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考点18 解三角形应用举例


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考点 18 解三角形应用举例
一、填空题 1. (2013·福建高考理科·T13)如图,在△ABC 中,已知点 D 在 BC 边上,AD⊥AC, sin∠BAC=
2 2 ,AB= 3 2 ,AD=3,则 BD 的长为 3

.

【解题指南】显然,sin∠BAC=cos∠BAD,用余弦定理. 【解析】sin∠BAC=
? 2 2 = sin( ? ?BAD) =cos∠BAD, 2 3
2 2 =3, 3

在△BAD 中,BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cos∠BAD=18+9-2× 3 2 ×3× 所以 BD= 3 . 【答案】 二、解答题
3

2.(2013·重庆高考理科·T20)在△ ABC 中,内角 A 、 B 、 C 的对边分别是 a 、
b 、 c ,且 a2 ? b2 ? 2ab ? c2 .

(Ⅰ)求 C ; (Ⅱ)设 cos A cos B ?
3 2 cos(? ? A) cos(? ? B) 2 , ,求 tan ? 的值. ? 2 5 cos ? 5

-1-

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【解题指南】直接利用余弦定理可求出 C 的值,由和差公式及 C 的值通过化简可 求出 tan ? 的值. 【解析】 (Ⅰ)因为 a2 ? b2 ? 2ab ? c2 由余弦定理有 cosC ? (Ⅱ)由题意得
3? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2ab 2 ? ?? .故C ? . 4 2ab 2ab 2

(sin? sin A ? cos? cos A)(sin? sin B ? cos? cos B) 2 ? . 2 5 cos ? 2 . 5

因此 (tan? sin A ? cos A)(tan? sin B ? cos B) ?
(tan? sin A ? cos A)(tan? sin B ? cos B) ? 2 . 5

tan2 ? sin A sin B ? tan? sin( A ? B) ? cos A cos B ?
3? ? 2 A ? B ? , 所以 sin( A ? B) ? , 4 4 2

2 .① 5

因为 C ?

因为 cos(A ? B) ? cos A cosB ? sin Asin B, 即 解得 sin A sin B ?
3 2 2 2 ? ? . 5 2 10

3 2 2 ? sin A sin B ? , 5 2

由①得 tan2 ? ? 5 tan? ? 4 ? 0 , 解得 tan ? ? 1 或 tan ? ? 4 . 3. (2013·重庆高考文科·T18)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c, 且 a2=b2+c2+ 3 ab. (Ⅰ)求 A ; (Ⅱ) 设 a= 3 ,S 为△ABC 的面积,求 S+3cosBcosC 的最大值,并指出此时 B 的值. 【解题指南】 直接利用余弦定理可求出 A 的值, 再利用正弦定理求解 S+3cosBcosC
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的最大值,并指出此时 B 的值. 【解析】 (Ⅰ)由余弦定理得 cos A ? 又因为 0 ? A ? ? ,所以 A ?
b 2 ? c 2 ? a 2 ? 3bc ? 3 ? ? . 2bc 2bc 2

5? . 6 1 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 sin A ? , 又有正弦定理及 a ? 3 得 2 1 1 a sin B S ? bc sin A ? ? ? a sin C ? 3 sin B sin C , 2 2 sin A

因此, S ? 3 cosB cosC ? 3(sin B sin C ? cosB cosC) ? 3 cos(B ? C). 所以,当 B ? C ,即 B ?
??A
12 ?

?
12

时, S ? 3cos B cos C 取最大值 3 .

4. (2013·山东高考理科·T17)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a, b,c,且 a+c=6,b=2,cosB= . (1)求 a,c 的值; (2)求 sin(A-B)的值. 【解题指南】 (1)先由余弦定理 b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B 可得到 ac 的关系式,再和已 知 a+c=6 联立方程,可得 a,c 的值; (2)由 sin ? A ? B? ? sin A cos B ? cos A sin B 知, 需先求出 sinA,sinB,cosA,cosB 的值, 可先利用同角三角函数基本关系式求出 sinB, 然后由正弦定理求出 sinA,进而求得 cosA,从而本题得解. 【解析】 (1)由与余弦定理得 b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ,得 b2 ? ?a ? c?2 ? 2ac?1 ? cos B? 又 a+c=6,b=2,cosB= ,所以 ac=9,解得 a=3,c=3. (2)在△ABC 中, sin B ? 1 ? cos2 B ? 由正弦定理得 sin A ?
a sin B 2 2 ? . b 3 4 2 , 9
7 9 7 9

因为 a=c,所以 A 为锐角. 所以 cos A ? 1 ? sin 2 A ? .
-3-

1 3

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因此 sin ? A ? B ? ? sin A cos B ? cos A sin B ?

