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初高中衔接课


初高中数学衔接教材 目 录
引 入 乘法公式 第一讲 因式分解 1. 1 提取公因式 1. 2. 公式法(平方差,完全平方,立方和,立方差) 1. 3 分组分解法 1. 4 十字相乘法(重、难点) 1. 5 关于 x 的二次三项式 ax2+bx+c(a≠0)的因式分解. 第二讲 函数与方程 2.1 一元二次方程 2.1.1 根的判别式 2.1.2 根与系数的关系(韦达定

理) 2.2 二次函数 2.2.1 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质 2.2.2 二次函数的三种表示方式 2.2.3 二次函数的简单应用 第三讲 三角形的“四心”

乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式: (1)平方差公式 (a + b)(a ? b) = a 2 ? b 2 ; (2)完全平方公式 (a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2 . 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式: (1)立方和公式 (a + b)(a 2 ? ab + b 2 ) = a 3 + b3 ; (2)立方差公式 (a ? b)(a 2 + ab + b 2 ) = a 3 ? b 3 ; (3)三数和平方公式 (a + b + c)2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2(ab + bc + ac) ; (4)两数和立方公式 (a + b)3 = a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b3 ; (5)两数差立方公式 (a ? b)3 = a 3 ? 3a 2b + 3ab 2 ? b3 . 对上面列出的五个公式,有兴趣的同学可以自己去证明. 例 1 计算: ( x + 1)( x ? 1)( x 2 ? x + 1)( x 2 + x + 1) . 解法一: 解法一:原式= ( x 2 ? 1) ?( x 2 + 1) 2 ? x 2 ? ? ?
= ( x 2 ? 1)( x 4 + x 2 + 1) = x6 ? 1 . 解法二:原式= ( x + 1)( x 2 ? x + 1)( x ? 1)( x 2 + x + 1)
= ( x 3 + 1)( x3 ? 1) = x6 ? 1 . 例 2 已知 a + b + c = 4 , ab + bc + ac = 4 ,求 a 2 + b 2 + c 2 的值. 解: a 2 + b 2 + c 2 = (a + b + c) 2 ? 2(ab + bc + ac) = 8 . 习
1.填空: (1)



1 2 1 2 1 1 a ? b = ( b + a) ( 9 4 2 3 2 (2) (4m + ) = 16m 2 + 4m + (
2 2 2 2

) ;

); ).
( (D) )

(3 ) (a + 2b ? c) = a + 4b + c + ( 2.选择题: (1)若 x +
2

1 mx + k 是一个完全平方式,则 k 等于 2 1 2 1 2 2 (A) m (B) m (C) m 4 3 2 2 (2)不论 a , b 为何实数, a + b ? 2a ? 4b + 8 的值
(A)总是正数 (C)可以是零

1 2 m 16


( (B)总是负数 (D)可以是正数也可以是负数

第一讲 因式分解
因式分解的主要方法有: 十字相乘法、 提取公因式法、 公式法、 分组分解法, 另外还应了解求根法及待定系数法. 1.十字相乘法 例1 分解因式: (1)x2-3x+2; (3) x 2 ? (a + b) xy + aby 2 ; (2)x2+4x-12; (4) xy ? 1 + x ? y .

解: 1)如图 1.1-1,将二次项 x2 分解成图中的两个 x 的积,再将常数项 ( 2 分解成-1 与-2 的乘积,而图中的对角线上的两个数乘积的和为-3x,就是 x2-3x+2 中的一次项,所以,有 x2-3x+2=(x-1)(x-2).
x x -1 -2 1 1 -1 -2 1 1 图 1.1-3 -2 6 x x -ay -by

图 1.1-1

图 1.1-2

图 1.1-4

说明:今后在分解与本例类似的二次三项式时,可以直接将图 1.1-1 中的 . 两个 x 用 1 来表示(如图 1.1-2 所示) (2)由图 1.1-3,得 x2+4x-12=(x-2)(x+6). (3)由图 1.1-4,得
x 2 ? (a + b) xy + aby 2 = ( x ? ay )( x ? by )
x y 图 1.1-5 -1 1

(4) xy ? 1 + x ? y =xy+(x-y)-1 =(x-1) (y+1) (如图 1.1-5 所示) . 课堂练习
一、填空题: 1、把下列各式分解因式:

(1) x + 5 x ? 6 = __________________________________________________。
2 2 2 2

(2) x ? 5 x + 6 = __________________________________________________。 (3) x + 5 x + 6 = __________________________________________________。 (4) x ? 5 x ? 6 = __________________________________________________。
2

(5) x 2 ? (a + 1)x + a = __________________________________________________。 (6) x ? 11x + 18 = __________________________________________________。 (7) 6 x + 7 x + 2 = __________________________________________________。
2

(8) 4 m ? 12 m + 9 = __________________________________________________。
2

(9) 5 + 7 x ? 6 x = __________________________________________________。
2

(10) 12 x 2 + xy ? 6 y 2 = __________________________________________________。
2 2、 x ? 4 x +

= (x + 3)(x +

)

3、若 x + ax + b = (x + 2 )(x ? 4 ) 则 a = ,b = 二、选择题: (每小题四个答案中只有一个是正确的)
2
2 2 2 2 2



1、在多项式(1) x + 7 x + 6 (2) x + 4 x + 3 (3) x + 6 x + 8 (4) x + 7 x + 10 (5) x + 15 x + 44 中,有相同因式的是( ) A、只有(1) (2) B、只有(3) (4) C、只有(3) (5) D、 (1)和(2)(3)和(4)(3)和(5) ; ; ) 2、分解因式 a + 8ab ? 33b 得( A 、 (a + 11)(a ? 3) B 、 (a + 11b )(a ? 3b )
2 2

(a ? 11b)(a + 3b) 2 ) 3、 (a + b ) + 8(a + b ) ? 20 分解因式得( A、 (a + b + 10 )(a + b ? 2 ) B、 (a + b + 5)(a + b ? 4 ) C、 (a + b + 2 )(a + b ? 10 ) D、 (a + b + 4 )(a + b ? 5) 2 4、若多项式 x ? 3 x + a 可分解为 (x ? 5)(x ? b ) ,则 a 、 b 的值是(
A、 a = 10 , b = 2

C 、 (a ? 11b )(a ? 3b )

D、

) D、 a = ?10 , )

A、 3 或 9 B、 ± 3 C、 ± 9 三、把下列各式分解因式 1、 6(2 p ? q ) ? 11(q ? 2 p ) + 3
2

5、若 x 2 + mx ? 10 = (x + a )(x + b ) 其中 a 、 b 为整数,则 m 的值为( D、 ± 3 或 ± 9

b=2

B、 a = 10 , b = ?2

C、 a = ?10 , b = ?2

2、 a ? 5a b + 6ab
3 2

2

3、 2 y 2 ? 4 y ? 6

4、 b ? 2b ? 8
4 2

2.提取公因式法

分解因式: (1) a 2 (b ? 5) + a (5 ? b ) (2 ) x 3 + 9 + 3 x 2 + 3 x 解: (1) a 2 (b ? 5) + a (5 ? b ) = a (b ? 5)(a ? 1) . 3 (2) x + 9 + 3 x 2 + 3 x = ( x 3 + 3 x 2 ) + (3 x + 9) = x 2 ( x + 3) + 3( x + 3) = ( x + 3)( x 2 + 3) . 或 3 2 x + 9 + 3 x + 3 x = ( x 3 + 3 x 2 + 3 x + 1) + 8 = ( x + 1)3 + 8 = ( x + 1)3 + 23 = [( x + 1) + 2][( x + 1) 2 ? ( x + 1) × 2 + 2 2 ] = ( x + 3)( x 2 + 3) 课堂练习:
一、填空题: 2、 m(x ? y ) + n( y ? x ) = (x ? y ) ? __________________。 1、多项式 6 x 2 y ? 2 xy 2 + 4 xyz 中各项的公因式是_______________。

