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2010—2011学年度第一学期期中考试高三年级数学试题


2010—2011 学年度第一学期期中考试高三年级 数学试题
命题人、复核人:宋 钢

一、填空题
1.集合 A ? ?0, 2, a? , B ? ?1, a 2 ? ,若 A ? B ? ?0,1,2,4,16? ,则 a 的值为___▲______ 2.若复数 Z ? ( x 2 ? 1) ? ( x ? 1)i 为纯虚数, 则实数

x 的值为___________▲_______ 3. 已知 sin(

?
3

??) ?

1 ? ,且 ? ? (? ,0) 则 sin ? ? ____▲____ 3 2

4. 某高级中学共有学生 3000 名,各年级男、女生人数如下表:已知在全校学生 中随机抽取 1 名,抽到高二年级女生的概率是 0.17. 现对各年级用分层抽样的 方法在全校抽取 300 名学生,则应在高三年级抽取 5. 以下伪代码: Read x If x ≤ 0 Then f ( x ) ← 4x Else f ( x) ← 2 x End If Print f ( x) 高一 年级 女生 男生 523 487 高二年 级 x 490 高三年 级 y z ▲ 名学生。

根据以上算法,可求得 f (?3) ? f (2) 的值为 6. 在x ?

▲_____

?
3

处的导数值是

▲ ▲

x ?1 q ? 0 , : x ? a , p 是 q 的充分条件, 7. 已知 p : 若 则实数 a 的取值范围是 x ?1 ? ? ? ? ? ? 8. a, b 的夹角为 120? , a ? 1, b ? 3 ,则 5a ? b ? _▲_____

9. 已知方程

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则 m 的取值范围是 m2 2 ? m



10. 若 f (x) 为偶函数且在( ? ?,0 )上是减函数, f (?2) ? 0 , x ? f ( x) ? 0 的解集 为_____▲___. 11. 函数 f ?x ? 由右表定义:若 a1 ? 1, a2 ? 5, an?2 ? f ?an ?, n ? N , f(x) 3 4 5 2 1
*

x

1

2

3

4

5

则 a2011 的值为

▲ ▲

12. 若方程 1nx ? 2 x ? 10 ? 0 的解为 x0 ,则不小于 x0 的最小整数是

13.设 ?an ? 是等差数列,从 ?a1 , a2 ,?, a20 ? 中任取 3 个不同的数,使这 3 个数仍成等 差数列,则这样不同的等差数列的个数最多有 ▲ 个 ▲

14.已知实数 x, y 满足 x ? x ? 1 ? y ? 3 ? y ,则 x ? y 的最大值为

二、填空题
?? 15. 已知Δ ABC 的角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,设向量 m ? (a, b) , ? n?( s iB n ? ? , , A i p ? (b ? 2, a ? 2) . s n )

?? ? (1) 若 m // n ,求证:Δ ABC 为等腰三角形;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ?? ?? ? (2) 若 m ⊥ p ,边长 c = 2,角 C = ,求Δ ABC 的面积 . 3

1 16. 二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx 满足条件:① f (0) ? f (1) ;② f ( x) 的最小值为 ? . 8

(1) 求函数 f ( x) 的解析式;

?4? (2) 设数列 {an } 的前 n 项积为 Tn , 且 Tn ? ? ? ?5?

f (n)

, 求数列 {an } 的通项公式;

(3) 在(2)的条件下, 求数列 {nan } 的前 n 项的和.

17. 在正方体 ABCD? A1 B1C1 D1 中,M 、N 、G 分别是 A1 A ,D1C , AD 的中点. 求证: (1) MN //平面 ABCD w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (2)面 MNG ⊥平面 B1 BG .

18. A, B 是单位圆 O 上的点, C, D 分别是圆 O 与 x 轴的两交点, ?AOB 为正三 角形。
?1 3? ? (1) 若 A 点坐标为 ? , ? 2 2 ? ,求 cos ?BOC 的值 ? ?

2 ? ? (2) 若 ?AOC ? x? 0 ? x ? ? ? , 四边形 CABD 的周长为 y , 试将 y 表示成 x 的 3 ? ?
函数,并求出 y 的最大值。

19. 已知函数 f ( x) ? ax2 ? | x | ?2a ?1 ( a 为实常数). (1)若 a ? 1 ,求 f ( x) 的单调区间; (2)若 a ? 0 ,设 f ( x) 在区间 [1, 2] 的最小值为 g (a) ,求 g (a) 的表达式; (3)设 h( x ) ?
f ( x) ,若函数 h( x) 在区间 [1, 2] 上是增函数,求实数 a 的取值范围. x

20. 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , a2 ? 2 ,且 an?1 ? (1 ? q)an ? qan?1 (n ≥ 2,q ? 0) . (1)设 bn ? an?1 ? an (n ? N* ) ,证明 ?bn ? 是等比数列; (2)求数列 ?an ? 的通项公式; (3) a3 是 a6 与 a9 的等差中项, q 的值, 若 求 并证明: 对任意的 n ? N* ,an 是 an ?3 与 an?6 的等差中项.

