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1.1.1正弦定理(二) 2012-2-21


一、复习

1.正弦定理:
在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等。 C a b c ? ? 即: a b sin A sin B sin C

B
2.可以用正弦定理解决的三角问题:

c

A

题型一:知两角及一边,求其它的边和角

/>题型二:知两边及其中一边对角,求其他边和角

练习:

1. 已知 b =11, c =12, B=60?,则三角形△ABC有( A.一 B.二 C.无

)解

2. 已知 a = 7, b = 3, A=110?,则三角形△ABC有(
A.一 B.二 C.无

)解

二、新课讲解

a b c ? ? =2R 正弦定理的推论: sin A sin B sin C (R为△ABC外接圆半径)
证明:如图,⊙O为△ABC的外接圆, B 连接BO并延长BO交圆于点D a . C

O c 连接CD, 则∠A=∠D b a a BD ? ? ? ? 2R D ? sin A sin D sin 90 A b c 同理, ? 2 R, ? 2 R; sin B sin C a b c ? ? =2R (R为△ABC外接圆半径) ∴ sin A sin B sin C

a b c ? ? 正弦定理的推论: = 2R sin A sin B sin C (R为△ABC外接圆半径) a ? 2 R sin A, b ? 2 R sin B, c ? 2R sin C
a b c sin A ? , sin B ? , sin C ? 2R 2R 2R

sin A : sin B : sin C ? a : b : c
>
45? 或135? 等腰三角形或直角三角形

4. 在?ABC 中,若A : B : C ? 1: 2 : 3,那么 a : b : c ?

二、新课讲解
试借助三角形的高来寻找新的三角形面积公式: (1)直角三角形: (2)锐角三角形:
E C b

(3)钝角三角形:(∠C为钝角)
作CD垂直于AB于D,则可得 B

a c
D

CD ? a sin B ? b sin A

A

1 1 1 SD ABC = ac sin B = bc sin A = ab sin C 2 2 2
作BE垂直于AC的延长线于E,则 BE ? a sin(? ? C ) ? a sin C

三角形面积公式:
1 1 1 SD ABC = bc sin A = ac sin B = ab sin C 2 2 2

练习:
1、在?ABC 中,已知下列条件,求三角形的面积: (1) b ? 5 6 , c ? 10 , A ? 60 ;
?

(2) a ? 3, C ? 75? , B ? 45? .

五、小结

1、正弦定理:
a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C
其中,R是△ABC的外接圆的半径

2、三角形面积公式:
1 1 1 SD ABC = bc sin A = ac sin B = ab sin C 2 2 2

六、作业 (B本)1、已知在ΔABC中, 三内角的正弦比为4:5:6, 有三角形的周长为7.5,则其三边长分别为多少?

(B本)2、在?ABC 中,已知a ? 2, C ? 45? , B ? 30? , 求三角形的面积.
3、复习向量的基本运算:数量积、向量模长… 4、预习 1.1.2 余弦定理


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