当前位置:首页 >> 数学 >>

平面向量4-1


高考一轮总复习· 数学(文)

高考一轮总复习 ·数学(文)

第4章

平面向量、数系的扩充与复数的引入

2

板块一

板块二

板块三

板块四

板块五

高考一轮总复

习 ·数学(文)

第 1讲

平面向量的概念及其线性运算

3

板块一

板块二

板块三

板块四

板块五

高考一轮总复习 ·数学(文)

1.了解向量的实际背景. 2.理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义. 3.理解向量的几何表示. 4.掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义. 5.掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义. 6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.

4

板块一

板块二

板块三

板块四

板块五

高考一轮总复习 ·数学(文)

板块一 知识梳理· 自主学习

5

板块一

板块二

板块三

板块四

板块五

高考一轮总复习 ·数学(文)

[必备知识] 考点 1 向量的有关概念 名称 向量 零向量 定义 既有 大小 又有 方向 的量叫做向量,向量的大小叫 做向量的 模 (或称 向量的长度 )

长度为零 的向量叫做零向量,其方向是 不确定 的,
零向量记作 0

单位向量 长度等于

1

个单位的向量

的 非零 向量叫做平行向量,平行 平行向量 向量又叫 共线 向量.规定: 零向量 与任一向量 平行 方向相同或 相反 相等向量 长度 相等 且方向 相同 的向量 相反向量 长度 相等 且方向 相反 的向量

6

板块一

板块二

板块三

板块四

板块五

高考一轮总复习 ·数学(文)

考点 2

向量的线性运算 向量运 算 定义 法则(或几何意 义) 运算律

加法

求两个向量和 的运算

(1)交换律:a+b= b+a (2)结合律: (a+b)+c= a+(b+c)

求 a 与 b 的相 减法 反向量-b 的 和的运算叫做 a 与 b 的差 a-b=a+(-b)

7

板块一

板块二

板块三

板块四

板块五

高考一轮总复习 ·数学(文)

考点 3

向量的数乘与向量共线定理

1.向量的数乘 (1)长度:|λa|= |λ||a| (2)方向 当 λ>0 时,λa 的方向与 a 的方向 相同 ; 当 λ<0 时,λa 的方向与 a 的方向 相反 , 当 λ=0 时,λa=

0

,其方向是任意的. .

2.向量的数乘的运算律 设 λ,μ 为实数,则①λ(μ a)= (λμ)a ;②(λ+μ)a= λa+μa ;③λ(a+b)= λa+λb 3.向量共线定理 向量 a(a≠0)与 b 共线,当且仅当有唯一一个实数 λ,使得 b=λa .

8

板块一

板块二

板块三

板块四

板块五

高考一轮总复习 ·数学(文)

[必会结论] → 1. 一般地, 首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量, 即 A1A2 → → → +A2A3+A3A4+?+An-1An=A1An.特别地,一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量. → 1 → → 2.若 P 为线段 AB 的中点,O 为平面内任一点,则OP= (OA+OB). 2 → → → 3.若 A、B、C 是平面内不共线的三点,则PA+PB+PC=0?P 为△ABC 的重心.

9

板块一

板块二

板块三

板块四

板块五

高考一轮总复习 ·数学(文)

[双基夯实] 一、疑难辨析 判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) 1.单位向量都相等.( × ) 2.|a|与|b|是否相等,与 a,b 的方向无关.( √ ) 3.零向量的模等于 0,没有方向.( × ) 4.若两个非零向量共线,则其方向相同或相反.( √ ) → → 5.AB+BA=0.( √ ) 6.共线向量定理 b=λa 中,当 a=0 时,则实数 λ 不唯一.( × )

10

板块一

板块二

板块三

板块四

板块五

高考一轮总复习 ·数学(文)

二、小题快练

→ → → 1.[课本改编 ]如图所示,在正六边形 ABCDEF 中, BA+CD+EF=( A.0 → C.AD
解析

)

→ B.BE → D.CF
→ → → → → → → → → 由于BA=DE,故BA+CD+EF=CD+DE+EF=CF.