例2

4、 m(x ? y ? z ) + n( y + z ? x ) = (x ? y ? z ) ? _____________________。 5、 m(x ? y ? z ) ? x + y + z = (x ? y ? z ) ? ______________________。 6、 ? 13ab x ? 39 a b x 分解因式得_____________________。
2 6 3 2 5

3、 m(x ? y ) + n( y ? x ) = (x ? y ) ? ____________________。
2 2 2

7.计算 99 + 99 =
2

二、判断题: (正确的打上“√” ,错误的打上“×” )

2、 am + bm + m = m(a + b ) …………………………………………………………… ( 4、 x + x
n n ?1

1、 2 a 2 b ? 4 ab 2 = 2 ab(a ? b ) ………………………………………………………… (

) ) ) )

3、 ? 3 x 3 + 6 x 2 ? 15 x = ?3 x x 2 + 2 x ? 5 …………………………………………… (

=x

n ?1

(x + 1) ………………………………………………………………

(

)



3:公式法
例3 分解因式: (1) ? a 4 + 16
2

(2) (3 x + 2 y ) ? (x ? y )
2

2

解:(1) ? a 4 + 16 = 4 2 ? (a 2 ) 2 = (4 + a 2 )(4 ? a 2 ) = (4 + a 2 )(2 + a )(2 ? a )
2

(2) (3 x + 2 y ) ? (x ? y ) = (3 x + 2 y + x ? y )(3 x + 2 y ? x + y ) = (4 x + y )(2 x + 3 y )

课堂练习 2 2 2 2 3 3 一、 a ? 2 ab + b , a ? b , a ? b 的公因式是______________________________。
二、判断题: (正确的打上“√” ,错误的打上“×” ) 1、

3、 25a ? 16b = (5a + 4b )(5a ? 4b ) …………………………………………………
2

4 2 ?2 ? ?2 ??2 ? 2 x ? 0.01 = ? x ? ? (0.1) = ? x + 0.1? ? x ? 0.1? ………………………… ( 9 ?3 ? ?3 ??3 ? 2 2 2 2 2、 9 a ? 8b = (3a ) ? (4b ) = (3a + 4b )(3a ? 4b ) ………………………………… (
4、 ? x ? y = ? x ? y
2 2 2 2

2

) ) ) ) )

5、 a 2 ? (b + c ) = (a + b + c )(a ? b + c ) ……………………………………………… ( 五、把下列各式分解 1、 ? 9(m ? n ) + (m + n )
2 2

(

2

) = ?(x + y )(x ? y ) ………………………………………… (
2、 3 x ?
2



1 3
2

3、 4 ? x ? 4 x + 2
2

(

)

2

4、 x ? 2 x + 1
4

4.分组分解法 例4 (1) x 2 ? xy + 3 y ? 3 x (2) 2 x 2 + xy ? y 2 ? 4 x + 5 y ? 6 . (2) 2 x 2 + xy ? y 2 ? 4 x + 5 y ? 6 = 2 x 2 + ( y ? 4) x ? y 2 + 5 y ? 6 = 2 x 2 + ( y ? 4) x ? ( y ? 2)( y ? 3) = (2 x ? y + 2)( x + y ? 3) . 或 2 x 2 + xy ? y 2 ? 4 x + 5 y ? 6 = (2 x 2 + xy ? y 2 ) ? (4 x ? 5 y ) ? 6 = (2 x ? y )( x + y ) ? (4 x ? 5 y ) ? 6 = (2 x ? y + 2)( x + y ? 3) . 课堂练习:用分组分解法分解多项式(1) x 2 ? y 2 + a 2 ? b 2 + 2ax + 2by 2 2 (2) a ? 4 ab + 4b ? 6 a + 12b + 9

5.关于 x 的二次三项式 ax2+bx+c(a≠0)的因式分解. 的两个实数根是 若关于 x 的方程 ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0) 的两 个实数根是 x1 、 x2 , 则二次三项式 ax 2 + bx + c(a ≠ 0) 就可分解为 a ( x ? x1 )( x ? x2 ) .

例5

把下列关于 x 的二次多项式分解因式: (1 ) x 2 + 2 x ? 1 ; (2) x 2 + 4 xy ? 4 y 2 .

解: (1)令 x 2 + 2 x ? 1 =0,则解得 x1 = ?1 + 2 , x2 = ?1 ? 2 , : ∴ x 2 + 2 x ? 1 = ? x ? (?1 + 2) ? ? x ? (?1 ? 2) ? ? ?? ?
= ( x + 1 ? 2)( x + 1 + 2) .

(2)令 x 2 + 4 xy ? 4 y 2 =0,则解得 x1 = (?2 + 2 2) y , x1 = (?2 ? 2 2) y , ∴ x 2 + 4 xy ? 4 y 2 =[ x + 2(1 ? 2) y ][ x + 2(1 + 2) y ] . 练 习
多项式 2 x 2 ? xy ? 15 y 2 的一个因式为 (A) 2 x ? 5 y 2.分解因式: (1)x2+6x+8; (3)x2-2x-1; (B) x ? 3 y (C) x + 3 y ( (D) x ? 5 y ) 1.选择题:

(2)8a3-b3; (4) 4( x ? y + 1) + y ( y ? 2 x ) .

习题 1.2 .

1.分解因式: (1) a + 1 ;
3

(2) 4 x ? 13 x + 9 ;
4 2

(3) b + c + 2ab + 2ac + 2bc ;
2 2

(4) 3 x 2 + 5 xy ? 2 y 2 + x + 9 y ? 4 .

2.在实数范围内因式分解: (1) x ? 5 x + 3 ;
2

(2) x ? 2 2 x ? 3 ;
2

(3) 3 x 2 + 4 xy ? y 2 ;
2 2 2

(4) ( x ? 2 x) ? 7( x ? 2 x) + 12 .
2 2 2

3. ?ABC 三边 a , b , c 满足 a + b + c = ab + bc + ca ,试判定 ?ABC 的形状. 4.分解因式:x2+x-(a2-a).

