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算法案例(2)


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[问题1]:设计求多项式f(x)=2x5-5x4-4x3+3x26x+7当x=5时的值的算法,并写出程序.

程序

x=5 f=2*x^5-5*x^4-4*x^3+3*x^2-6*x+7 PRINT f END

点评:上述算法一共做了15次乘法运算,5次 加法运算.优点是简单,易懂;缺点是不通用,不能 解决任意多项多求值问题,而且计算效率不高.

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[问题2]:有没有更高效的算法? 分析:计算x的幂时,可以利用前面的计算结 果,以减少计算量, 即先计算x2,然后依次计算

x ? x,( x ? x) ? x,(( x ? x) ? x) ? x
2 2 2

的值. 这析计算上述多项式的值,一共需要5次乘 法运算,5次加法运算. 第二种做法与第一种做法相比,乘法的运 算次数减少了,因而能提高运算效率.而且对于 计算机来说,做一次乘法所需的运算时间比做一 次加法要长得多,因此第二种做法能更快地得到 结果.

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[问题2]:能否探索更好的算法,来解决任意多项式 的求值问题? v =2 0 f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7 v1=v0x-5=2×5-5=5 4 3 2 =(2x -5x -4x +3x-6)x+7 v2=v1x-4=5×5-4=21 3 2 =((2x -5x -4x+3)x-6)x+7 v3=v2x+3=21×5+3=108 2 =(((2x -5x-4)x+3)x-6)x+7 v4=v3x-6=108×5-6=534 =((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7
所以,当x=5时,多项式的值是2677. 这种求多项式值的方法就叫秦九韶算法.

v5=v4x+7=534×5+7=2677

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例1:用秦九韶算法求多项式 f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当x=5时的值. 解法一:首先将原多项式改写成如下形式 : f(x)=((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7 然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即 v0=2 v1=v0x-5=2×5-5=5 v2=v1x-4=5×5-4=21

v3=v2x+3=21×5+3=108
v4=v3x-6=108×5-6=534 所以,当x=5时,多 v5=v4x+7=534×5+7=2677 项式的值是2677.

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例1:用秦九韶算法求多项式 f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当x=5时的值. 解法二:列表 2
原多项式 的系数

x=5
2

-5 10 5

-4 25 21

3 105 108

-6 7 540 2670 534 2677
多项式 的值.

所以,当x=5时,多项式的值是2677.

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练一练:用秦九韶算法求多项式 f(x)=2x6-5x5-4x3+3x2-6x当x=5时的值. 解:原多项式先化为: f(x)=2x6-5x5 +0×x4-4x3+3x2-6x+0

列表 2 x=5 2

3 -6 0 605 3040 15170 608 3034 15170 所以,当x=5时,多项式的值是15170.

-5 10 5

0 -4 25 125 25 121

注意:n次多项式有n+1项,因此缺少哪一项 应将其系数补0.

知识点三 进位制 例 3 将十进制数 25 转换为二进制数.

分析

把一个十进制数转换为相应的二进制数,只

需用 2 反复去除要被转换的十进制数 25,直至商为 0 为止,所得余数(从末位读起)就是该十进制数 25 的二进制表示.



把上式中各步所得到的余数从下到上排列,就得到 25=11 001(2)

点评 十进位制化为 k 进位制的方法是用 k 连续去 除十进制数,直到商为零为止,然后把各步得到的 余数倒写就是相应的 k 进制数.

变式迁移 3 把五进制数 1 234(5)转化为十进制数, 再把它转化为八进制数.
解 1 234(5)=1×53+2×52+3×51+4×50=194(10). ,所以 1 234(5)=194(10)=302(8).

因为


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