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创新设计-解析几何


北京大学附中 2013 版《创新设计》高考数学二轮复习考前抢分必备专题训练:解析几何 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 项是符合题目要求的) 1.直线 ax ? by ? c ? 0的斜率k ? ? 3, 倾斜角为? ,则sin? =( ) 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5

分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一

A. ? 【答案】B

3 2

B.

3 2

C.

3 3 或? 2 2
)

D. ?

1 2

2 .当圆 x2 +y2+2x+ky+k2=0 的面积最大时,圆心坐标是( A.(0,-1) 【答案】B 3.直线 ax ? by B.(-1,0) C.(1,-1)

D.(-1,1)

? 1 与圆 x 2 ? y 2 ? 1相交于不同的 A,B 两点(其中 a, b 是实数) ,且
)

??? ??? ? ? 1 OA ? OB ? 0 (O 是坐标原 点),则点 P (a, b) 与点 (0, ) 距离的取值范围为(

2

A. (1, ??) 【答案】D

B. (

1 , ??) 2

C. (

1 , 2) 2
)

D. (

1 1 , ? 2) 2 2

4.方程 x 2 +y 2 -x+y+m=0 表示圆则 m 的取值范围是( A. m≤2 【答案】C 5.已知 ab ? 0, bc ? 0 ,则直线 ax ? by ? c 通过( A.第一、二、三象限 C.第二、三、四象限 【答案】D
2 2

B. m<2

C. m<

1 2

D. m ≤

1 2

)

B.第一、二、四象限 D.第一、三、四象限

? x ? 3? ? ? y ? 2 ? ? 4 相交于 M,N 两点,若 MN ? 2 3 ,则 k 的取值 6.直线 y ? kx ? 3 与圆
范围是( )

? 3 ? 0 ? ? 4 ,? ? ? A.
? 3 3? , ? ?? ? 3 3 ? C.
【答案】A 7.如图,椭圆

3? ? ? ? ? ??, 4 ? ? ? 0, ? ? ? ? B.

? 2 ? 0 ? ? ,? D. ? 3 ?

x2 y2 ? ? 1 上的点 M 到焦点 F1 的距离为 2, N 为 MF1 的中点,则 ON ( O 为 25 9

坐标原点)的值为(

)

A.8 【答案】C

B.2

C. 4

D.

3 2

8. 过椭圆 的右焦点作 轴的垂线交椭圆于 A,B 两点, 已知双曲线的焦点在 轴上, 对称中心在坐标原点且两条渐近线分别过 A,B 两点,则双曲线的离心率 为( )

A. 【答案】B

B.

C.

D. 2

9.若椭圆和双曲线具有相同的焦点 F1 , F2 ,离心率分别为 e1 , e2 , P 且满足 PF ? PF ,则 1 ? 1 的值为( 1 2 2 2 )

是两曲线的一个公共点,

e1

e2

A.4 【答案】B 10.若椭圆

B.2

C. 1

D.

1 2

x2 y2 1 ? ? 1 的离心率为 ,则实数 m 等于( 2 m 2
B.

)

A.

3 8 或 2 3

3 2

C.

8 3

D.

3 2 或 8 3

【答案】A 11.圆形纸片的圆心为 O ,点 B 是圆内异于 O 点的一定点,点 A 是周围上一点,把纸片折叠 使 A 与点 B 重合, 然后展平纸片, 折痕与 OA 交于 P 点, 当点 A 运动时点 P 的轨迹是( A.圆 【答案】B 12.已知双曲线 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 )

x2 y 2 5 ? 2 ? 1(a>o,b>o)的一条渐近线方程是 y ? x ,它的一个焦点在抛 2 2 a b
)

物线 y ? 12 x 的准线上,则该双曲线的离心率等于(
2

A.

3 14 14

B.

3 2 4

C.

3 2
共 90 分)

D.

4 3

【答案】C 第Ⅱ卷(非选择题

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13.直线 l 1 过点(3,0) ,直线 l 2 过点(0, 4) ;若 l 1 ∥l 2 且 d 表示 l 1 到 l 2 之间的距离, 则 d 的取值范围是 【答案】 0 ? d 。

?5
2 ? 0 与圆 C :x 2 ? y 2 ? 4 相交于 A 、B 两 点,

14. 在平面直角坐标系中, 设直线 l : kx ? y ?