第二讲 函数与方程
2.1 一元二次方程
2.1.1 根的判别式
{情境设置:可先让学生通过具体实例探索二次方程的根的求法, 情境设置:可先让学生通过具体实例探索二次方程的根的求法, 情境设置 2 2 2 如求方程的根(1) x + 2 x ? 3 = 0 (2) x + 2 x + 1 = 0 (3) x + 2 x + 3 = 0 } 如求方程的根( )

我们知道,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) ,用配方法可以将其变 形为 b b 2 ? 4ac ( x + )2 = . ① 2a 4a 2 因为 a≠0,所以,4a2>0.于是 (1)当 b2-4ac>0 时,方程①的右端是一个正数,因此,原方程有两个不 相等的实数根

?b ± b 2 ? 4ac ; 2a (2)当 b2-4ac=0 时,方程①的右端为零,因此,原方程有两个等的实数
x1,2= 根 x1=x2=-
b ; 2a b 2 ) 2a

(3) b2-4ac<0 时, 当 方程①的右端是一个负数, 而方程①的左边 ( x +

一定大于或等于零,因此,原方程没有实数根. 由此可知,一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况可以由 b2-4ac 来判定, 我们把 b2-4ac 叫做一元二次方程 ax2+bx+c=0 a≠0) 根的判别式 ( 的根的判别式 根的判别式, 通常用符号“?”来表示. 综上所述,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 有 ,有 对于一元二次方程 + = ( ) , (1) 当 ?>0 时,方程有两个不相等的实数根 ) >

?b ± b 2 ? 4ac x1,2= ; 2a (2)当 ?=0 时,方程有两个相等的实数根 ) = b x1=x2=- ; 2a 方程没有实数根. (3)当 ?<0 时,方程没有实数根. ) < 例 1 判定下列关于 x 的方程的根的情况(其中 a 为常数) ,如果方程有实 数根,写出方程的实数根. (1)x2-3x+3=0; (2)x2-ax-1=0; (3) x2-ax+(a-1)=0; (4)x2-2x+a=0. 解: 1)∵?=32-4×1×3=-3<0,∴方程没有实数根. ( (2)该方程的根的判别式 ?=a2-4×1×(-1)=a2+4>0,所以方程一定有

两个不等的实数根

a + a2 + 4 a ? a2 + 4 , x2 = . 2 2 (3)由于该方程的根的判别式为 ?=a2-4×1×(a-1)=a2-4a+4=(a-2)2, 所以, ①当 a=2 时,?=0,所以方程有两个相等的实数根 x1=x2=1; ②当 a≠2 时,?>0, 所以方程有两个不相等的实数根 x1=1,x2=a-1. (3)由于该方程的根的判别式为 ?=22-4×1×a=4-4a=4(1-a), 所以 ①当 ?>0,即 4(1-a) >0,即 a<1 时,方程有两个不相等的实数根 x1 = 1 + 1 ? a , x2 = 1 ? 1 ? a ; ②当 ?=0,即 a=1 时,方程有两个相等的实数根 x1=x2=1; ③当 ?<0,即 a>1 时,方程没有实数根. 说明: 说明:在第 3,4 小题中,方程的根的判别式的符号随着 a 的取值的变化而 分类 变化,于是,在解题过程中,需要对 a 的取值情况进行讨论,这一方法叫做分类 讨论.分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法,在今后的解题 讨论 中会经常地运用这一方法来解决问题. x1 =

2.1.2 根与系数的关系(韦达定理) 根与系数的关系(韦达定理)
若一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根

?b + b 2 ? 4ac ?b ? b 2 ? 4ac x1 = , x2 = , 2a 2a
则有

x1 + x2 = x1 x2 =

?b + b 2 ? 4ac ?b ? b 2 ? 4ac ?2b b + = =? ; 2a 2a 2a a

?b + b 2 ? 4ac ?b ? b 2 ? 4ac b 2 ? (b 2 ? 4ac) 4ac c ? = = 2 = . 2a 2a 4a 2 4a a 所以,一元二次方程的根与系数之间存在下列关系:
b 如果 ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别是 x1,x2,那么 x1+x2= ? ,x1·x2 + = ( ) a c 韦达定理. = .这一关系也被称为韦达定理 韦达定理 a 特别地,对于二次项系数为 1 的一元二次方程 x2+px+q=0,若 x1,x2 是其 两根,由韦达定理可知 x1+x2=-p,x1·x2=q, 即 p=-(x1+x2),q=x1·x2, 所以,方程 x2+px+q=0 可化为 x2-(x1+x2)x+x1·x2=0,由于 x1,x2 是一 元二次方程 x2+px+q=0 的两根,所以,x1,x2 也是一元二次方程 x2-(x1+x2)x +x1·x2=0.因此有 为根的一元二次方程( 以两个数 x1,x2 为根的一元二次方程(二次项系数为 1)是 ) 2 x -(x1+x2)x+x1·x2=0. + .

例 2 已知方程 5 x + kx ? 6 = 0 的一个根是 2,求它的另一个根及 k 的值. 分析:由于已知了方程的一个根,可以直接将这一根代入,求出 k 的值,再 由方程解出另一个根. 但由于我们学习了韦达定理, 又可以利用韦达定理来解题, 即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项, 于是可以利用两根之 积求出方程的另一个根,再由两根之和求出 k 的值. 解法一:∵2 是方程的一个根, ∴5×22+k×2-6=0, ∴k=-7. 3 所以,方程就为 5x2-7x-6=0,解得 x1=2,x2=- . 5 3 所以,方程的另一个根为- ,k 的值为-7. 5 6 3 解法二:设方程的另一个根为 x1,则 2x1=- ,∴x1=- . 5 5 3 k 由 (- )+2=- ,得 k=-7. 5 5
2

3 所以,方程的另一个根为- ,k 的值为-7. 5

例3 已知关于 x 的方程 x2+2(m-2)x+m2+4=0 有两个实数根,并且这 两个实数根的平方和比两个根的积大 21,求 m 的值. 分析: 本题可以利用韦达定理,由实数根的平方和比两个根的积大 21 得到 关于 m 的方程,从而解得 m 的值.但在解题中需要特别注意的是,由于所给的 方程有两个实数根,因此,其根的判别式应大于零. 解:设 x1,x2 是方程的两根,由韦达定理,得 x1+x2=-2(m-2),x1·x2=m2+4. 2 2 ∵x1 +x2 -x1·x2=21, ∴(x1+x2)2-3 x1·x2=21, 即 [-2(m-2)]2-3(m2+4)=21, 化简,得 m2-16m-17=0, 解得 m=-1,或 m=17. 当 m=-1 时,方程为 x2+6x+5=0,?>0,满足题意; 当 m=17 时,方程为 x2+30x+293=0,?=302-4×1×293<0,不合题意, 舍去. 综上,m=17. 说明: (1)在本题的解题过程中,也可以先研究满足方程有两个实数根所对 然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大 21”求出 m 的值, 应的 m 的范围, 取满足条件的 m 的值即可. (1)在今后的解题过程中,如果仅仅由韦达定理解题时,还要考虑到根的 判别式 ? 是否大于或大于零.因为,韦达定理成立的前提是一元二次方程有实 数根. 例 4 已知两个数的和为 4,积为-12,求这两个数. 分析: 我们可以设出这两个数分别为 x, 利用二元方程求解出这两个数. y, 也 可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解. 解法一:设这两个数分别是 x,y, 则 x+y=4, ① xy=-12. ② 由①,得 y=4-x, 代入②,得 x(4-x)=-12, 即 x2-4x-12=0, ∴x1=-2,x2=6. ? x = ?2, ? x = 6, ∴? 1 或? 2 ? y1 = 6, ? y2 = ?2. 因此,这两个数是-2 和 6. 解法二:由韦达定理可知,这两个数是方程 x2-4x-12=0 的两个根. 解这个方程,得 x1=-2,x2=6.

