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任意角的三角函数教学设计


任意角的三角函数 教案设计
课题 年级 高一年级 探索任意角的三角函数 课型 新授课 课时 1 课时

教学 目标

教材 分析

1.知识与技能目标 (1)借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)概念。 (2)根据任意角的三角函数定义求出具体角的各三角函数值。 (3)根据定义探究出三角函数值在各个象

限的符号。 2.过程与方法目标 (1)经历观察、画图等实践操作活动,学生能够总结出任意角的三角 函数的定义,培养学生归纳总结能力。 (2)学生通过探究任意角三角函数定义的过程,能够归纳出如何求解 任意角的三角函数值,灵活运用数学知识解决实际问题,发展自主探 究意识,并培养学生的动手实践能力和逻辑思维的缜密性。 (3)在动手操作和情景设置过程中,领悟“观察-归纳”的思维方法, 同时,提高了数学思维水平。 3.情感态度与价值观目标 (1)初步感受逻辑上循序递进的思维方式,体验用“观察-归纳”的 方法对任意的三角函数的探究,培养学生的探究意识和合作精神。 (2)养成严谨、认真、理论联系实际的科学态度和学风。 1.本节教学主要内容 本节所授内容为人教版高中数学第一册下第四章第三节的内容。 主要通过创设情境,让学生通过观察与实验、类比联想、分析综合、 归纳演绎的方法探索出任意角的三角函数的定义。 2.课程标准对本节内容的要求 《义务教育课程标准(实验)》要求,探索并掌握任意角的三角 函数的定义,能够在具体问题中熟练应用。教学中应培养学生从情境 中学会观察、归纳概括结论。教师应保证基本的技能训练,引导学生 从实例中探索结论,并通过练习,使学生熟练掌握任意角的三角函数 定义,培养学生观察总结的能力。 3.本节内容的地位与作用 本节课是本学期的重要内容,是在掌握了任意角的三角函数定义 等内容基础上进行的。本节主要学习任意角的三角函数值,这是初中 数学中一个非常基础,较为重要的知识,三角函数是这一章的主线。 并让同学掌握如何求解任意角的三角函数值,结合单位圆的性质,探 究各三角函数值在不同象限的符号。在能力培养上,无论是逻辑思维 能力,推理论证能力,还是分析问题解决问题的能力,都可在三角函 数值的教学中得以培养和提高,因此三角函数值的教学对全章乃至以 后的学习都是至关重要的。

学情 分析

1.学生已有学习内容的经验 对于角的概念学生都已经掌握了一些,因此可以借助单位圆,引 导学生学习三角函数的定义,进而展开一系列概念,让同学能够运用 已学知识展开对新知识的学习。 2.学生已有经验基础 学生在学习本节课之前,已经掌握了角的基本概念,并且在上一 节课中,已经学习了角的概念和弧度制,结合单位圆,能够充分了解 角的特性。 3.学生的思维水平及学习风格 高一年级学生思维仍处于活跃阶段,好奇心强,模仿能力强,对 新知事物满怀探求的欲望。同时他们也具备了一定的学习能力,在老 师的指导下,能针对某一问题展开讨论并归纳总结。但是受年龄特征 的影响,对问题的探究不够透彻,举一反三能力和迁移能力有待培养。 4.学习中可能遇到的困难及解决方法 本节课学生的难点可能会出现在结合单位圆来学习三角函数的定 义并判断在不同象限的符号。针对这个难点,我将给学生尽量充足的 思考时间和讨论时间,并让学生各抒己见,如果学生思路有偏差,我 会加以引导,由学生最后总结出探究三角函数的定义

教 学 重 点 、 难 点

重 点

任意角的函数值得定义

难 点

求解任意角的三角函数值

教学 方法

图形结合、小组讨论法、讲练结合法

教学资 源与教 学手段

教学手段:多媒体辅助教学 教学资源:教具(直尺,三角板,圆规等)、幻灯片、投影仪。

教学 过程

教师教授 活动

学生学习 活动

设计意图

1、温习旧知 a.首先,教师通过提问问题 学生回忆以 采用提问方 带领同学回顾初中学习的锐 前所学知识,并积 式,使学生记忆更 角三角函数的定义。 极主动回答问题。 加深刻,同时鼓励 B.然后,教师通过提问带领 学生勤于思考。温 同学探究在直角坐标系下锐 故而知新,为探究 角的三角函数是否能用其终 新知识做准备。 边上的点的坐标来表示。 2、做好铺垫 a. 教师提问:在上述做法 中,改变点 P 在终边上的位 置,这三个比值会改变吗? 经过学生回答,教师给出确 切答案,即:不会。根据相 似三角形的知识,对于确定 的角,三个比值不以点 P 在 的终边上的位置的改变而改 变大小. b.教师提问:在上述的情况 下,分别做直角、钝角,该 如何用坐标表示他们的三角 函数值? C. 将上述的任意角置于单 位圆中是否能够方便简化三 角函数的表示方法? 3、情景体验 教师让学生各自在一张 纸上画直角坐标系,并任意 画一个锐角,使得角的顶点 与原点重合, 角的始边位于 x 轴,并用坐标表示角的终边 上任意一点,利用坐标表示 锐角的三角函数。并画出单 位圆,将任意角置于单位圆 中。

