 (x ) ⅱ = ( x) = = x ,你能发现什么 2 x 2 1 2

规律吗?一般地,若 f (x ) = x (n 则f′(x)等于什么?

n

Q *)

(x )?= nx
n

n- 1

sin x 思考2:已知 lim = 1你能推导出 x? 0 x 正弦函数y=sinx和余弦函数y=cosx的 导数吗?

(sinx)′=cosx,(cosx)′=-sinx . 思考3:设a>0,a≠1,对于指数函数
x ? 有 (a ) = a ln a ,那么函数 y = e 的导 数是什么?
x x

(a )?= a ln a
x x

(e )?= e
x

x

思考4:设a>0,a≠1,对于对数函数
1 有 (loga x )?= ,那么函数 y x ln a

= ln x 的

导数是什么?
1 (loga x )?= x ln a

1 (ln x )?= x

探究(二):导数的四则运算法则

[f (x ) + g(x )]? (x ) + g (x ) 相等吗? 思考1: 与 fⅱ 为什么?

[f (x ) + g(x )]ⅱ = f (x ) + g (x )
(x ), g (x ) 有什么关 [f (x ) - g(x )]?与 f ⅱ 思考2: 系? [f (x ) - g(x )]ⅱ = f (x ) - g (x )

f? (x 0 ) = lim
Vx

(x ), g (x ) 思考3:怎样推断 [f (x ) ×g(x )]?与 f ⅱ 的关系? [f (x ) ?g(x )]ⅱ f (x )g(x ) + f (x )g (x )

Vy f (x 0 + Vx ) - f (x 0 ) = lim 0 Vx Vx 0 Vx

思考4:特别地,若c为常数,则 [cf (x )]?

等于什么?

[cf (x )]ⅱ = cf (x )

思考5:对于商的导数,有

f (x ) fⅱ (x )g(x ) - f (x )g (x ) [ ]?= (g(x ) 2 g(x ) [g(x )]

0)

1 利用这个法则如何求函数 y = x

的导数?

思考6:上述导数四则运算法则,用文字 语言分别如何表述? 1.两个函数的和(或差)的导数,等于这 两个函数的导数的和(或差); 2.两个函数的积的导数,等于第一个函 数的导数乘第二个函数,加上第二个函 数的导数乘第一个函数; 3.两个函数的商的导数,等于分子的导 数乘分母,减去分母的导数乘分子,再 除以分母的平方.

理论迁移

例1 假设某国家20年期间的年均通货 膨胀率为5%,物价p(单位:元)与时间 t(单位:年)有如下函数关系: t p(t ) = p0 (1 + 5%) ,其中p0为t=0时的物 价.假定某种商品的p0=1,那么在第10 个年头,这种商品的价格上涨的速度大 约是多少(精确到0.01)?
10 ? p (10) = 1.05 ln 1.05

0.08 (元/年)

例2 日常生活中的饮用水通常是经过 净化的,随着水纯净度的提高,所需净 化费用不断增加.已知将1吨水净化到纯 净度为x%所需费用(单位:元)为
5284 c(x ) = (80 < x < 100) . 100 - x

5284 5284 (98) = = 1321 c? (90) = = 52.84 c ? 2 2 (100 - 90) (100 - 98)
c? (90) = 5284 = 52.84 (100 - 90)2

求净化到下列纯净度时,所需净化费用 的瞬时变化率. (1)90%; (2)98%.

例3 求函数 y = x - 2x + 3 的图 象在点(1,2)处的切线方程. 切线方程为y=x+1

3

小结作业 1. 八个基本初等函数的导数公式和 导数的四则运算法则,都是在导数定义 下产生的结论,它们是求导数的理论基 础,要求熟记这些结论. 2.由基本初等函数通过四则运算可以 产生许多新函数,利用导数公式和求导 法则就能求出这些函数的导数,而不再 用导数定义求导.

3.在生产、生活实际中,若研究函数 在某点的瞬时变化率或在此点附近变化 的快慢,可以利用导数来解决.

作业:
P18练习:2(1)~(4). P18习题1.2A组:5,6,7.

1.2

导数的计算

1.2.2 基本初等函数的导数 公式及导数的运算法则 第二课时

问题提出

1.基本初等函数y=c,y=xn,y= sinx,y=cosx,y=ax,y=ex,y= logax,y=lnx的导数分别是什么?
c ?= 0
n- 1 ? (x ) = nx n

(sinx)′=cosx

(cosx)′=-sinx

(a )?= a ln a
x x

(e )?= e
x

x

1 (loga x )?= x ln a

1 (ln x )?= x

2.导数的四则运算法则是什么?