所以,这两个数是-2 和 6. 说明: 从上面的两种解法我们不难发现, 解法二 (直接利用韦达定理来解题) 要比解法一简捷. 例 5 若 x1 和 x2 分别是一元二次方程 2x2+5x-3=0 的两根. (1)求| x1-x2|的值; 1 1 (2)求 2 + 2 的值; x1 x2 3 (3)x1 +x23. 解:∵x1 和 x2 分别是一元二次方程 2x2+5x-3=0 的两根, 5 3 ∴ x1 + x2 = ? , x1 x2 = ? . 2 2 5 3 (1)∵| x1-x2|2=x12+ x22-2 x1x2=(x1+x2)2-4 x1x2= (? ) 2 ? 4 × (? ) 2 2 25 49 = +6 = , 4 4 7 ∴| x1-x2|= . 2 5 3 25 (? ) 2 ? 2 × (? ) +3 2 2 2 1 1 x +x (x + x ) ? 2x x 37 2 = 4 (2) 2 + 2 = 1 2 22 = 1 2 2 1 2 = 2 = . 3 2 9 x1 x2 x1 ? x2 ( x1 x2 ) 9 (? ) 2 4 (3)x13+x23=(x1+x2)( x12-x1x2+x22)=(x1+x2)[ ( x1+x2) 2-3x1x2] 5 5 3 215 =(- )×[(- )2-3×( ? )]=- . 2 2 2 8 说明:一元二次方程的两根之差的绝对值 两根之差的绝对值是一个重要的量,今后我们经常会 两根之差的绝对值 遇到求这一个量的问题,为了解题简便,我们可以探讨出其一般规律: 设 x1 和 x2 分别是一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) ,则

x1 =

?b + b 2 ? 4ac ?b ? b 2 ? 4ac , x2 = , 2a 2a
?b + b 2 ? 4ac ?b ? b 2 ? 4ac 2 b 2 ? 4ac ? = 2a 2a 2a

∴| x1-x2|=

b 2 ? 4ac ? = = . |a| |a| 于是有下面的结论:

,则 若 x1 和 x2 分别是一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 则| x1-x2|= + =( ) , =

? (其 |a|

中 ?=b2-4ac) = ) . 今后, 在求一元二次方程的两根之差的绝对值时, 可以直接利用上面的结论.
例 6 若关于 x 的一元二次方程 x2-x+a-4=0 的一根大于零、另一根小于零,求实数 a 的取值范围. 解:设 x1,x2 是方程的两根,则 x1x2=a-4<0, ① ② 且 ?=(-1)2-4(a-4)>0.

由①得 由②得 练 习
1.选择题:

a<4, 17 a< 4 .∴a 的取值范围是 a<4.

(1)方程 x ? 2 3kx + 3k = 0 的根的情况是 ( ) (A)有一个实数根 (B)有两个不相等的实数根 (C)有两个相等的实数根 (D)没有实数根 (2)若关于 x 的方程 mx2+ (2m+1)x+m=0 有两个不相等的实数根,则实数 m 的取值 范围是 ( )
2 2

(A)m<

1 4 1 (C)m< ,且 m≠0 4

1 4 1 (D)m>- ,且 m≠0 4
(B)m>-

2.填空: (1)若方程 x2-3x-1=0 的两根分别是 x1 和 x2,则 (2)方程 mx2+x-2m=0(m≠0)的根的情况是 (3)以-3 和 1 为根的一元二次方程是

1 1 + = x1 x2

. . .

3.已知 a 2 + 8a + 16 + | b ? 1|= 0 ,当 k 取何值时,方程 kx2+ax+b=0 有两个不相等的实 数根? 4.已知方程 x2-3x-1=0 的两根为 x1 和 x2,求(x1-3)( x2-3)的值.

习题 2.1 A 组
1.选择题: (1)已知关于 x 的方程 x2+kx-2=0 的一个根是 1,则它的另一个根是( (A)-3 (B)3 (C)-2 (D)2 (2)下列四个说法: ①方程 x2+2x-7=0 的两根之和为-2,两根之积为-7; ②方程 x2-2x+7=0 的两根之和为-2,两根之积为 7; ③方程 3 x2-7=0 的两根之和为 0,两根之积为 ? )

7 ; 3

④方程 3 x2+2x=0 的两根之和为-2,两根之积为 0. 其中正确说法的个数是 ( ) (A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个 (3)关于 x 的一元二次方程 ax2-5x+a2+a=0 的一个根是 0,则 a 的值是( ) (A)0 (B)1 (C)-1 (D)0,或-1 2.填空: (1)方程 kx2+4x-1=0 的两根之和为-2,则 k= . 2 2 2 (2)方程 2x -x-4=0 的两根为 α,β,则 α +β = . (3)已知关于 x 的方程 x2-ax-3a=0 的一个根是-2,则它的另一个根是 . 2 . (4)方程 2x +2x-1=0 的两根为 x1 和 x2,则| x1-x2|=

3. 试判定当 m 取何值时, 关于 x 的一元二次方程 m2x2-(2m+1) x+1=0 有两个不相等的实 数根?有两个相等的实数根?没有实数根? 4.求一个一元二次方程,使它的两根分别是方程 x2-7x-1=0 各根的相反数.

B



1.选择题: 若 关 于 x 的 方 程 x2 + (k2 - 1) x + k + 1 = 0 的 两 根 互 为 相 反 数 , 则 k 的 值 为 ( ) (A)1,或-1 (B)1 (C)-1 (D)0 2.填空: (1)若 m,n 是方程 x2 +2005x-1=0 的两个实数根,则 m2n+mn2 -mn 的值等 于 . (2)如果 a,b 是方程 x2+x-1=0 的两个实数根,那么代数式 a3+a2b+ab2+b3 的值 是 . 2 3.已知关于 x 的方程 x -kx-2=0. (1)求证:方程有两个不相等的实数根; (2)设方程的两根为 x1 和 x2,如果 2(x1+x2)>x1x2,求实数 k 的取值范围. 4.一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为 x1 和 x2.求: (1)| x1-x2|和

x1 + x2 ; 2

(2)x13+x23. 5.关于 x 的方程 x2+4x+m=0 的两根为 x1,x2 满足| x1-x2|=2,求实数 m 的值.