11

板块一

板块二

板块三

板块四

板块五

高考一轮总复习 ·数学(文)

→ → → → 2.[2016· 九江模拟]已知 P,A,B,C 是平面内四点,且PA+PB+PC=AC,那么一定有( → → A.PB=2CP → → C.AP=2PB → → B.CP=2PB → → D.PB=2AP

)

→ → → → → → → → 解析 由题意得PA+PB+PC=PC-PA,即PB=-2PA=2AP.

12

板块一

板块二

板块三

板块四

板块五

高考一轮总复习 ·数学(文)

3.[课本改编]如图所示,向量 a-b 等于(

)

A.-4e1-2e2 C.e1-3e2

B.-2e1-4e2 D.3e1-e2

解析 由图可知 a=-4e2,b=-(e1+e2),故选 C.

13

板块一

板块二

板块三

板块四

板块五

高考一轮总复习 ·数学(文)

→ → → → → 4.[2016· 临沂模拟]在△ABC 中,若 D 是 AB 边上一点且AD=2DB,CD=μCA+λCB.则 λ+μ=( A. 2 3 B.1 2 3 作出图形,利用向量线性运算求解. D.-

)

C.-1

解析

如图所示,由三角形法则可知 → → → → 2→ CD=CA+AD=CA+ AB 3 → 2 → → =CA+ (CB-CA) 3 1→ 2→ = CA+ CB. 3 3 1 2 1 2 故 μ= ,λ= ,λ+μ= + =1. 3 3 3 3
14

板块一

板块二

板块三

板块四

板块五

高考一轮总复习 ·数学(文)

1 5.设 e1,e2 是两个不共线的向量,且 a=e1+λe2 与 b=- e2-e1 共线,则实数 λ=( 3 A.-1 C.- 1 3 B.3 D. 1 3

)

解析

1 1 1 ∵a=e1+λe2 与 b=- e2-e1 共线,∴存在实数 t,使得 b=ta,即- e2-e1=t(e1+λe2),- e2 3 3 3

1 1 -e1=te1+tλe2,∴t=-1,tλ=- , 即 λ= ,故选 D. 3 3

15

板块一

板块二

板块三

板块四

板块五

高考一轮总复习 ·数学(文)

板块二 典例探究· 考向突破

16

板块一

板块二

板块三

板块四

板块五

高考一轮总复习 ·数学(文)

考向 例1 下列说法中: ①若|a|=|b|,则 a=b;

平面向量的概念

→ → ②若 A,B,C,D 是不共线的四点,则AB=DC是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件; ③若 a=b,b=c,则 a=c; ④a=b 的充要条件是|a|=|b|且 a∥b; ⑤若 a∥b,b∥c,则 a∥c. 其中正确命题的序号是( A.②③ C.③④ [思维启迪] 量的特殊性.
17

)

B.①② D.④⑤ 从向量、向量的模、向量相等、向量平行等概念入手,逐一进行验证即可,但要注意零向

板块一

板块二

板块三

板块四

板块五

高考一轮总复习 ·数学(文)

[解析]

①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同.

→ → → → → → ②正确.∵AB=DC,∴|AB|=|DC|且AB∥DC,又 A,B,C,D 是不共线的四点,∴四边形 ABCD 为 → → → → → → → 平行四边形;反之,若四边形 ABCD 为平行四边形,则|AB|=|DC|,AB∥DC且AB,DC方向相同,因此,AB → =DC. ③正确.∵a=b,∴a,b 的长度相等且方向相同,又 b=c,∴b,c 的长度相等且方向相同,∴a,c 的长度相等且方向相同,故 a=c. ④不正确.当 a=-b 时,也有|a|=|b|且 a∥b,故|a|=|b|且 a∥b 不是 a=b 的充要条件,而是必要不充 分条件. ⑤不正确.当 b=0 时,a,c 可能不平行. 综上所述,正确命题的序号是②③.

