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国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题(第15届)无答案


国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题(第 15 届) 1. OP1, OP2, ... , OP2n+1 是平面上的单位向量,其中点 P1, P2, ... , P2n+1 都 是位于通过点 O 的一条直线的同一侧,求证 |OP1 + ... + OP2n+1| >= 1. 2. 问能否在空间中找到一个不共面的有限点集 M 使得,对 M 中的任何两点 A、B,都 可以再在 M 中寻找到两点 C、D,而直线 AB、CD 是不相同的并且是互相平行的. 3. 考虑所有这样的实数 a、b 使得方程 x4 + ax3 + bx2 + ax + 1 = 0 至少有一个实根.试找出 a2 + b2 的最小值. 4. 一个士兵需要在一个等边三角形的区域内探测有没有地雷,他的扫雷器的半径是三 角形高的一半,士兵从三角形的一个定点出发,试问如果要完成任务且使行程最短他应 该走什么样的路径? 5. G 是具有下述形式且非常值的函数的集合: f(x) = ax + b,其中 a, b,x 都是实数. 并且已知 G 具有这些性质: ? ? ? 如果 f,g 都属于 G,则 fg(x) = f(g(x)) 也属于 G; 如果 f 属于 G,则 f-1(x) = x/a - b/a 也属于 G; 对任何 f 属于 G,存在一个实数 xf 使得 f(xf) = xf 成立. 求证:存在实数 M 使得 f(M)=M 对所有 G 中的函数 f 都成立. 6. a1, a2, ... , an 是正实数, 实数 q 满足 0 < q < 1, 试求出 n 格实数 b1, b2, ... , bn 使得: a. ai < bi ,i = 1, 2, ... , n; b. q < bi+1/bi < 1/q , i = 1, 2, ... , n-1; c. b1 + b2 + ... + bn < (a1 + a2 + ... + an)(1 + q)/(1 - q). 1

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