???? ??? ??? ? ? ? OM ? OA ? OB. 若点 M 在圆 C 上,则实数 k ? ___ .

【答案】 ?1 15.抛物线 y ? 6 x 的准线方程为
2

【答案】 x ? ?

5 3

16.已知点 P(x,y)是椭圆

x2 y?2 ? y 2 ? 1 上一动点,则 z ? 的范围为 x 2



【答案】 [

6 6 ,??) ? (??,? ] 2 2

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.在直角坐标系 xOy 中,以 O 为圆心的圆与直线 x ? 3 y ? 4 相切. (1)求圆 O 的方程; (2) 若圆 O 与 x 轴相交于 A B 两点, 圆内的动点 P 使 , 的取值范围. 【答案】 (1)依题设,圆 O 的半径 r 等于原点 O 到直线 x ? 3 y ? 4 的距离,

PA , , 成等比数列, PA ? PB PO PB 求



r?

4 ? 2 .得圆 O 的方程为 x 2 ? y 2 ? 4 . 1? 3
2

0) 0) (2)不妨设 A( x1,,B( x2,,x1 ? x2 .由 x ? 4 即得 A(?2,,B(2, . 0) 0)
设 P( x,y ) ,由

PA , , 成等比数列,得 PO PB

( x ? 2) 2 ? y 2 ? ( x ? 2) 2 ? y 2 ? x 2 ? y 2 ,


x2 ? y 2 ? 2 .
??? ??? ? ? PA?PB ? (?2 ? x, y )? ? x, y) ? x 2 ? 4 ? y 2 ? 2( y 2 ? 1). ? (2 ?

由于点 P 在圆 O 内,故 ?

? x 2 ? y 2 ? 4, ? 2 2 ? x ? y ? 2. ?

由此得 y ? 1 .
2

所以 PA ? PB 的取值范围为 [?2, . 0) 18.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 O: x ? y ? 25 ,圆 O1 的圆心为 O1 (m,0) ,且与圆 O
2 2

交于点 P(3,4) ,过点 P 且斜率为 k (k ? 0) 的直线 l 分别交圆 O,O1 于点 A,B. (1)若 k ? 1,且 BP ? 7 2 ,求圆 O1 的方程; (2) 过点 P 作垂直于直线 l 的直线 l1 分别交圆 O, 1 于点 C, 当 m 为常数时, O D. 试判断 AB 2 ? CD 2 是否是 定值 ?若是定值,求出这个值;若不是定值,请说明理由. 【答案】 (1) k ? 1 时,直线 l: y ? 4 ? x ? 3 ,即 x ? y ? 1 ? 0 , 由题意得: (

| m ? 1| 2 7 2 2 ) ?( ) ? (m ? 3) 2 ? 42 , 2 2

整理得, m2 ? 14m ? 0 ,解得 m ? 14 或 m ? 0 (舍去) , 所以圆 O1 的方程为 ( x ? 14) ? y ? 137 .
2 2

(2)设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , C ( x3 , y3 ) , D( x4 , y4 ) . 直线 l: y ? 4 ? k ( x ? 3) ,即 y ? kx ? (3k ? 4) ,

由?

? y ? kx ? (3k ? 4), 2 2 2 2 消去 y 得, (k ? 1) x ? (8k ? 6k ) x ? 9k ? 24k ? 9 ? 0 , 2 2 ? x ? y ? 25,

由韦达定理得 3 ? x1 ?
2

9k 2 ? 24k ? 9 , k 2 ?1
2

(法 2 即有 ( x ? 3)[(k ? 1) x ? (3k ? 8k ? 3)] ? 0 ) ,

得 x1 ?

3k 2 ? 8k ? 3 . k 2 ?1
y ? kx ? (3k ? 4),

由?

?

2 2 2 2 ?( x ? m) ? y ? (m ? 3) ? 4 ,
2 2 2 2

消去 y 得, (k ? 1) x ? (8k ? 6k ? 2m) x ? 9k ? 24k ? 9 ? 6m ? 0 ,

由韦达定理得 3 ? x2 ?