2010/2011 学年度第一学期期中考试高三年级 数学参考答案
一、填空题: 1、4
3? 3 ? 6

2、 ? 1

3、

1? 2 6 6

4、99

5、-8

6、

7、 a ? ?1 11、1

8、7 12、5

9、-2<m<-1 或 m>2 13、180 14、4

10、

?x / x ? ?2,0 ? x ? 2 ?

二、解答题:
15. 证明: (1)? m// n 即a? ????????????3 分

a b ? b? ,其中 R 是三角形 ABC 外接圆半径, a ? b 2R 2R ? ?ABC 为等腰三角形 ????????????5 分 u u v v 解(2)由题意可知 m // p ? 0,即a(b ? 2) ? b(a ? 2) ? 0 ????????????8 分
? a ? b ? ab
由余弦定理可知, 4 ? a2 ? b2 ? ab ? (a ? b)2 ? 3ab w. ???????10 分

即(ab)2 ? 3ab ? 4 ? 0
? ab ? 4(舍去ab ? ?1)
????????????12 分 ????????????14 分

? 1 ? ?a ? b ? 0 ?a ? 2 ? 1 2 1 ? ? 16. 解: (1) 由题知: ? a ? 0 , 解得 ? , 故 f ( x ) ? x ? x . ????4 2 2 ?b ? ? 1 ? b2 1 ? ?? ? 2 ?? ? 4a 8 ?
分 (2) Tn ? a1a2 ? an ? ?
n2 ? n 2

?4? ? ?5?

,

??????????????????5 分

?4? Tn?1 ? a1a2 ? an?1 ? ? ? ?5?

( n ?1)2 ?( n ?1) 2

(n ? 2)

,?????????7 分

? an ?

Tn ? 4 ? ?? ? Tn?1 ? 5 ?

n ?1

(n ? 2) ,
?4? ?5?
2 n ?1

?????????????9 分

又 a1 ? T1 ? 1 满足上式.
0

所以 an ? ? ?
1

(n ? N ? )
n ?1

. ???????10 分

? 4? ?4? ?4? ?4? (3) 解: Tn ? ? ? ? 2 ? ? ? 3 ? ? ? ... ? n ? ? ?5? ?5? ?5? ?5? 4 Tn ? 5
2

,
n ?1 n

4 ? 4? ?4? ? 2 ? ? ? ... ? ? n ? 1? ? ? 5 ?5? ?5?
2 n ?1

?4? ? n? ? ?5?

??????11 分

1 4 ?4? ?4? Tn ? 1 ? ? ? ? ? ... ? ? ? 5 5 ?5? ?5?
?4? 1? ? ? n 1 ? 5 ? ? n? 4 ? , Tn ? ? ? 4 5 ?5? 1? 5
n

?4? ? n? ? , ?5?

n

??????13 分

1 ?4? ?4? Tn ? 5 ? 5 ? ? ? n ? ? 5 ?5? ?5?

n

n

?4? Tn ? 25 ? ? 25 ? n ? ? ? , ?5?
17.证明: (1)取 CD 的中点记为 E,连 NE,AE. 由 N,E 分别为 CD1 与 CD 的中点可得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
1 NE∥D1D 且 NE= D1D, ????????????2 分 2 1 又 AM∥D1D 且 AM= D1D????????????4 分 2

n

???????15 分

A1 B1 M

D1 C1 N

所以 AM∥EN 且 AM=EN,即四边形 AMNE 为平行四边形 所以 MN∥AE, ????????????6 分
A G

D E

又 AE ? 面 ABCD,所以 MN∥面 ABCD??8 分 (2)由 AG=DE , ?BAG ? ?ADE ? 90? ,DA=AB 可得 ?EDA 与 ?GAB 全等???????????10 分 所以 ?ABG ? ?DAE , ???????????????????????11 分
B C

又 ?DAE ? ?AED ? 90?,?AED ? ?BAF ,所以 ?BAF ? ?ABG ? 90?, 所以 AE ? BG , ??????????????????12 分