C 组
1.选择题: (1)已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程 2x2-8x+7=0 的两根,则这个直 角三角形的斜边长等于 ( ) (A) 3 (B)3 (C)6 (D)9 ( (D) )

(2)若 x1,x2 是方程 2x2-4x+1=0 的两个根,则 (A)6 (B)4

x1 x2 + 的值为 x2 x1

(C)3

3 2

(3)如果关于 x 的方程 x2-2(1-m)x+m2=0 有两实数根 α,β,则 α+β 的取值范围为 ( ) (A)α+β≥

1 2

(B)α+β≤

1 2

(C)α+β≥1

(D)α+β≤1

(4)已知 a,b,c 是 ?ABC 的三边长,那么方程 cx2+(a+b)x+

c =0 的根的情况是 4
( )

(A)没有实数根 (B)有两个不相等的实数根 (C)有两个相等的实数根 (D)有两个异号实数根 2.填空: 若方程 x2-8x+m=0 的两根为 x1,x2,且 3x1+2x2=18,则 m= . 3. 已知 x1,x2 是关于 x 的一元二次方程 4kx2-4kx+k+1=0 的两个实数根. (1)是否存在实数 k,使(2x1-x2)( x1-2 x2)=- 在,说明理由; (2)求使

3 成立?若存在,求出 k 的值;若不存 2

x1 x2 + -2 的值为整数的实数 k 的整数值; x2 x1

(3)若 k=-2, λ =
2

x1 ,试求 λ 的值. x2

4.已知关于 x 的方程 x ? ( m ? 2) x ?

m2 =0. 4

(1)求证:无论 m 取什么实数时,这个方程总有两个相异实数根; (2)若这个方程的两个实数根 x1,x2 满足|x2|=|x1|+2,求 m 的值及相应的 x1,x2. 5.若关于 x 的方程 x2+x+a=0 的一个大于 1、零一根小于 1,求实数 a 的取值范围.

2.2 .

二次函数

2.2.1 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质 = + 的图象
{情境设置:可先让学生通过具体实例探索二次函数的图象, 情境设置:可先让学生通过具体实例探索二次函数的图象, 情境设置 2 2 2 作图( ) 如作图(1) y = x (2) y = ? x (3) y = x + 2 x ? 3 教师可采用计算机绘图软件辅助教 学}

函数 y=ax2 与 y=x2 的图象之间存在怎样的关系? 1 为了研究这一问题,我们可以先画出 y=2x2,y= x2,y=-2x2 的图象,通 2 2 过这些函数图象与函数 y=x 的图象之间的关系,推导出函数 y=ax2 与 y=x2 的 图象之间所存在的关系. 先画出函数 y=x2,y=2x2 的图象. 先列表: x … 0 1 2 3 … -3 -2 -1 2 x … 9 4 1 0 1 4 9 … 2 2x … 18 8 2 0 2 8 18 2 从表中不难看出, 要得到 2x 的值, 只要把相应 y 2 y=x2 的 x 的值扩大两倍就可以了. y=2x2 再描点、连线,就分别得到了函数 y=x2,y= 2x2 的图象(如图 2-1 所示) ,从图 2-1 我们可以 得到这两个函数图象之间的关系:函数 y=2x2 的图 象可以由函数 y=x2 的图象各点的纵坐标变为原来 的两倍得到. 同学们也可以用类似于上面的方法画出函数 y 1 x O = x2,y=-2x2 的图象,并研究这两个函数图象 2 图 2.2-1 与函数 y=x2 的图象之间的关系. 通过上面的研究,我们可以得到以下结论: y 二次函数 y=ax2(a≠0)的图象可以由 y=x2 = 的图象可以由 = y=2(x+1)2+1 的图象各点的纵坐标变为原来的 a 倍得到.在 倍得到. 二次函数 y=ax2(a≠0)中,二次项系数 a 决定了 = 中 y=2(x+1)2 图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的 y=2x2 大小. 大小. 问题 2 函数 y=a(x+h)2+k 与 y=ax2 的图 象之间存在怎样的关系? 同样地, 我们可以利用几个特殊的函数图象 之间的关系来研究它们之间的关系.同学们可 以作出函数 y=2(x+1)2+1 与 y=2x2 的图象 (如 x -1 O ,从函数的同学我们不难发现, 图 2-2 所示) 问题 1
图 2.2-2

只要把函数 y=2x2 的图象向左平移一个单位,再向上平移一个单位,就可以得 到函数 y=2(x+1)2+1 的图象.这两个函数图象之间具有“形状相同,位置不同” 的特点. 类似地,还可以通过画函数 y=-3x2,y=-3(x-1)2+1 的图象,研究它们 图象之间的相互关系. 通过上面的研究,我们可以得到以下结论: 二次函数 y=a(x+h)2+k(a≠0)中, 决定了二次函数图象的开口大小及方向; = + 中 a 决定了二次函数图象的开口大小及方向; h 决定了二次函数图象的左右平移,而且 正左移,h 负右移 ;k 决定了二次 决定了二次函数图象的左右平移,而且“h 正左移, 负右移”; 函数图象的上下平移,而且“k 正上移, 负下移”. 函数图象的上下平移,而且 正上移,k 负下移 . 由上面的结论,我们可以得到研究二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的方 法: b b b2 b2 2 2 2 由于 y=ax +bx+c=a(x + x )+c=a(x + x + 2 )+c- a a 4a 4a 2 b b ? 4ac = a( x + )2 + , 2a 4a 所以,y=ax2+bx+c(a≠0)的图象可以看作是将函数 y=ax2 的图象作左右平 移、上下平移得到的,于是,二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)具有下列性质: b 4ac ? b 2 , ), (1)当 a>0 时,函数 y=ax2+bx+c 图象开口向上;顶点坐标为 ( ? ) > = + 图象开口向上; 2a 4a b b b 的增大而减小; 对称轴为直线 x=- =- ;当 x< ? < 时,y 随着 x 的增大而减小;当 x> ? > 时,y 随着 2a 2a 2a b 4ac ? b 2 x 的增大而增大;当 x= ? 的增大而增大; = 时,函数取最小值 y= = . 2a 4a b 4ac ? b 2 (2) a<0 时, , ), 当 < 函数 y=ax2+bx+c 图象开口向下; = + 图象开口向下; 顶点坐标为 ( ? 2a 4a b b b 的增大而增大; 对称轴为直线 x=- =- ;当 x< ? < 时,y 随着 x 的增大而增大;当 x> ? > 时,y 随着 2a 2a 2a b 4ac ? b 2 x 的增大而减小;当 x= ? 的增大而减小; 时,函数取最大值 y= = . = 2a 4a
上述二次函数的性质可以分别通过图 2.2-3 和图 2.2-4 直观地表示出来.因此,在 今后解决二次函数问题时,可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题. y y A (?

b x=- 2a

b 4ac ? b 2 , ) 2a 4a

O A (?

x

O x=- 图 2.2-4

x

b 4ac ? b 2 , ) 2a 4a

b 2a

图 2.2-3

例 1 求二次函数 y=-3x2-6x+1 图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、 最大值(或最小值) ,并指出当 x 取何值时,y 随 x 的增大而增大(或减小)?并 画出该函数的图象. 解:∵y=-3x2-6x+1=-3(x+1)2+4, A(-1,4) y ∴函数图象的开口向下; 对称轴是直线 x=-1; 顶点坐标为(-1,4); 当 x=-1 时,函数 y 取最大值 y=4; 当 x<-1 时,y 随着 x 的增大而增大;当 x> D(0,1) -1 时,y 随着 x 的增大而减小; 采用描点法画图,选顶点 A(-1,4)),与 x 轴 O B x C 2 3 ?3 2 3+3 交于点 B ( , 0) 和 C (? , 0) ,与 y 轴的交 3 3 点为 D(0,1),过这五点画出图象(如图 2-5 所示) . x=-1 说明:从这个例题可以看出,根据配方后得到的 图 2.2-5 性质画函数的图象,可以直接选出关键点,减少了选 点的盲目性,使画图更简便、图象更精确. 图象作图要领: 函数 y=ax2+bx+c 图象 (1) 确定开口方向:由二次项系数 a 决定 b (2) 确定对称轴:对称轴方程为 x = ? 2a (3) 确定图象与 x 轴的交点情况,①若△>0 则与 x 轴有两个交点,可 求出②①若△=0 则与 x 轴有一个交点,可由 由方程 x2+bx+c=0 求出 方程 x2+bx+c=0 求出③①若△<0 则与 x 轴有无交点。 求出 (4) 确定图象与 y 轴的交点情况,令 x=0 得出 y=c, 所以交点坐标为 0, ( c) (5) 由以上各要素出草图。
练习:作出以下二次函数的草图 (1) y = x 2 ? x ? 6 (2) y = x 2 + 2 x + 1 (3) y = ? x 2 + 1