9k 2 ? 24k ? 9 ? 6m , k 2 ?1

(法 2 即有 ( x ? 3)[(k ? 1) x ? (3k ? 8k ? 3 ? 2m)] ? 0 )
2 2

得 x2 ?

3k 2 ? 8k ? 3 ? 2m . k 2 ?1 3k 2 ? 8k ? 3 3k 2 ? 8k ? 3 ? 2m 2m ? ? 2 2 2 k ?1 k ?1 k ?1
2 2 2 2

所以, x1 ? x2 ?

2m 2 4m 2 . AB ? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? (k ? 1)( x1 ? x2 ) ? (k ? 1)( 2 ) ? 2 k ?1 k ?1
2

2

同理可得, CD 2 ?

4m 2 4m 2 k 2 , ? 2 1 2 k ?1 (? ) ? 1 k

所以, AB ? CD ?
2 2

4 m 2 4m 2 k 2 ? ? 4m2 为定值. k 2 ?1 k 2 ?1

19.已知圆 C 通过不同的三点 P(m,0)、Q(2,0)、R(0,1) ,且圆 C 在点 P 处的切线的斜率为 1. (1)试求圆 C 的方程; (2)若点 A、B 是圆 C 上不同的两点,且满足 CP ? CA ? CP ? CB , ①试求直线 AB 的斜率; ②若原点 O 在以 AB 为直径的圆的内部,试求直线 AB 在 y 轴上的截距的范围。 【答案】 (1)设圆方程为 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,则圆心 C (?
2 2

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

D E ,? ) ,且 PC 的斜率为 2 2

-1

? 1? E ? F ? 0 ?4 ? 2 D ? F ? 0 ? D 2?m ? D ?1 ? ? ? ? E ?5 ? 2 ? 2 2 2 所以 ? 解得 ? ,所以圆方程为 x ? y ? x ? 5 y ? 6 ? 0 E F ? ?6 ? ? ? ?0 ? m ? ?3 ? 2 ? ?1 ? ? D ? ?m ? 2 ? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? (2)① CP ? CA ? CP ? CB ? CP ? (CA ? CB) ? 0 ? CP ? AB ? 0 ? CP ? AB ,所以 AB 斜率
为1 ②设直线 AB 方程为

y ? x ? t ,代入圆 C 方程得 2 x 2 ? (2t ? 6) x ? t 2 ? 5t ? 6 ? 0

? ?? ? 0 ? ?7 ? t ? 3 ? 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,则 ? x1 ? x 2 ? ?t ? 3 ? t 2 ? 5t ? 6 ? x1 x 2 ? 2 ?
原点 O 在以 AB 为直径的圆的内部,即整理得, t ? 2t ? 6 ? 0 ? ? 7 ? 1 ? t ?
2

7 ?1

20.已知椭圆 C :

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右顶点 A 为抛物线 y 2 ? 8 x 的焦点,上顶点为 B , 2 a b

离心率为

3 2

(1)求椭圆 C 的方程; (2)过点 (0, 2) 且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 相交于 P , Q 两点,若线段 PQ 的中点横坐标是

?

4 2 ,求直线 l 的方程。 5
2

【答案】 (1)抛物线 y ? 8 x 的焦点为 A(2,0) ,依题意可知 a ? 2

因为离心率 e ?

c 3 ,所以 c ? 3 ? a 2

[来源:Z+xx+k.Com]

故b ? a ?c ?1
2 2 2

所以椭圆 C 的方程为: (2)设直线 l : y ? kx ?

x2 ? y2 ? 1 4
2

由?

? y ? kx ? 2 ?
2 2 ?x ? 4 y ? 4 ?
2



消去 y 可得 (4k ? 1) x ? 8 2kx ? 4 ? 0
2

因为直线 l 与椭圆 C 相交于 P, Q 两点,

所以 ? ? 128k ? 16(4k ? 1) ? 0
2 2

解得 | k |?

1 2
?8 2k 4 , x1 x2 ? 2 2 4k ? 1 4k ? 1



x1 ? x2 ?