[f (x ) ? g(x )]ⅱ f (x )

g (x )

[f (x ) ?g(x )]ⅱ f (x )g(x ) + f (x )g (x )
f (x ) fⅱ (x )g(x ) - f (x )g (x ) [ ]?= ( g ( x ) 2 g(x ) [g(x )] 0)

3.利用基本初等函数的导数公式和导 数的四则运算法则,可以求出许多函数 的导数,但对于 y

= ln(x + 2) , y = sin(2x + 1) 等函数,仍无法求

3

其导数,我们还得进一步研究求这类函 数的导数运算法则.

探究(一):复合函数的概念 思考1:将对数函数y=lnu和二次函数 u=x2+3经过“复合”,得到的函数是 什么? y=ln(x2+3)

思考2:函数y=(2x+3)3和y=sin(ax+ 1)分别可以看成是由哪两个函数“复合” 而成的? y=u3,u=2x+3;

y=sinu,u=ax+1.

思考3:一般地,某两个函数的复合函数 的含义是什么?
对于函数y=f(u)和u=g(x),如果通过 变量u,y可以表示成x的函数,则称这个 函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函 数,记作y=f(g(x)).

思考4:对于复合函数y=f(g(x)),f(u) 称为外层函数,g(x) 称为内层函数,u 称为中间变量,那么外层函数和内层函 数可以相同吗?举例说明.

探究(二):复合函数的求导法则 yx′=18x-12

思考1:函数y=(3x-2)2的导数是什么?

思考2:设y=u2,u=3x-2,则这两个 函数的导数分别是什么? yu′=2u=6x-4, ux′=3
思考3:上述三个导数yx′,yu′,ux′ 有什么内在联系? yx′=yu′·ux′

f? (x 0 ) = lim
Vx

思考4:一般地,设函数y=f(u),u= g(x),那么复合函数y=f(g(x))的导数 与函数y=f(u),u=g(x)的导数有什么 关系? yx′=yu′·ux′,即

Vy f (x 0 + Vx ) - f (x 0 ) = lim 0 Vx Vx 0 Vx

[f (g(x ))]ⅱ = f (u ) g (x )
思考5:如何证明上述结论?

理论迁移

例1 求下列函数的导数: (1)y=(2x+3)3;
(2 ) 8x+12
- 0.05x + 1
y = e - 0.05x + 1
y = sin( p x + j )

y=e

- 0.05e ;

- 0.05x + 1

(3)y

= sin( p x + j ) ;
3 3x + 2

p cos( p x + j )

(4)y=ln(3x+2).

例2 求下列函数的导数: 2x (1) f (x ) = log2 2 ; 1- x
(2)f (x ) = sin (3x + 1) .
解:(1) ,

2

1+ x (1) f ? (x ) = 2 x (1 - x ) ln 2
. (2 )

f (x ) = log2


2x 1- x2

2

f (x ) = sin 2 (3x + 1) =

1 - cos(6x + 2) 2

.

(2) f ? (x ) = 3 sin(6x + 2)

例3 已知函数 f (x ) = cos( 3x + j ) (0 < j < p ) ,若函数y=f(x)+f′(x)是 奇函数,求φ 的值.
p j = 6

小结作业 1.复合函数的求导法则表明,复合函数 的导数等于外层函数与内层函数的导数 之积,它能将复杂函数的导数化归为基 本初等函数的导数求解. 2.对某些较复杂的函数,应先对函数式 作适当变形,再求导,这样可以简化求 导过程. 3.求复合函数的导数,要认清中间变量, 必要时可以通过换元细化求导过程,但最 后要将中间变量代回到原自变量.

作业:

P18习题1.2A组:3,4,8.

导数的计算习题课

例1

求下列函数的导数:
1 f? (x ) = cos2 x

(1)f(x)=tanx; x- 1 1 (x ) = 2 (2)f (x ) = ln ;f ? x - 1 x+1
f (x ) = ln x- 1 x+1

(3)f (x ) = x ? 1

x ;
2

2

f? (x ) =

2x 2 + 1 1 + x2

(x ) = (4)f (x ) = ln(x + 1 + x ) .f ?

1 1+ x
2

例2 已知函数 f (x ) =

a - 2x ,

2

若f′(-1)=2,求a的值.

象在点M(-1,f(-1))处的切线方程为 x+2y+5=0,求实数a,b的值.
a=2,b=3.

ax - 6 例3 已知函数 f (x ) = 2 的图 x +b

a =3

例4 设点P为函数 y = ln(2x - 1) 图象上任意一点,求点P到直线2x-y+3 =0的距离的最小值.

5
例5 设x≠0,x≠1,n∈N*,求和.
2 n- 1
n n+1

S n = 1 + 2x + 3x + L + nx
1 - (n + 1)x + nx Sn = 2 (1 - x )

作业: P19习题1.2B组:2.


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