又 BB1 ? AE ,所以 AE ? 面B1BG ,

????????????????????13 分

又 MN∥AE,所以 MN⊥平面 B1BG ,则面 MN⊥平面 B1BG ????????????14 分

18. (1) cos?BOC ? cos(600 ? ?AOC) ? (

3 2 1 2 1 ) ? ( ) ? ???????(5 分) 2 2 2

19、解析:(1) a ? 1

1 2 3 ? ? x 2 ? x ? 1, x ? 0 ?( x ? 2 ) ? 4 , x ? 0 ? ? f ( x) ? x 2 ? | x | ?1 ? ? 2 ?? 2分 1 2 3 ? x ? x ? 1, x ? 0 ? ? ?( x ? 2 ) ? 4 , x ? 0 ?
1 2

∴ f (x) 的单调增区间为( ,?? ),(-

1 ,0) 2 1 1 f (x) 的单调减区间为(- ?,? ),( 0, ) 2 2
2

??????????????4 分

(2)由于 a ? 0 ,当 x ∈[1,2]时, f ( x) ? ax ? x ? 2a ? 1 ? a( x ? 1
0

1 2 1 ) ? 2a ? ?1 2a 4a

0?

1 ?1 2a

即a ?

1 2

f (x)在[1,2]为增函数
????????????6 分

g (a) ? f (1) ? 3a ? 2
2 3
0

1?

1 ?2 2a

0

1 ?2 2a

1 1 1 1 ? a ? 时, g ( a ) ? f ( ) ? 2a ? ? 1 ???8 分 4 2 2a 4a 1 即 0 ? a ? 时 f (x)在[1,2]上是减函数 4
即 ??????????????????? 10 分

g (a) ? f (2) ? 6a ? 3

综上可得

1 ? ?6a ? 3,0 ? a ? 4 ? 1 1 1 ? g ( a ) ? ?2 a ? ? 1, ? a ? 4a 4 2 ? 1 ? ?3a ? 2, a ? 2 ?

???????????11 分

(3)解法 1 : h( x) ? ax ?

2a ? 1 ? 1 在区间[1,2]上任取 x1 、 x2 ,且 x1 ? x2 x

则 h( x1 ) ? h( x2 ) ? (ax2 ?

2a ? 1 2a ? 1 ? 1) ? (ax1 ? ? 1) 2 x1 x
??13 分

? ( x2 ? x1 )(a ?

2a ? 1 x2 ? x1 )? [ax1 x2 ? (2a ? 1)] (*) x1 x2 x1 x2

∵ h(x)在[1,2]上是增函数 ∴ h( x2 ) ? h( x1 ) ? 0 ∴(*)可转化为 ax1 x2 ? (2a ? 1) ? 0 对任意 x1 、 x2 ? [1,2]且x1 ? x2都成立 即 ax1 x2 ? 2a ? 1 1 2 3
0

当 a ? 0时, 上式显然成立

0

a?0 a?0

0

2a ? 1 a 2a ? 1 x1 x2 ? a x1 x2 ?

由 1 ? x1 x2 ? 4



2a ? 1 ?1 a

解得 0 ? a ? 1 ??15 分

2a ? 1 ?4 a

得?

1 ?a?0 2

(求对一步得 1 分)

1 所以实数 a 的取值范围是 [? ,1] 2
解法 2: (用求导的方法) h ( x) ? a ?
'

????????????16 分

2a ? 1 ? 0 在区间[1,2]上恒成立。 x2

20. (本小题满分 16 分) (1)证明:由题设 an?1 ? (1 ? q)an ? qan?1 (n ≥ 2) ,得

an?1 ? an ? q(an ? an?1 ) ,
即 bn ? qbn?1,n ≥ 2 . 又 b1 ? a2 ? a1 ? 1 , q ? 0 ,所以 ?bn ? 是首项为 1,公比为 q 的等比数列.????5 分 (2)解:由(Ⅰ) ,

a2 ? a1 ? 1 ,
a3 ? a2 ? q ,
??