18

板块一

板块二

板块三

板块四

板块五

高考一轮总复习 ·数学(文)

对于向量的概念应注意的问题 (1)向量的两个特征:有大小,有方向,向量既可以用有向线段表示,字母表示,也可以用坐标表示. (2)相等向量不仅模相等,而且方向要相同,所以相等向量一定是平行向量,而平行向量则未必是相等 向量. (3)向量与数量不同,数量可以比较大小,向量则不能,但向量的模是非负实数,故可以比较大小. (4)向量是自由向量,所以平行向量就是共线向量,二者是等价的.

19

板块一

板块二

板块三

板块四

板块五

高考一轮总复习 ·数学(文)

【变式训练 1】

给出下列命题:

①若两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同; → → ②若AB=DC,则 ABCD 为平行四边形; ③若向量 a 与 b 同向,且|a|>|b|,则 a>b; ④非零向量 a 与 b 同向是 a=b 的必要不充分条件; ⑤λ,μ 为实数,若 λa=μb,则 a 与 b 共线. 其中错误的命题的个数为( A.2 C.4
解析

)

B.3 D .5
→ → ①不正确;②不正确,AB=DC,可能有 A,B,C,D 在一条直线上的情况;③不正确,向量

是有方向的,不能比较大小,不能说 a>b;④正确;⑤不正确,当 λ=μ=0 时,a 与 b 可为任意向量,不一 定共线.故①②③⑤错误,选 C 项.
20

板块一

板块二

板块三

板块四

板块五

高考一轮总复习 ·数学(文)

点击观看
考向 平面向量的线性运算

考点视频

平面向量的线性运算是高考考查的热点内容.常以选择题、填空题的形式出现.考查向量加法的平行四边 形法则和三角形法则,向量减法的三角形法则及向量的相等. 例2 [2016· 辽宁模拟]已知两个非零向量 a、b 满足|a+b|=|a-b|,则下面结论正确的是( B.a⊥b D.a+b=a-b
解法一: 代数法: 将原式平方得|a+b|2=|a-b|2, ∴a2+2a· b+b2=a2-2a· b+b2,

)

A.a∥b C.|a|=|b|
[解析]

∴ a· b=0,∴a⊥b,故选 B. 解法二:几何法:如图所示: → → → → 在?ABCD 中,设AB=a,AD=b,∴AC=a+b,DB=a-b,∵|a+b|=|a-b|,∴平行四边形两条对角 线长度相等,即平行四边形 ABCD 为矩形,∴a⊥b,故选 B.
21

板块一

板块二

板块三

板块四

板块五

高考一轮总复习 ·数学(文)

命题角度 2 例3

向量的线性运算 )

→ → [2015· 课标全国卷Ⅰ]设 D 为△ABC 所在平面内一点,BC=3CD,则(

→ → 1→ 4→ 1→ 4→ A.AD=- AB+ AC B.AD= AB- AC 3 3 3 3 → 4→ 1→ C.AD= AB+ AC 3 3
[解析] 如图:

→ 4→ 1→ D.AD= AB- AC 3 3

→ → → → → ∵AD=AB+BD,BC=3CD, → → 4→ → 4 → → 1→ 4→ ∴AD=AB+ BC=AB+ (AC-AB)=- AB+ AC. 3 3 3 3

22

板块一

板块二

板块三

板块四

板块五

高考一轮总复习 ·数学(文)

命题角度 3

利用向量的线性运算求参数

→ → → → → → → 例 4 [2015· 北京高考]在△ABC 中,点 M,N 满足AM=2MC,BN=NC.若MN=xAB+yAC,则 x= 1 1 - ________ ,y=________. 2 6

[解析]

→ → → 1→ 1→ 如图,MN=MC+CN= AC- BC 3 2

1→ 1 → → = AC- (AC-AB) 3 2 1→ 1→ = AB- AC, 2 6 1 1 ∴x= ,y=- . 2 6

23

板块一

板块二

板块三

板块四

板块五

高考一轮总复习 ·数学(文)

平面向量线性运算的一般规律 (1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功,除利用向量的加法、减法、数乘运算外, 还应充分利用平面几何的一些定理. (2)在求向量时,要尽可能转化到平行四边形或三角形中,运用平行四边形法则、三角形法则,利用三 角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质,把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向 量来求解.