例 2 某种产品的成本是 120 元/件,试销阶段每件产品的售价 x(元)与产 品的日销售量 y(件)之间关系如下表所示: 130 150 165 x /元 70 50 35 y/件 若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数,那么,要使每天所获得最大的利润, 每件产品的销售价应定为多少元?此时每天的销售利润是多少? 分析:由于每天的利润=日销售量 y×(销售价 x-120),日销售量 y 又是销售 价 x 的一次函数,所以,欲求每天所获得的利润最大值,首先需要求出每天的利 润与销售价 x 之间的函数关系,然后,再由它们之间的函数关系求出每天利润的 最大值.

解:由于 y 是 x 的一次函数,于是,设 y=kx+(B) 将 x=130,y=70;x=150,y=50 代入方程,有 ?70 = 130k + b, ? ?50 = 150k + b, 解得 k=-1,b=200. ∴ y=-x+200. 设每天的利润为 z(元) ,则 z=(-x+200)(x-120)=-x2+320x-24000 =-(x-160)2+1600, ∴当 x=160 时,z 取最大值 1600. 答:当售价为 160 元/件时,每天的利润最大,为 1600 元.
例 3 把二次函数 y=x2+bx+c 的图像向上平移 2 个单位,再向左平移 4 个单位,得到 函数 y=x2 的图像,求 b,c 的值. b b2 解法一:y=x2+bx+c=(x+ )2 + c ? ,把它的图像向上平移 2 个单位,再向左平移 4 2 4 2 b b 个单位,得到 y = ( x + + 4)2 + c ? + 2 的图像,也就是函数 y=x2 的图像,所以, 2 4 ? b ? ? 2 ? 4 = 0, ? 解得 b=-8,c=14. ? 2 ?c ? b + 2 = 0, ? 4 ? 解法二:把二次函数 y=x2+bx+c 的图像向上平移 2 个单位,再向左平移 4 个单位, 得到函数 y=x2 的图像,等价于把二次函数 y=x2 的图像向下平移 2 个单位,再向右平移 4 个单位,得到函数 y=x2+bx+c 的图像. 由于把二次函数 y=x2 的图像向下平移 2 个单位,再向右平移 4 个单位,得到函数 y= (x-4)2+2 的图像,即为 y=x2-8x+14 的图像,∴函数 y=x2-8x+14 与函数 y=x2+bx+c 表示同一个函数,∴b=-8,c=14. 说明:本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题,所以,同学们要 牢固掌握二次函数图像的变换规律. 这两种解法反映了两种不同的思维方法: 解法一, 是直接利用条件进行正向的思维来解 决的,其运算量相对较大;而解法二,则是利用逆向思维,将原来的问题等价转化成与之等 价的问题来解,具有计算量小的优点.今后,我们在解题时,可以根据题目的具体情况,选 择恰当的方法来解决问题. 例 4 已知函数 y=x2,-2≤x≤a,其中 a≥-2,求该函数的最大值与最小值,并求出函 数取最大值和最小值时所对应的自变量 x 的值. 分析:本例中函数自变量的范围是一个变化的范围,需要对 a 的取值进行讨论. 解: (1)当 a=-2 时,函数 y=x2 的图象仅仅对应着一个点(-2,4),所以,函数的最 大值和最小值都是 4,此时 x=-2; (2)当-2<a<0 时,由图 2.2-6①可知,当 x=-2 时,函数取最大值 y=4;当 x =a 时,函数取最小值 y=a2; (3)当 0≤a<2 时,由图 2.2-6②可知,当 x=-2 时,函数取最大值 y=4;当 x=0 时,函数取最小值 y=0; (4)当 a≥2 时,由图 2.2-6③可知,当 x=a 时,函数取最大值 y=a2;当 x=0 时, 函数取最小值 y=0.

y
4 4

y

y

a2
4

-2

说明: 在本例 x O a 2 x O O a x -2 a -2 中,利 用了分 ③ ② ① 类讨论 图 2.2-6 的 方 法,对 a 的所有可能情形进行讨论.此外,本例中所研究的二次函数的自变 量的取值不是取任意的实数,而是取部分实数来研究,在解决这一类 问题时,通常需要借助于函数图象来直观地解决问题. 习

a

2

a2



1.选择题: (1)下列函数图象中,顶点不在坐标轴上的是 ( ) 2 2 (A)y=2x (B)y=2x -4x+2 (C)y=2x2-1 (D)y=2x2-4x (2)函数 y=2(x-1)2+2 是将函数 y=2x2 ( ) (A)向左平移 1 个单位、再向上平移 2 个单位得到的 (B)向右平移 2 个单位、再向上平移 1 个单位得到的 (C)向下平移 2 个单位、再向右平移 1 个单位得到的 (D)向上平移 2 个单位、再向右平移 1 个单位得到的 2.填空题 -2), m= 则 , n= . (1) 二次函数 y=2x2-mx+n 图象的顶点坐标为(1, (2)已知二次函数 y=x2+(m-2)x-2m,当 m= 时,函数图象的顶点在 y 轴上;当 m= 时,函数图象的顶点在 x 轴上;当 m= 时,函数图象经过原点. (3)函数 y=-3(x+2)2+5 的图象的开口向 ,对称轴为 ,顶点坐标 为 ;当 x= 时,函数取最 值 y= ;当 x 时,y 随着 x 的增大而减小. 3.求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大(小)值及 y 随 x 的变化情况, 并画出其图象. (1)y=x2-2x-3; (2)y=1+6 x-x2. 4.已知函数 y=-x2-2x+3,当自变量 x 在下列取值范围内时,分别求函数的最大值 或最小值,并求当函数取最大(小)值时所对应的自变量 x 的值: (1)x≤-2; (2)x≤2; (3)-2≤x≤1; (4)0≤x≤3.

