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等比数列应用举例(单复利)


6.3.4 等比数列应 用举例

在日常生活中那些事情与等比数列有关?

利息一般分为单利和复利两种 单利:
(等差数列) 指存满一个规定的利息期限后,按照预先指定的利率 指存满一个规定的利息期限后,按照预先指定的利率 计息,在下一个计息期限中,利息不计入到本金中。 计息,在下一个计息期限中,利息不计入到本金中。
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br />例如:某种储蓄规定按月以单利计息,月利率是1%,若 某人存入1000元作为本金, 一个月后 本息和 1000+10 =1010 两个月后 本息和 三个月后 本息和



n个月后 本息和 1000+10n

1000+10?2 1000+10 ?3 = 1030 = 1020

活期储蓄
这是指存期不定,可以随时存取的一种储蓄。计息时, 按日利率算存期为天数(一年按360天,一个月按30天 计算)。 若活期年利率:0.36 %

0.36% 则日利率: ? 0.001% 360

计息公式:利息=本金×存期×日利率

整存整取定期储蓄
这是指一次存入本金,完成约定存期后一次取出本金 及其利息的一种储蓄。农业银行在近期内规定的这种储 蓄的年利率如下.
存 期 1年 2.25 2年 2.75 3年 3.25 5年 3.35

年利率(%)

计息公式:利息=本金×存期×年利率

整存整取 年利率

零存整取定期储蓄
每月定时存入一笔相同数目的现金,这是零存;到 约定日期,取出全部本利和,这是整取,规定每次存入 的钱不计复利
存 期 1年 1.85 3年 2.05 5年 2.15

年利率(%)

零存整取 年利率

某人从1月起,每月1日存入银行100元,到12月31日取出全部本 金及其利息,已知月利率为0.1425%,若不计复利,那么他实际 取出多少钱?(不计利息税) 解析: 实际取出的钱等于本金+利息,这里关键是求利 息.由于每期存入的钱到最后取钱时的存期是不一样的,因此 每期存入的钱到最后取钱时,利息是不一样的. 第1月存款利息:100×12×0.1425%,

第2月存款利息:100×11×0.1425%,
? 第11月存款利息:100×2×0.1425%,

第12月存款利息:100×1×0.1425%. 于是,应得到的全部利息就是上面各期利息之和: S12=100×12×0.1425%+100×11×0.1425%+…+ 100×2×0.1425%+100×1×0.1425% =100×0.1425%×(1+2+3+…+12) =100×0.1425%×78=11.115. 实际取出:100×12+11.115=1 211.115(元).

利息一般分为单利和复利两种 复利:(等比数列)

指存满一个规定的利息期限后,按照预先指定的利率 计息,在下一个计息期限中,将所得的利息计入到本 金中,作为新的本金。

(我国现行的定期储蓄中的自动转存业务类似复利计息的储蓄)

例如:某种储蓄规定按月以复利计息,月利率是1%, 若某人存入1000元作为本金, 一个月后 本息和 两个月后 1000 (1+1%) 本息和

1000

(1+1%)2

三个月后 本息和



n个月后 本息和
1000 (1+1%)n

1000 (1+1%)3

(整存整取) 五一节期间,高二同学杨磊从他回国探亲的舅舅处得到一 笔钱a元,这笔钱是给他明年读大学时用的,距今还有16 个月.于是他决定立刻把这笔钱存入银行,直到明年9月初 全部取出。现在有两家银行供他选择,一家银行是按月息 0.201 %单利计息,另一家银行是按月息0.2 %复利计息, 请大家帮助杨磊同学计算一下,存入哪家银行更合算?

解:单利计息

a +16 ? 0.201% a =1.03216a

复利计息 a(1+ 0.2%)16 =1.03248a > 1.03216a 故存入按复利计息的银行更合算。

? 等额本金还款法是一种计算非常简便,实用性很强的一种

还款方式。基本算法原理是在还款期内按期等额归还贷款 本金,并同时还清当期未归还的本金所产生的利息。
? 等额本息是指一种购房贷款的还款方式,是在还款期内,

每月偿还同等数额的贷款(包括本金和利息)。

例 银行贷款一般都采用“复利计息法”计算利息.小王从银行货款20万元,贷 款期限为5年,年利率为5.76%. (1)如果5年后一次性还款,小王应偿还银行多少钱?(精确到0.000001万元);

巩 固 知 识 典 型 例 题

解 货款第一年后的本利和为
20 ? 20 ? 5.76% ? 20(1 ? 0.0576) ? 1.0576 ? 20,

第二年后的本利和为
1.0576 ? 20 ? 1.0576 ? 20 ? 5.76% ? 1.05762 ? 20,

依次下去,从第一年后起,每年后的本利和组成的数列为等比数列
1.0576 ? 20,1.05762 ? 20,1.05763 ? 20,?

通项公式为 an ? 1.0576 ? 20 ?1.0576n?1 ? 1.0576n ? 20
a5 ? 1.05765 ? 20 ? 26.462886

答 小王应偿还银行26.462886万元.

巩 固 知 识 典 型 例 题

例 银行贷款一般都采用“复利计息法”计算利息.小王从银行货款20万元, 贷款期限为5年,年利率为5.76%. (2)如果每年一期,分5期等额还款(每期以相等的额度平均偿还本息),那 么小王每年偿还银行多少钱. 由于第5次将款还清,所以
a ((1 ? 5.76%)5 ? 1) ? 26.482886 5.76%

因此

a?

26.482886 ? 5.76% ? 4.716971(万元). 5 (1 ? 5.76%) ? 1

这类问题为等额分期付款模型.计算每期偿还本息的公式为

A ? i ? (1 ? i ) n a? (1 ? i ) n ? 1
其中,A为贷款本金,n为还款期数,i为期利率.


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