24

板块一

板块二

板块三

板块四

板块五

高考一轮总复习 ·数学(文)

【变式训练 2】 一定是( C.矩形 ) A.直角梯形

→ → → → → (1)[2016· 江门模拟]若四边形 ABCD 满足AB+CD=0,(AB-AD)· AC=0,则该四边形 B.菱形 D.正方形

解析

→ → → → 由AB+CD=0 知,AB=DC,

即 AB=CD,AB∥CD.∴四边形 ABCD 是平行四边形. → → → → → 又(AB-AD)· AC=0,∴DB · AC=0,即 AC⊥BD,因此四边形 ABCD 是菱形,故选 B.

25

板块一

板块二

板块三

板块四

板块五

高考一轮总复习 ·数学(文)

→ → (2)[2014· 课标全国卷Ⅰ]设 D,E,F 分别为△ABC 的三边 BC,CA,AB 的中点,则EB+FC=( → A.AD → C.BC 1→ B. AD 2 1→ D. BC 2
→ → 1 → → 1 → → → 1 → → EB+FC= (AB+CB)+ (AC+BC)= (AB+AC)=AD,故选 A. 2 2 2

)

解析

26

板块一

板块二

板块三

板块四

板块五

高考一轮总复习 ·数学(文)

→ → → 1 2 (3)[2016· 江苏模拟]设 D, E 分别是△ABC 的边 AB, BC 上的点, AD= AB, BE= BC.若DE=λ1AB+λ2AC 2 3 1
2 (λ1,λ2 为实数),则 λ1+λ2 的值为________.

解析 1 = . 2

→ → → 1→ 2→ 1→ 2 → → 1→ 2→ 1 2 DE=DB+BE= AB+ BC= AB+ (BA+AC)=- AB+ AC,所以 λ1=- ,λ2= ,即 λ1+λ2 2 3 2 3 6 3 6 3

27

板块一

板块二

板块三

板块四

板块五

高考一轮总复习 ·数学(文)

考向

向量的共线问题

→ → → 例 5 [2015· 南通月考]设 e1,e2 是两个不共线向量,已知AB=2e1-8e2,CB=e1+3e2,CD=2e1-e2. (1)求证:A、B、D 三点共线; → (2)若BF=3e1-ke2,且 B、D、F 三点共线,求 k 的值. [解] (1)证明:由已知得 → → → BD=CD-CB=(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2, → → → ∵AB=2e1-8e2,∴AB=2BD. → → 又∵AB与BD有公共点 B,∴A、B、D 三点共线. → → (2)由(1)可知BD=e1-4e2,且BF=3e1-ke2, → → ∵B、D、F 三点共线,∴BF=λBD. 即 3e1-ke2=λe1-4λe2.由题意 e1,e2 不共线, ?λ=3, 得? 解得 k=12. ?-k=-4λ,
28

板块一

板块二

板块三

板块四

板块五

高考一轮总复习 ·数学(文)

平面向量共线的判断方法 (1)充分利用向量共线定理,即 b 与 a(a≠0)共线?b=λa,因此用它既可以证明点共线或线共线问题, 也可以根据共线求参数的值. (2)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示,从而判断共线.

