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数学(文)卷·2010届浙江省温州市高三第二次适应性测试(2010.04)


2010年温州市高三第二次适应性测试数学(文科)试题
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 符合题目要求. 1. 已知集合

M ? ?0,1,2?, N ? ?x | x ? 2a, a ? M ?
B. ?0,1?

,则集合 M D. ?0,2?

/>N?

(

)

A. ?0? 2.若

1,2? C. ?

{an } 是等差数列,则 a6 ? a7 是 a6 ? a8 的
A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

(

)

3.设复数 z 的共轭复数为 z ,若 (2 ? i) z ? 3 ? i ,则 z ? z 的值为 A.1 B .2 C. 2 D.4 )

(

)

4.若向量 a ? (1, 3) , | b |? 1 ,且 (a ? b) ? b ? 0 ,则 a 与 b 的夹角为 (

5? A. 6

2? B. 3

?
C. 3

?
D. 6
开始 S=1 n=1 S=S+(-1)n+1n2 n=n+1
是 否

5.如图所示的算法流程图中输出的最后一个数为 ?10 , 则判断框中的条件是 A. n ? 5? B. n ? 5? C. n ? 4? ( )

D. n ? 4? )

6.若直线 l 与平面 ? 相交,但不垂直,则有 (

A. ? 平面 ? ,若 l ? ? ,都有平面 ? ⊥平面 ? ; B. ? 平面 ? ,若 l ? ? ,使得平面 ? ⊥平面 ? ; C. ? 平面 ? ,若 l ? ? ,都有平面 ? ∥平面 ? ; D. ? 平面 ? ,若 l ? ? ,使得平面 ? ∥平面 ? .

输出S 结束

7.若函数 f ( x) ? sin x ? a cos x 在区间

? 2? [? , ] 3 3 上单调递增,则a的值为
3 C. 3 ? 3 3





A. 3

B. ? 3

D.

8 . 设 y ? f ( x? 1) 是 R 上 的奇 函数 , 若 y ? f ( x) 在 (?1, ??) 上 是增 函数 , 且 f (0) ? 1 , 则 满 足

f (m) ? ?1 的实数 m 的范围是
A. (?2, ??) B. (?1, ??) C. (?2,0) D. (??,0)





y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b 9.已知椭圆 a 的上焦点为 F ,左、右顶点分别为 B1 , B2 ,下顶点为 A ,
直线 AB2 与直线 B1 F 交于点 P ,若 AP ? 2 AB2 ,则椭圆的离心率为 ( )

1 A. 2

1 B. 3

1 C. 4

2 D. 3
( )

* 10.函数 f ( x) 由下表定义,若 a1 ? 2, a2 ? 5, an? 2 ? f (an ), n ? N ,则 a2010 ?

A.1

B.2 1 3 2 4 3 5

C.3 4 2 5 1

D .4

x
f ( x)

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分. 11.对某学生的10次数学成绩进行分析,得到如图所示茎叶图,则该 生这10次数学成绩的平均分是 .

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0) 2 12 12.若双曲线 a 的一条渐近线的倾斜角为 60 ,则
. 13.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 . 14.首位数为1的三位数中,组成这个三位数的三个数字中恰有两 个数字相同的概率是 . 15.如图,正方形ABCD与正方形CDEF所成的二面角为 60 , 则直线 EC 与直线 AD 所成的角的余弦值为 .

a?

5 6 7 8

8 3 4 6 2 4 7 3 5

16.世博会被誉为世界经济、科技、文化的“奥林匹克”盛 会.2010年世博会将于5月1日至10月31日在上海举 行,预计将吸引世界各地7000万人次前往参观,其中部 分门票如下表所示:
E F

阶段 票种 0 指定日普通票 指定日优惠票

预售第三期 2010.1.1-4.3 31 190元 110元

会期 2010.5.1-10. 200元 120元

说明:年“五一”假期 () 、“十一”假期() 、闭 D 幕前一周 () 设为指定日, A 除指定日外的都为平日

C B

平日普通票 平日优惠票 夜票

150元 90元 不销售

160元 100元 90元

小明家共有5人,他们计划每人购买一张门票,其中只有小明与爷爷、奶奶具备购买优惠 票资格,且他们三人购买相同的票;另外,小明的爸爸与妈妈两人所买的票相同,如果全家 购票总额不得超过600元,那么小明家可以选择的购票方式共有 种.

17. 已知实数 x, y 满足

?x ? 1 ? ?4 x ? y ? 8 ? ax ? y ? 0 ?

,若 z ? 2 x ? y 的最小值为 ?8 ,则实数 a 的值为



三、解答题:本大题共5小题,共72分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本题满分14分) 设 AD 是半径为5的半圆 O 的直径(如 图), B, C 是半圆上两点, AB ? BC ? 10 . (1)求 cos ?AOB 的值; (2)求 DC ? DA 的值.