2 2 7 1 4 2 10 2 . ? ? ? ? 3 9 3 9 27

5. (2013·福建高考文科·T21)如图,在等腰直角 ?OPQ 中, ?POQ ? 90? , OP ? 2 2 , 点 M 在线段 PQ 上.

(I)若 OM ? 5 ,求 PM 的长; (II) 若点 N 在线段 MQ 上,且 ?MON ? 30? ,问:当 ?POM 取何值时, ?OMN 的面积最小? 并求出面积的最小值. 【解题指南】由等腰知 ?P ? 45? ,此时,?OPM 可解;第(II)问,按“求什么设什么” 列式求解,将面积表达式写出,利用三角函数计算公式求解。 【解析】 (Ⅰ)在 ?OMP 中, ?OPM ? 45? , OM ? 5 , OP ? 2 2 , 由余弦定理得, OM 2 ? OP2 ? MP2 ? 2 ? OP ? MP ? cos 45? ,得 MP2 ? 4 MP ? 3 ? 0 ,解得
MP ? 1或 MP ? 3 .

(Ⅱ)设 ?POM ? ? , 0? ? ? ? 60? , 在 ?OMP 中,由正弦定理,得 所以 OM ? 同理 ON ?
OP sin 45? , sin ? 45? ? ? ?
OM OP ? , sin ?OPM sin ?OMP

OP sin 45? , sin ? 75? ? ? ?
1 2

故 S?OMN ? ? OM ? ON ? sin ?MON

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1 OP2 sin 2 45? ? ? 4 sin ? 45? ? ? ? sin ? 75? ? ? ?

?

1 sin ? 45? ? ? ? sin ? 45? ? ? ? 30? ?
1 ? 3 ? 1 sin ? 45? ? ? ? ? sin ? 45? ? ? ? ? cos ? 45? ? ? ?? 2 ? 2 ?
1 3 2 1 sin ? 45? ? ? ? ? sin ? 45? ? ? ? cos ? 45? ? ? ? 2 2 1 3 1 1 ? cos ? 90? ? 2? ? ? ? sin ? 90? ? 2? ? ? ? ? 4 4
1 3 3 1 ? sin 2? ? cos 2? 4 4 4 1 3 1 ? sin ? 2? ? 30? ? 4 2

?

?

?

?

?

因为 0? ? ? ? 60? ,30? ? 2? ? 30? ? 150? ,所以当 ? ? 30? 时,sin ? 2? ? 30?? 的最大值为1, 此时 ?OMN 的面积取到最小值.即 ?POM ? 30? 时, ?OMN 的面积的最小值为
8?4 3 .

6.(2013·江苏高考数学科·T18)如图,游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处 有两种路径.一种是从 A 沿直线步行到 C,另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B,然 后从 B 沿直线步行到 C.现有甲、乙两位游客从 A 处下山,甲沿 AC 匀速步行,速 度为 50m/min.在甲出发 2min 后,乙从 A 乘缆车到 B,在 B 处停留 1min 后,再从 B 匀速步行到 C.假设缆车匀速直线运动的速度为 130m/min,山路 AC 长为 1260m, 经测量, cos A ?
12 3 , cos C ? . 13 5
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(1)求索道 AB 的长. (2)问:乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短? (3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟,乙步行的速度应控制在什 么范围内? 【解题指南】(1)利用正弦定理确定出 AB 的长.(2)先设再建立时间 t 与甲、乙间 距离 d 的函数关系式,利用关系式求最值.(3)利用条件 “使两位游客在 C 处互相等 待的时间不超过 3 分钟”建立不等式求解. 【解析】(1)在△ABC 中,因为 cosA= ,cosC= ,所以 sinA= ,sinC= . 从而 sinB=sin[π-(A+C)] =sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC =
5 3 12 4 63 ? ? ? ? , 13 5 13 5 65

AB AC 由正弦定理sinC =sinB ,得 AC 1260 4 AB=sinB ×sinC= =1040(m). ?
63 65 5

所以索道 AB 的长为 1040m. (2)假设乙出发 t 分钟后,甲、乙两游客距离为 d,此时,甲行走了(100+50t)m,乙距离 12 A 处 130tm,所以由余弦定理得 d2=(100+50t)2+(130t)2-2×130t×(100+50t)×13 =200(37t2-70t+50),
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1040 因 0≤t≤ 130 ,即 0≤t≤8, 35 故当 t=37 (min)时,甲、乙两游客距离最短. BC AC AC 1260 5 (3)由正弦定理sinA =sinB ,得 BC=sinB ×sinA= ? =500(m). 63 13
65

乙从 B 出发时,甲已走了 50×(2+8+1)=550(m),还需走 710m 才能到达 C. 设乙步行的速度为 vm/min,由题意得-3≤
500 710 1250 625 ? ?v? , ≤3,解得 v 50 43 14

所以为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟,乙步行的速度应控制在 1250 625 [ 43 , 14 ] (单位:m/min)范围内.

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