复 习 引 入 设 置 情 景
(6 分钟)

学生通过动手 操作、复习了以前 所学的知识,经过 思考与理解,非常 容易得出正确答 案。 学生圆规画出 单位圆,将任意角 置于单位圆中,结 合锐角三角函数 值的表示方法,同 学积极思考如何 表示任意角的三 角函数。

学生了解在直 角坐标系下如何 利用角的终边的 坐标表示锐角三 角函数,对任意角 三角函数如何定 义及表示,产生了 强烈的求知欲望, 使得同学们都集 中了注意力。

同学积极按 照老师的要求,利 用支持和圆规,建 立直角坐标系,以 原点为圆心画出 单位圆,并画出任 意角,用坐标表示 任意角终边上一 点的坐标。

通过让学生自 己动手作图的过 程中,逐步了解由 锐角三角函数引 申到任意角三角 函数,让学生对知 识点有一个更深 的了解。

1.动手操作(20 分钟) (1)让学生各自在一张纸上 画直角坐标系,并任意画一 个锐角,使得角的顶点与原 点重合,角的始边位于 x 轴, 并用坐标表示角的终边上任 意一点,利用坐标表示锐角 的三角函数。并画出单位圆, 将任意角置于单位圆中。如 下图:

学生通过观 察判断老师直角 坐标系下的单位 圆,以及由坐标表 示任意角的终边 一点的坐标,并利 用坐标表示三角 函数,对任意三角 函数的概念有了 初步的了解。

使学生清楚 地看见任意角的 三角函数如何定 义,并熟悉尺规作 图的步骤,对该知 识点有更深层次 的了解。

Y

探 究 发 现

1 ?

P(a,b) x

O

M

A(1,0)

同时提高学生 对于实际经验、提 高同学的动手能 力,更重要的是培 养学生的发散性 思维和探索创新 精神及合作学习 的能力。

图一 学 习 新 知
(22 分钟)

Y
P(x,y) ?
O A(1,0)

x

图二

(2)由 图 形 我 们 可 以 得 到 锐角三角函数的表示方法: MP sin ? ? ?b OP OM cos ? ? ?a OP MP b tan ? ? ? OM a

(3)在 单 位 圆 下 表 示 任 意 学生通过观察 使学生清楚地 角的三角函数方法: 和思考,学习如何 看 见 任 意 角 的 三 如图,设 ? 是一个任意 利用单位圆表示 角函数如何定义 角 , 它的终边与单位圆交于 任 意 角 的 三 角 函 同 时 更 加 激 发 了 数。 学生一探究竟的 点 P( x, y ) ,那么 欲望。
a). y 叫做 ? 的正弦,记做 sin ? 即

sin ? ? y ;

b). x 叫 做 ? 的 余 弦 , 记 做 cos? , 即 cos? ? x ; c).

y 叫做 ? 的正切,记做 x y tan ? , 即 tan ? ? ( x ? 0) 。 x

(4)三角函数的定义域和函

数值符号
y ? sin ? 的定义域为 R;
y ? cos ? 的定义域为 R;

y ? tan ? 的定义域

学生认真观察老 师画图的过程,并 在老师的引导下, 自主判断三角函 数的定义域,并判 断不同象限角的 符号。

引导学生自主学 习,独立思考,让 学生对这一知识 有更为深刻的理 解。

{? | ? ?

?
2

? k? , k ? Z }


符号:

2.相互交流(2 分钟) 教师要求学生之间相互 比较自已画的任意角与别人 的区别,并尝试用坐标表示 同学画的任意角的三角函 数。并练习表示在不同象限 的任意角的三角函数的符 号。

学生按照教师 所分的组别准备 好,分别比较了不 同,并练习用坐标 表示同学画的任 意角的三角函数。

仿照教师在 此之前的演示,学 生可是动手操作, 一是培养学生动 手操作能力,二是 检验学生学习能 力,三是培养学生 独立探索的精神, 最后,通过动手操 作过程,使学生对 于本节课的重点 印象深刻,更能够 让学生体验到成 功的喜悦,也是教 师对学生表现出 的情感态度的关 注。

归 纳 整 理 得 出 结 论
(4 分钟)

教师根据课程需要设置 同学们自己动手探究的环 节,让同学们在体验在直角 坐标系下用坐标表示三角函 数,并求得任意角的三角函 数值。同时让学生掌握判断 不同象限下任意角的符号。 教师对应做出解答,学生们 已完全掌握三角函数的定 义,并可以计算任意角的三 角函数值。

同学们自己 动手操作,通过视 觉的直观感受,同 学间的语言经验 交流,可得知:任 意角的三角函数 的定义以及函数 值的求解方法,同 时掌握判断不同 象限下任意角的 符号。

本环节的设 置在于对本节课 进行整理回顾,让 同学们回归课本 本节内容中心思 想掌握任意角的 三角函数。

教师根据本节课所学内容随 堂布置两道小题 1. 已知角 α 的终边与单位圆

1 3 的交点是 P(? , ) , 求角α 2 2
的正弦、余弦和正切值。 教师的讲解: 随 堂 练 习 课 堂 总 结
(13 分钟)

sin ? ?