?1, n ? 1 Sn ? ? 2 {a } S ?n ? 3n ? 4, n ? 2 19. (本题满分14分)已知数列 n 的前 n 项和为 n ,
(1)求数列

{an }

的通项公式;

(2)是否存在正整数m,使得 存在,说明理由.

am , am?1 , am?2

成等比数列,若存在,求出m的值;若不

? 平面 ADF , △ 20 . (本题满分 14 分)设多面体 ABCDEF, 已知 AB // CD // EF , 平面 ABCD
ADF 是 以 AD 为 斜 边 的 等 腰 直 角 三 角 形 , 若

?ADC ? 120? , AD? 2, AB? 2,CD ? 4, EF ? 3 , G 为
BC 的中点.

(1)求证: EG // 平面 ADF ; (2)求直线 DE 与平面 ABCD 所成角的余弦值.

21. (本题满分15分)设Q是直线 y ? ?1上的一个动点,O为坐标原点,过Q作x轴的垂线 l , 过O作直线OQ的垂线交直线 l 于点P. (1)求点P的轨迹C的方程; (2)过点 A(? 2,2) 作圆B: x ? ( y ? 2) ? 1的两条切线交曲线C于M,N两点,试
2 2

证明直线MN与圆B相切.

22. (本题满分15分)设

x??

1 3 2 3 是函数 f ( x) ? x ? mx ? mx ? 2 的一个极值点.

(1)求函数 f ( x) 的极值;

(2)若方程

f ( x) ?

f (?a) ? f (a) 2 在区间 [?a, a] (a>0)上恰有两个不同的实根,求a的

取值范围.

2010年温州市高三第二次适应性测试 数学(文科)试题参考答案
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分) 题号 答案 1 D 2 C 3 B 4 C 5 A 6 B 7 D 8 A 9 B 10 C

二、填空题(本大题共7小题,每小题4分,共28分)

11.72

12. 2

5 3 13. 3

27 14. 100

2 15. 4

16.10

17.3

三、解答题(本大题共5小题,共72分) 18. (本小题满分14分) 解: (1)连接OB,由余弦定理得

OB 2 ? OA 2 ? AB2 25 ? 25 ? 10 4 cos ?AOB ? ? ? 2 ? OA ? OB 2?5?5 5 ……………………5分
(2)连接 AC ,∵AD为直径,∴ ?ACD ? 90
?

…………………………7分

1 ?CDA ? ?AOC ? ?AOB 2 又∵ cos ?CDA ? 4 5



………………………………………………… 9分

∴ CD ? 8

………………………………………………………12分
2

∴ DC ? DA ?| DC | ? | DA | cos ?CDA ?| DC | ? 64 分 19. (本小题满分14分) 解: (1)当 n ? 1 时, a1 当 n ? 2 时, S2 当 n ? 2 时,

………………………………14

?1

? 2 ,∴ a2 ? 1…………………………………………2分

an ? Sn ? Sn?1 ? 2n ? 4

? 1, n ? 1,2 an ? ? ?2n ? 4, n ? 3 …………………………………………………………………6 ∴
分 (2)当 m ? 2 时,若

am , am?1 , am?2

成等比数列,则

2 2 am ?1 ? am ? am?2 即 (2m ? 2) ? (2m ? 4) ? 2m 得 4 ? 0 ,不可能成立 ………9分

当 m ? 1 时, a1 当 m ? 2 时, a2

? 1 , a2 ? 1, a3 ? 2 不成等比数列………………………11分 ? 1, a3 ? 2 , a4 ? 4 成等比数列………………………13分

所以存在 m ? 2 使得 20. (本小题满分14分)

am , am?1 , am?2 成等比数列……………………14分

(1) 证明: 如图, 设H是AD的中点, 可得 GH ? 3 , 则 GH ? EF , 又∵ GH // CD ,EF // CD ∴ GH // EF ,则 EFHG 为平行四边形, ……4分 故 EG// FH ,则 EG// 平面 ADF .……6分 (2)解:∵△ADF是以AD为斜边的等腰直角三角形。 ∴ FH ? AD,又∵平面 ADF

? 平面 ABCD
H

F

E

∴ F H ? 平面 ABCD,∴ EG ? 平面 ABCD……………………………………8分 ∴ ?EDG 是直线DE与平面ABCD所成的角……………………………9分
? ?

D G B

A

∵ ?ADC ? 120 ,∴ ?BAD ? 60 ,又∵ AB ? AD ? 2,∴ BD ? 2 …………10分
? ∴ ?ADB ? 60 ,又∵ CD ? 4 ,由余弦定理 BC ? 2 3 ……………………11分 ? ∴ ?DBC ? 90 , BG ? 3 ,∴ DG ?

7 ……………………………………12分
…………………………………13分

又∵ EG ? FH ? 1 ,∴ DE

?2 2

cos ?EDG ?