29

板块一

板块二

板块三

板块四

板块五

高考一轮总复习 ·数学(文)

【变式训练 3】

设 a,b 是不共线的两个非零向量,

→ → → (1)若OA=2a-b,OB=3a+b,OC=a-3b, 求证:A,B,C 三点共线; (2)若 8a+kb 与 ka+2b 共线,求实数 k 的值. → 解 (1)证明:∵AB=(3a+b)-(2a-b)=a+2b, → → BC=(a-3b)-(3a+b)=-2a-4b=-2AB, → → ∴AB与BC共线,且有公共端点 B. ∴A,B,C 三点共线. (2)∵8a+kb 与 ka+2b 共线, ∴存在实数 λ,使得 8a+kb=λ(ka+2b). ∴(8-λk)a+(k-2λ)b=0. ∵a 与 b 不共线, ?8-λk=0, ∴? ?8=2λ2?λ=± 2.∴k=2λ=± 4. ?k-2λ=0
30

板块一

板块二

板块三

板块四

板块五

高考一轮总复习 ·数学(文)

核心规律 1.向量的加、减法运算,要在所表达的图形上多思考,多联系相关的几何图形,比如平行四边形、菱形、 三角形等,可多记忆一些有关的结论. 2.对于向量共线定理及其等价定理,关键要理解向量 a 与 b 共线是指 a 与 b 所在的直线平行或重合. 3.要证明三点共线或直线平行都是先探索有关的向量满足向量等式 b=λa,再结合条件或图形有无公共 点证明几何位置.

31

板块一

板块二

板块三

板块四

板块五

高考一轮总复习 ·数学(文)

满分策略 1.两向量起点相同,终点相同,则两向量相等;但两相等向量,不一定有相同的起点和终点. 2.零向量和单位向量是两个特殊的向量.它们的模确定,但方向不确定. → → 3.注意区分向量共线与向量所在的直线平行间的关系.向量AB与CD是共线向量,但 A,B,C,D 四点 不一定在一条直线上. 4.向量共线的充要条件中要注意“a≠0”,否则 λ 可能不存在,也可能有无数个.

32

板块一

板块二

板块三

板块四

板块五

高考一轮总复习 ·数学(文)

板块三 启智培优· 破译高考

33

板块一

板块二

板块三

板块四

板块五

高考一轮总复习 ·数学(文)

数学思想系列 7——方程思想解决向量的线性运算 → → → → [2015· 天津模拟]已知△ABC 为等边三角形,AB=2.设点 P,Q 满足AP=λAB,AQ=(1-λ)AC,λ∈R.若 → → 3 BQ· CP=- ,则 λ=( ) 2 1 1± 2 A. B. 2 2 -3± 2 2 1± 10 C. D. 2 2 → → → → → → 3 [解题视点] 先用向量的三角形法则将BQ,CP用AB,AC分解,然后以BQ· CP=- ,列关于参数 λ 的 2 方程,用方程的思想求解.

34

板块一

板块二

板块三

板块四

板块五

高考一轮总复习 ·数学(文)

→ → π [解析] 设AB=a,AC=b,则|a|=|b|=2,且〈a,b〉= . 3 → → → → → → BQ=AQ-AB=(1-λ)b-a,CP=AP-AC=λa-b. → → BQ· CP=[(1-λ)b-a]· (λa-b) =[λ(1-λ)+1]a· b-λa2-(1-λ)b2 =(λ-λ2+1)×2-4λ-4(1-λ) 3 2 =-2λ +2λ-2=- . 2 1 2 即(2λ-1) =0,∴λ= . 2

35

板块一

板块二

板块三

板块四

板块五

高考一轮总复习 ·数学(文)

答题启示

进行向量运算时,要尽可能转化到平行四边形或三角形中,选用从同一顶点出发的基底或

首尾相接的向量,运用向量加、减法运算及数乘运算来求解.充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关 系,把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解.