3 , 2

1 cos ? ? ? , 2
tan? ? ? 3 。
2.求角 切值。 教师的讲解:
2? 的正弦、余弦和正 3

学生根据本 节课学习的任意 角的三角函数的 定义知识,在课堂 上独立完成老师 布置得两道小题, 并注意在做题中 遇到的困惑,向老 师寻求帮助,或在 老师讲解后审视 自己的错误,最后 巩固一边习题,达 到当堂学会的效 果。

使学生充分 发挥当堂的学习 的热情,并把新知 识更加深刻的应 用到习题中去,并 且可以帮助老师 当堂检验学生们 的学习状况及学 习效果,以达到及 时发现同学们的 易错点,并可以及 时进行修正和教 授。

sin ? ?

3 ; 2

1 cos ? ? ? ; 2
tan? ? ? 3 。

课堂小结及作业 教师对于同学们的课堂 表现进行讲解总结,并对同 学们容易错的地方进行提醒 强调。最后对本节课进行小 结,并布置作业。 家庭作业为: 1. 确 定 下 列 三 角函 数 值 的符号: (1) cos 2500

学生对本节 课内容进行复习 巩固,在回家之后 按时做老师布置 的家庭作业,严格 按照老师的要求, 发挥自己的创新 能力,并准备次日 在课堂的展示。

? (2) sin( ? ) 4
(3) tan(?6720 ) (4) tan 3? 2. 求 切值。 3. 已 知 角 β 的 终 边 过 点
P( 2 2 ,? ) ,求角 β 的三 2 2
5? 的正弦 , 余弦和正 3

使学生可以 在课后对所学的 知识进行回顾和 加深领悟。本次设 置纸质作业一是 让学生通过手写 计算,巩固知识 点,二是通过在课 堂的展示来提高 课堂的学习氛围。 并可以提高学生 对知识的深层理 解能力,并让学生 对知识产生更大 的探究兴趣。

个三角函数值。 4. 求角
7? 的三个三角 6

函数值。
5. 已 知 角 ? 的 终 边 过 点

P0 (?3, ?4) ,求角 ? 的正弦 ,
余弦和正切值.

1.独立自主能力培养的把握 设计中出现的问题 按照最初的教学设计,在学生探索“在单位圆中画出任意角,并 用坐标表示终边上任意一点的坐标”是学生自主动手操作,教师参与 少,稍过于强调学生的自主能力,此方面应做到适当,因此,经过试 讲与讨论,最终将探索“给出一个条件或两个条件时”改为教师带领 学生一起探索。 2.时间分配 此设计中时间分配不足之处 按照最初的教学设计,“探究发现”的动手操作部分设计时间为 25 分钟,经过试讲,发现此时间设置稍长,占据了一堂课的大部分时 间,也使学生处于活跃状态的时间过长,课堂氛围不容易把控,最后 也会导致课堂小结和布置作业的时间较仓促,令教学任务的完成有所 困难。因此应将此部分减短几分钟,也正因如此,经过几次修改,将 此部分改为 22 分钟。 3.课堂各方面细节的把握 a.启发学生提出问题 在教学设计中,每一个环节安排紧凑,且提出问题均为教师提出 问题,学生确有思考的机会,但是在一定程度上缺少了发散思维、学 生自主提出问题(例如,如何让用坐标表示单位圆中任意角的终边一 点坐标)的机会。 b.关注学生水平差异 在分组时,是随机分组,没有考虑到学生之间的个性差异和成绩 差异,可能会导致某一组由于学生学习水平的差异而完成时间相差过 多,这样不仅会导致浪费时间,还会使成绩较差的学生产生不自信的 心理; C.没有依据性别差异分别设计教学过程 男生女生对于图形的直观感觉是不同的,而这节课大部分运用了 数形结合的思想,借助了很多图形的帮助,这就可能会不同性别的学 生,理解程度也就会不一样,会影响到教学效果。 但是只要适当利用好教学工具,达到尽可能佳的教学效果即可。 4.练习恰当 布置练习的不足之处 按照最初教学设计,学生在学习理论知识后,课堂练习布置较少。

教学 反思

板书设计 4.3 任意角的三角函数

一、锐角三角函数的定义

三、判断不同象限下任意角的符号 定义:

Y

sin ? ?
P(a,b)
?

O

M

x

MP b ? OP r OM b cos? ? ? OP r MP b tan? ? ? OM a

判断原则:

二、在单位圆中用坐标表示三角函数值 随堂演练
Y

Y
1 ?

P(a,b) x

P(x,y) ?

O

M

A(1,0)

O

A(1,0)

x


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