DG 14 ? DE 4

……………………………………………………14分

21. (本小题满分15分)

y ?1 ? ? ?1 2 (1)解:设 P( x, y) ,则 Q( x,?1) ∵ OP ? OQ ∴ x x 得y?x
∴ P点的轨迹C的方程为 y ? x ………………………………………………4分
2

y ? k(x ? 2) ? 2 (2)证明: 【方法一】设过点 A(? 2 ,2) 的直线为 ,

d?
由相切可知: 把直线方程

| ?2 ? 2k ? 2 | k 2 ?1

?1

得: k ? 1 得: k1
2
2

? ?1, k2 ? 1…………7分

y ? ?( x ? 2 ) ? 2

代入抛物线方程 y ? x 得:

2 x 2 ? x ? 2 ? 2 ? 0 得另一个根为: xM ? 2 ?1 ∴ M ( 2 ? 1, ( 2 ? 1) ) ………9分

把直线方程

y ? (x ? 2) ? 2

代入抛物线方程 y ? x 得:
2

2 x 2 ? x ? 2 ? 2 ? 0 得另一个根为: xN ? 2 ? 1∴ N ( 2 ? 1, ( 2 ? 1) ) ……11分



kMN ? 2 ? 1 ? 2 ? 1 ? 2 2
2 ? 1) ? ( 2 ? 1) 2 ? 2 2 x ? 1 , 即
…………13分

y ? 2 2(x ? ∴ 直 线 MN 的 方 程 为

2 2x ? y ? 1 ? 0
d?
∴圆心B到直线MN的距离

| ?2 ? 1 | ?1 8 ?1 ,所以直线MN与圆B相切

………15分

【方法二】设过点 A(? 2 ,2) 的直线为 y ? k ( x ? 2 ) ? 2 , 把直线方程 y ? k ( x ? 2 ) ? 2 代入抛物线方程 y ? x 得:
2

* 2 * x 2 ? kx ? 2k ? 2 ? 0 得另一个根为 x ? k ? 2 , y ? (k ? 2 ) ………7分

则 M (k1 ? 2, (k1 ? 2 ) ), N (k2 ? 2, (k 2 ? 2 ) )
2 2

………………8分

直线MN的方程为:

y ? (k1 ? k2 ? 2 2 )( x ? k1 ? 2 ) ? (k1 ? 2 ) 2 ? (k1 ? k2 ? 2 2 ) x ? (k1 ? 2)(k2 ? 2 )
…………………………10分

d?
由相切可知:

| ?2 ? 2k ? 2 | k 2 ?1

?1

得: k ? 1 得: k1
2

? ?1, k2 ? 1

∴直线MN的方程为: y ? 2 2x ? ( 2 ? 1)( 2 ? 1) ? 2 2x ? 1 即 2 2x ? y ? 1 ? 0 分 ………………………………………………………………13

d?
∴圆心B到直线MN的距离 22. (本小题满分15分)

| ?2 ? 1 | ?1 8 ?1 ,所以直线MN与圆B相切.

………15分

解: (1)∵ f ' ( x) ? 3x ? 2mx ? m ,
2

…………………………………1分



x??

1 3 2 3 是函数 f ( x) ? x ? mx ? mx ? 2 的一个极值点,

1 1 2m 1 1 f ' (? ) ? ? ?m? ? m?0 3 3 3 3 3 ∴ ,∴ m ? ?1
3 2 2

………………3分

∴ f ( x) ? x ? x ? x ? 2, f ' ( x) ? 3x ? 2x ? 1 ? (3x ? 1)( x ? 1)

x
f ' ( x) f ( x)

1 (?? ,? ] 3

?

1 3

1 [? ,1] 3
递减

1
0 极小值

[1,?? )

?
递增

0 极大值

?
递增

1 49 f (? ) ? ? 3 27 ,极小值 f (1) ? ?3 ∴ f ( x) 有极大值
(2)当 0 ? a ? 1 时, f ( x) 在

……………5分

1 1 [ ? a, ? ] [? , a] 3 上单调递增,在 3 上单调递减
2

f ( ?a) ? f ( a ) f ( ?a ) ? f ( a ) ? f ( a ) ? f ( ?a ) ? [ f ( a) ? ][ f (?a) ? ] ? ?? ?0 ? 2 2 2 ? ? ∵

f ( ?a ) ? f ( a ) 2 ∴ 在 f (?a) 与 f (a) 之间 f ( x) ? f ( ?a ) ? f ( a ) 2 在区间 [?a, a] 上不可能有两个不同的根.

∴方程

……9分

当 a ? 1 时, f ( x) 在

1 1 [ ? a, ? ] [? ,1] 3 上单调递增,在 3 上单调递减,在 [1, a] 上单调递增

∴ f ( x) 有极小值 f (1) ? ?3

f (?a) ? f (a) ? ? a 2 ? 2 ? ?3 ? f (1) 2 又∵

∴方程 分

f ( x) ?

f ( ?a ) ? f ( a ) 2 在区间 [?a, a] 上不可能有两个不同的根.

……………12

1 1 [?1,? ] [? ,1] 3 上单调递增,在 3 上单调递减 当 a ? 1 时, f ( x) 在
此时 f (?1) ? f (1) ? ?3 分 综上所述: a ? 1 . ………………………………………………………15分 命题:林荣 金长林 刘建永 戴海林 叶思迁 叶事一

∴方程

f ( x) ?

f (?1) ? f (1) ? ?3 2 有两个根为 ? 1.

……14


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