36

板块一

板块二

板块三

板块四

板块五

高考一轮总复习 ·数学(文)

跟踪训练 [2015· 合肥模拟]已知向量 a,b 不共线,且 c=λa+b,d=a+(2λ-1)b,若 c 与 d 反向共线,则实数 λ 的值为( A.1 C.1 或- ) 1 B.- 2 1 1 D.-1 或- 2 2 由于 c 与 d 反向共线,则存在实数 k 使 c=kd(k<0),

解析

于是 λa+b=k[a+(2λ-1)b], 整理得 λa+b=ka+(2λk-k)b.
?λ=k, 由于 a,b 不共线,所以有? 整理得 2λ2-λ-1=0, ?2λk-k=1,

1 解得 λ=1 或 λ=- . 2 1 又因为 k<0,所以 λ<0, 故 λ=- . 2
37

板块一

板块二

板块三

板块四

板块五

高考一轮总复习 ·数学(文)

板块四 模拟演练· 提能增分

38

板块一

板块二

板块三

板块四

板块五

高考一轮总复习 ·数学(文)

板块五 限时· 规范· 特训

39

板块一

板块二

板块三

板块四

板块五


相关文章:
高中数学必修4平面向量知识点总结
高中数学必修4平面向量知识点总结。高中数学必修 4 知识点归纳新疆 源头学子小屋...(注意与 0 的区别) ③单位向量:模为 1 个单位长度的向量新疆 源头学子小屋 ...
4-1平面向量的概念 向量线性运算
4-1平面向量的概念 向量线性运算_高一数学_数学_高中教育_教育专区。高考一轮复习数学第4 模块 第1节 [知能演练] 一、选择题 1.判断下列各命题的真假: →→...
2015高考复习4-1 平面向量的概念及线性运算
2015高考复习4-1 平面向量的概念及线性运算_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2015高考复习带答案(已排版好)!4-1 平面向量的概念及线性运算 一、选择题 [A 组...
专题4 平面向量(1)
中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉 专题 4 、课前练习: 平面向量(1) 1.( 05 重庆)已知 A(3,1) ,B(6,1) ,C(4,3) 为线段 BC 的中点,...
平面向量四心问题(最全)
OA 故选答案 D 例 4:设 O 是平面定点,A、B、C 是平面上不共线的...已知向量 OP , OP2 , OP3 满足条件 OP + OP2 + OP3 = 0 , 1 1 uuur...
高一数学必修4平面向量测试题(含答案)
高一数学必修4平面向量测试题(含答案)_数学_高中教育_教育专区。一.选择题 1....一.选择题 1.以下说法错误的是( ) A.零向量与任一非零向量平行 C.平行...
高中数学必修4平面向量测试题及答案 (1)
高中数学必修4平面向量测试题及答案 (1)_数学_高中教育_教育专区。暑期加油站 平面向量单元测试一、选择题 【共 12 道小题】 1、下列说法中正确的是( ) A....
第4章 平面向量(一轮)
其中假命题的个数为( A.1 【答案】 C 考向二 [072] 平面向量的线性运算 B.2 ) C.3 D.4 →→→ 1→ (1)在△ABC 中, 若 D 是 AB 边上一点,...
高中数学必修4平面向量复习1向量及向量的加减法
高中数学必修4平面向量复习1向量及向量的加减法_数学_高中教育_教育专区。广东省级学校-陆丰市林启恩纪念中学亲情奉献5.1 向量及向量的加减法要点透视: ? ? 1...
2-4-1 平面向量数量积的物理背景及其含义
2-4-1 平面向量数量积的物理背景及其含义_数学_高中教育_教育专区。能力提升一、选择题 1.(2013 烟台模拟)已知向量 a,b,其中|a|= 2,|b|=2,且(a -b)...
更多相关标签:
平面向量a 1 2 b 4 2 | 必修4平面向量测试题 | 平面向量a 根号3 1 | 5.1平面向量练习题 | 必修四平面向量2.1 | 已知平面向量a 1 2 | 若平面向量a x 1 | vector4 w为1表示向量 |