设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) , PQ 中 点 M ( x0 , y0 ) 因为线段 PQ 的中点横坐标是 ?

4 2 5

所以 x0 ? 解得 k

x1 ? x2 ?4 2k 4 2 ? 2 ?? 2 4k ? 1 5

? 1或 k ?

1 4

[来源:学+科+网 Z+X+X+K]

因为 | k |?

1 ,所以 k ? 1 2
2

因此所求直线 l : y ? x ?

21.已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值为 3 , 最小值为 1. (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程;

, (Ⅱ)若直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 相交于 A , B 两点( A B 不是左,右顶点) ,且以 AB 为
直径的圆过椭圆 C 的右顶点,求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标.

x2 y 2 ? ? 1. 3 【答案】 (I)∴ 4

? y ? kx ? m ? 2 ?x y2 ? ?1 ? A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8mkx ? 4(m2 ? 3) ? 0 , 3 (II)设 ,由 ? 4 得
? ? 64m2 k 2 ? 16(3 ? 4k 2 )(m2 ? 3) ? 0 ? 3 ? 4k 2 ? m2 ? 0

x1 ? x2 ? ?

8mk 4(m2 ? 3) , x1 ? x2 ? . 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
3(m 2 ? 4k 2 ) . 3 ? 4k 2

y1 ? y2 ? (kx1 ? m) ? (kx2 ? m) ? k 2 x1 x2 ? mk ( x1 ? x2 ) ? m 2 ?

?以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2, 0), k AD ? kBD ? ?1 ,
? y1 y2 ? ? ?1 y y ? x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0 x1 ? 2 x2 ? 2 , 1 2 ,

3(m2 ? 4k 2 ) 4(m 2 ? 3) 16mk ? ? ?4?0? 2 2 7m2 ? 16mk ? 4k 2 ? 0 3 ? 4k 3 ? 4k 3 ? 4k 2

[来源:Zxxk.Com]

解得

m1 ? ?2k , m2 ? ?

2k 7 ,且满足 3 ? 4k 2 ? m2 ? 0

当 m ? ?2k 时, l : y ? k ( x ? 2) ,直线过定点 (2, 0), 与已知矛盾;

m??


2k 2 2 l : y ? k(x ? ) ( , 0). 7 时, 7 ,直线过定点 7

2 ( , 0). 综上可知,直线 l 过定点,定点坐标为 7
22.已知平面内一动点 P 到点 F (1,0) 的距 离与点 P 到 y 轴的距离的差等于 1. (Ⅰ)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ) 过点 F 作两条斜率存在且互相垂直的直线 l1 , l2 , l1 与轨迹 C 相交于点 A, B ,l 2 与轨迹 C 设 相交于点 D, E ,求 AD, EB 的最小值. 【答案】 (I)设动点 P 的坐标为 ( x, y ) , 由题意为 ( x ? 1) ? y ? | x |? 1.
2 2

???? ??? ?

化简得 y ? 2 x ? 2 | x |,
2

当 x ? 0时, y ? 4 x;当x ? 0时,y=0.、
2

所以动点 P 的轨迹 C 的方程为 , y ? 4 x( x ? 0)和y=0(x ? 0).
2

(II)由题意知,直线 l1 的斜率存在且不为 0,设为 k ,则 l1 的方程为 y ? k ( x ? 1) . 由?

? y ? k ( x ? 1) 2 2 2 2 ,得 k x ? (2k ? 4) x ? k ? 0. 2 ? y ? 4x
[来源:学科网 ZXXK]

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则 x1 , x2 是上述方程的两个实根,于是

4 , x1 x2 ? 1 . k2 1 因为 l1 ? l2 ,所以 l 2 的斜率为 ? . k x1 ? x2 ? 2 ?
设 D( x3 , y3 ), B( x4 , y4 ), 则同理可得 x3 ? x4 ? 2 ? 4k , x3 x4 ? 1
2



? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? x3 x4 ? ( x3 ? x4 ) ? 1

当且仅当 k ?
2

???? ??? ? 1 即 k ? ?1 时, AD ? EB 取最小值 16。 2 k

[来源:学科网 ZXXK]


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