2.2.2 二次函数的三种表示方式
通过上一小节的学习,我们知道,二次函数可以表示成以下两种形式: 1.一般式:y=ax2+bx+c(a≠0); .一般式: = + ; 2.顶点式:y=a(x+h)2+k (a≠0),其中顶点坐标是 -h,k). .顶点式: = + ,其中顶点坐标是(- , . 除了上述两种表示方法外,它还可以用另一种形式来表示.为了研究另一种 表示方式,我们先来研究二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与 x 轴交点个数. 当抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴相交时,其函数值为零,于是有 ax2+bx+c=0. ①

并且方程①的解就是抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴交点的横坐标(纵坐 标为零) ,于是,不难发现,抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴交点个数与方程① 的解的个数有关,而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式 ?=b2-4ac 有 关,由此可知,抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴交点个数与根的判别式 ?=b2 -4ac 存在下列关系: (1)当 ?>0 时,抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴有两个交点;反过来, ) > = + 与 轴有两个交点;反过来, 若抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴有两个交点,则 ?>0 也成立. = + 与 轴有两个交点, > 也成立. (2)当 ?=0 时,抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴有一个交点(抛物线的 ) = = + 与 轴有一个交点( 顶点) 反过来, ;反过来 顶点) 反过来,若抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴有一个交点,则 ?=0 也成 ; = + 与 轴有一个交点, = 立. (3)当 ?<0 时,抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴没有交点;反过来,若 ) < = + 与 轴没有交点;反过来, 抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴没有交点,则 ?<0 也成立. = + 与 轴没有交点, < 也成立. 于是,若抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴有两个交点 A(x1,0),B(x2,0), 则 x1,x2 是方程 ax2+bx+c=0 的两根,所以 b c x1+x2= ? ,x1x2= , a a b c 即 =-(x1+x2), =x1x2. a a b c 所以,y=ax2+bx+c=a( x 2 + x + ) a a 2 = a[x -(x1+x2)x+x1x2] =a(x-x1) (x-x2). 由上面的推导过程可以得到下面结论: 两点, 若抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴交于 A(x1,0),B(x2,0)两点,则其函数 = + 与 , 两点 关系式可以表示为 y=a(x-x1) (x-x2) (a≠0). = - - .

这样,也就得到了表示二次函数的第三种方法: 3.交点式:y=a(x-x1) (x-x2) (a≠0),其中 x1,x2 是二次函数图象与 x 轴交 .交点式: = - - , 点的横坐标. 点的横坐标. 今后,在求二次函数的表达式时,我们可以根据题目所提供的条件,选用一 般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题.
例 1 已知某二次函数的最大值为 2,图像的顶点在直线 y=x+1 上,并且图象经过点 (3,-1) ,求二次函数的解析式. 分析:在解本例时,要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置,从而可以 将二次函数设成顶点式,再由函数图象过定点来求解出系数 a. 解:∵二次函数的最大值为 2,而最大值一定是其顶点的纵坐标, ∴顶点的纵坐标为 2. 又顶点在直线 y=x+1 上, 所以,2=x+1,∴x=1. ∴顶点坐标是(1,2) . 设该二次函数的解析式为 y = a ( x ? 2)2 + 1(a < 0) , ∵二次函数的图像经过点(3,-1) , 2 ∴ ?1 = a (3 ? 2) + 1 ,解得 a=-2. ∴二次函数的解析式为 y = ?2( x ? 2)2 + 1 ,即 y=-2x2+8x-7. 说明:在解题时,由最大值确定出顶点的纵坐标,再利用顶点的位置求出顶点坐标,然 后设出二次函数的顶点式, 最终解决了问题. 因此, 在解题时, 要充分挖掘题目所给的条件, 并巧妙地利用条件简捷地解决问题. 例 2 已知二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),且顶点到 x 轴的距离等于 2,求此二 次函数的表达式. 分析一: 由于题目所给的条件中, 二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图 象与 x 轴的交点坐标,于是可以将函数的表达式设成交点式. 解法一:∵二次函数的图象过点(-3,0),(1,0), ∴可设二次函数为 y=a(x+3) (x-1) (a≠0), 展开,得 y=ax2+2ax-3a, 顶点的纵坐标为

?12a 2 ? 4a 2 = ?4a , 4a
1 . 2 1 2 3 1 3 x + x ? ,或 y=- x 2 ? x + . 2 2 2 2

由于二次函数图象的顶点到 x 轴的距离 2, ∴|-4a|=2,即 a= ±

所以,二次函数的表达式为 y=

分析二:由于二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),所以,对称轴为直线 x=-1,又 由顶点到 x 轴的距离为 2,可知顶点的纵坐标为 2,或-2,于是,又可以将二次函数的表达 式设成顶点式来解,然后再利用图象过点(-3,0),或(1,0),就可以求得函数的表达式. 解法二:∵二次函数的图象过点(-3,0),(1,0), ∴对称轴为直线 x=-1. 又顶点到 x 轴的距离为 2, ∴顶点的纵坐标为 2,或-2. 于是可设二次函数为 y=a(x+1)2+2,或 y=a(x+1)2-2, 由于函数图象过点(1,0), ∴0=a(1+1)2+2,或 0=a(1+1)2-2.

∴a=-

1 1 ,或 a= . 2 2

1 1 (x+1)2+2,或 y= (x+1)2-2. 2 2 说明: 上述两种解法分别从与 x 轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度, 利用交点式和顶点式来解题,在今后的解题过程中,要善于利用条件,选择恰当 的方法来解决问题. 例 3 已知二次函数的图象过点(-1,-22),(0,-8),(2,8),求此二次函 数的表达式. 解:设该二次函数为 y=ax2+bx+c(a≠0). 由函数图象过点(-1,-22),(0,-8),(2,8),可得 ??22 = a ? b + c, ? ? ?8 = c , ?8 = 4a + 2b + c, ? 解得 a=-2,b=12,c=-8. 所以,所求的二次函数为 y=-2x2+12x-8. 通过上面的几道例题,同学们能否归纳出:在什么情况下,分别利用函数的 一般式、顶点式、交点式来求二次函数的表达式?
所以,所求的二次函数为 y=-





1.选择题: (1)函数 y=-x2+x-1 图象与 x 轴的交点个数是 ( ) (A)0 个 (B)1 个 (C)2 个 (D)无法确定 1 2 (2)函数 y=- (x+1) +2 的顶点坐标是 ( ) 2 (A)(1,2) (B)(1,-2) (C)(-1,2) (D)(-1,-2) 2.填空: (1)已知二次函数的图象经过与 x 轴交于点(-1,0)和(2,0),则该二次函数的解析式可 (a≠0) . 设为 y=a 2 (2)二次函数 y=-x +2 3x+1 的函数图象与 x 轴两交点之间的距离为 . 3.根据下列条件,求二次函数的解析式. (1)图象经过点(1,-2),(0,-3),(-1,-6); (2)当 x=3 时,函数有最小值 5,且经过点(1,11); (3)函数图象与 x 轴交于两点(1- 2,0)和(1+ 2,0),并与 y 轴交于(0,-2).

2.2.3 二次函数的简单应用
一、函数图象的平移变换与对称变换 1.平移变换 . 问题 1 在把二次函数的图象进行平移时,有什么特点?依据这一特点,可以怎样来研 究二次函数的图象平移? 我们不难发现: 在对二次函数的图象进行平移时, 具有这样的特点——只改变函数图象 的位置、不改变其形状,因此,在研究二次函数的图象平移问题时,只需利用二次函数图象 的顶点式研究其顶点的位置即可. 例 1 求把二次函数 y=x2-4x+3 的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数 解析式: (1)向右平移 2 个单位,向下平移 1 个单位; (2)向上平移 3 个单位,向左平移 2 个单位.

分析:由于平移变换只改变函数图象的位置而不改变其形状(即不改变二次 项系数) ,所以只改变二次函数图象的顶点位置(即只改变一次项和常数项) ,所 以,首先将二次函数的解析式变形为顶点式,然后,再依据平移变换后的二次函 数图象的顶点位置求出平移后函数图像所对应的解析式. 解:二次函数 y=2x2-4x-3 的解析式可变为 y=2(x-1)2-1, 其顶点坐标为(1,-1). (1)把函数 y=2(x-1)2-1 的图象向右平移 2 个单位,向下平移 1 个单位 后,其函数图象的顶点坐标是(3,-2),所以,平移后所得到的函数图象对应的 函数表达式就为 y=2(x-3)2-2. (2)把函数 y=2(x-1)2-1 的图象向上平移 3 个单位,向左平移 2 个单位 后,其函数图象的顶点坐标是(-1, 2),所以,平移后所得到的函数图象对应 的函数表达式就为 y=2(x+1)2+2.
2.对称变换 . 问题 2 在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时,有什么特点? 依据这一特点,可以怎样来研究二次函数的图象平移? 我们不难发现: 在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时, 具有这 样的特点——只改变函数图象的位置或开口方向、不改变其形状,因此,在研究二次函数图 象的对称变换问题时,关键是要抓住二次函数的顶点位置和开口方向来解决问题. 例 2 求把二次函数 y=2x2-4x+1 的图象关于下列直线对称后所得到图象对应的函数 解析式: y (1)直线 x=-1; x=-1 (2)直线 y=1.

解: (1)如图 2.2-7,把二次函 数 y=2x2-4x+1 的图象关于直线 x= -1 作对称变换后, 只改变图象的顶点 位置,不改变其形状. 由于 y=2x2 -4x+1=2(x-1)2 -

O A1(-3,-1) 图 2.2-7 A(1,-1)

x

1,可知,函数 y=2x2-4x+1 图象的顶点为 A(1,-1),所以,对称后所得到图象 的顶点为 A1(-3,1),所以,二次函数 y=2x2-4x+1 的图象关于直线 x=-1 对 称后所得到图象的函数解析式为 y=2(x+3)2-1,即 y=2x2+12x+17. (2)如图 2.2-8,把二次函数 y=2x2-4x y +1 的图象关于直线 x=-1 作对称变换后, 只改 B(1,3) 变图象的顶点位置和开口方向,不改变其形状. 由于 y=2x2-4x+1=2(x-1)2-1,可知,函 y=1 数 y=2x2-4x+1 图象的顶点为 A(1,-1),所以, 对称后所得到图象的顶点为 B(1,3),且开口向 O x 下,所以,二次函数 y=2x2-4x+1 的图象关于 A(1,-1) 直线 y=1 对称后所得到图象的函数解析式为 y 2 2 =-2(x-1) +3,即 y=-2x +4x+1.
图 2.2-8





1.选择题: (1)把函数 y=-(x-1)2+4 的图象向左平移 2 个单位,向下平移 3 个单位,所得图象对 应的解析式为 ( ) (B)y=-(x+1)2+1 (A)y= (x+1)2+1 (C)y=-(x-3)2+4 (D)y=-(x-3)2+1

第三讲

三角形的“四心”

三角形是最重要的基本平面图形, 很多较复杂的图形问题可以化归为三角形

的问题. 如图 3.2-1 ,在三角形△ABC 中,有三条边 AB, BC , CA ,三个顶点 A, B, C , 在三角形中,角平分线、中线、高(如图 3.2-2)是三角形中的三种重要线段. 三角形的三条中线相交于一点,这个交点称为三角形的重心.三角形的重心 在三角形的内部,恰好是每条中线的三等分点. 例 1 求证三角形的三条中线交于一点,且被该交点分 图 3.2-1 图 3.2-2 成的两段长度之比为 2:1. 图 3.2-3 已知 D、E、F 分别为△ABC 三边 BC、CA、AB 的中 点, 求证 AD、BE、CF 交于一点,且都被该点分成 2:1. 证明 连结 DE,设 AD、BE 交于点 G, Q D、E 分别为 BC、AE 的中点,则 DE//AB,且

DE =

1 AB , 2 \ VGDE ∽ VGAB ,且相似比为 1:2,
\ AG = 2GD, BG = 2GE .
图 3.2-4

设 AD、CF 交于点 G ' ,同理可得, AG ' = 2G ' D, CG ' = 2G ' F . 则 G 与 G ' 重合, \ AD、BE、CF 交于一点,且都被该点分成 2 :1.

三角形的三条角平分线相交于一点, 是三角形的 内心. 三角形的内心在三角形的内部, 它到三角形的 三边的距离相等.(如图 3.2-5)
图 3.2-5

例2

已知 V ABC 的三边长分别为 BC = a, AC = b, AB = c ,I 为 V ABC 的内心,

且 I 在 V ABC 的 边 BC、AC、AB 上 的 射 影 分 别 为 D、E、F , 求 证 : b+ c- a AE = AF = . 2 证明 作 V ABC 的内切圆, D、E、F 分别为内切 则 圆在三边上的切点,
Q AE , AF 为 圆 的 从 同 一 点 作 的 两 条 切 线 , \ AE = AF , 同理,BD=BF,CD=CE. \ b + c - a = AF + BF + AE + CE - BD - CD = AF + AE = 2 AF = 2 AE
即 AE = AF =
图 3.2-6

b+ c- a . 2 例 3 若三角形的内心与重心为同一点,求证:这个三角形为正三角形. 已知 O 为三角形 ABC 的重心和内心. 求证 三角形 ABC 为等边三角形. 证明 如图,连 AO 并延长交 BC 于 D. Q O 为三角形的内心,故 AD 平分 ?BAC , AB BD \ = (角平分线性质定理) AC DC Q O 为三角形的重心,D 为 BC 的中点,即 BD=DC. AB \ = 1 ,即 AB = AC . AC
图 3.2-7

同理可得,AB=BC. \ V ABC 为等边三角形. 三角形的三条高所在直线相交于一点,该点称为三角形的垂心.锐角三角形 的垂心一定在三角形的内部,直角三角形的垂心为他的直角顶点,钝角三角形的 垂心在三角形的外部.(如图 3.2-8)

图 3.2-8

例4 已知 求证 证明

求证:三角形的三条高交于一点.
V ABC 中, AD ^ BC于D, BE ^ AC于E, 与 BE 交于 H 点. AD CH ^ AB . 以 CH 为直径作圆, ? HEC 90o ,

Q AD ^ BC , BE ^ AC , \ ? HDC

\ D、E 在以 CH 为直径的圆上, \ ? FCB   DEH . 同 理 , E 、 D 在 以 AB 为 直 径 的 圆 上 , 可 得 ? BED   BAD . \ ? BCH   BAD , 又 V ABD 与 VCBF 有公共角 ?B , \ ? CFB

图 3.2-9

? ADB

90 ,即 CH ^ AB .
o

过不共线的三点 A、B、C 有且只有一个圆,该圆是三角形 ABC 的外接圆, 圆心 O 为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等,是各边的垂直平 分线的交点.

练习 1 1.求证:若三角形的垂心和重心重合,求证:该三角形为正三角形.
2. (1) 若三角形 ABC 的面积为 S,且三边长分别为 a、b、c ,则三角形的内 切圆的半径是___________; (2)若直角三角形的三边长分别为 a、b、c (其中 c 为斜边长) ,则三角形 的内切圆的半径是___________. 并请说明理由.


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