an ? an?1 ? qn?2 (n ≥ 2) .
将以上各式相加,得 an ? a1 ? 1 ? q ? …? q
n ?2

(n ≥ 2) .所以当 n ≥ 2 时,

? 1 ? q n ?1 ,q ? 1, ?1 ? an ? ? 1? q ?n, q ? 1. ?
上式对 n ? 1 显然成立.????????????10 分 (3)解:由(Ⅱ ,当 q ? 1 时,显然 a3 不是 a6 与 a9 的等差中项,故 q ? 1 . ) 由 a3 ? a6 ? a9 ? a3 可得 q5 ? q2 ? q2 ? q8 ,由 q ? 0 得

q3 ? 1 ? 1 ? q 6 ,



整理得 (q3 )2 ? q3 ? 2 ? 0 ,解得 q3 ? ?2 或 q3 ? 1 (舍去) .于是

q?? 2.
3

另一方面,

q n? 2 ? q n?1 q n?1 3 an ? an?3 ? ? (q ? 1) , 1? q 1? q an?6 ? an ?
由① 可得

q n?1 ? q n?5 q n?1 ? (1 ? q 6 ) . 1? q 1? q

an ? an?3 ? an?6 ? an,n ? N* .
所以对任意的 n ? N , an 是 an ?3 与 an?6 的等差中项.?????????16 分
*

17. (本题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? x3 ? (1 ? a) x2 ? a(a ? 2) x ? b (a, b ? R) . (1)若函数 f ( x ) 的图象过原点,且在原点处的切线斜率是 ?3 ,求 a , b 的值; (2)若函数 f ( x ) 在区间 (?1,1) 上不单调,求 a 的取值范围. ... 17.解析: (1)由题意得 f ?( x) ? 3x 2 ? 2(1 ? a) x ? a(a ? 2) 又?

f (0) ? b ? 0 ,解得 b ? 0 , a ? ?3 或 a ? 1 ??????6 分 ? f ?(0) ? ?a(a ? 2) ? ?3 ?

(2)函数 f (x) 在区间 (?1,1) 不单调,等价于 导函数 f ?(x) 在 (?1,1) 既能取到大于 0 的实数,又能取到小于 0 的实数???10 分 即函数 f ?(x) 在 (?1,1) 上存在零点,根据零点存在定理,有

f ?(?1) f ?(1) ? 0 , 即: [3 ? 2(1 ? a) ? a(a ? 2)][3 ? 2(1 ? a) ? a(a ? 2)] ? 0
整理得: (a ? 5)(a ? 1)(a ? 1) 2 ? 0 ,解得 ? 5 ? a ? ?1 ??????????15 分

20.已知关于 x 的函数 f ? x ? ? ?

1 3 x ? bx 2 ? cx ? bc , 其导函数为 f ' ?x ? 。令 3

g ? x ? ? f ' ? x ? ,记函数 g ?x ? 在区间 ?? 1,1?上的最大值为 M
(1) 如果函数 f ?x ? 在 x ? 1 处有极值 ?

4 ,试确定 b, c 的值 3 (2) 当 c ? 1 时,若 M ? k 对任意的 b ? R 恒成立,试求 k 的最大值

18. (本题满分 15 分) 如图,某小区准备绿化一块直径为 BC 的半圆形空地, ?ABC 外的地方种草, ?ABC 的 内接正方形 PQRS 为一水池,其余地方种花.若 BC=20米, ?ABC=? ,设 ?ABC 的面积为

S1 ,正方形 PQRS 的面积为 S 2 ,将比值
合理度”. (1)试用 ? 表示 S1 和 S 2 .

S1 称为“规划 S2

A P S

B Q (2)当 ? 变化时,求“规划合理度”取得最小值时的角 ? 的大小. 18.解: 、 如图,在 Rt ? ABC中 (1) AC=20sin? ,AB=20cos? , ???????????2 分

R

C

1 ? 202 ? sin ? cos ? = 100 sin 2? ???????????3 分 2 x ,RC=xtan? ?????5 分 设正方形的边长为 x 则 BQ= tan? x ? +x+xtan? =20 ???????????6 分 tan? 20 sin 2? 20 = ???????????7 分 ? x= 1 2 ? sin 2? +tan? +1 tan? S1 ?

? 20 sin 2? ? S2 ? x 2 ? ? ? ? 2 ? sin 2? ?
i s (2) t ? 、 n 2?

2

???????????8 分

202 sin 2? S 1? 1 ? 而 S2 = ? 1 ? ?t ? ? 4? 2 4 ? 4 sin 2? ? sin 2? S2 4 ? t ?

??11 分

∵0 < ? <

? 1? 1 ? ,又 0 <2 ? < ? ,? 0< t ?1? f ? t ? ? ? t ? ? 4 ? 为减函数 2 4? t ?
3 ? S1 取得最小值为 此时 sin 2? ? 1 ?? = 2 4 S2
. ???15 分

当 t ? 1时

20.(本小题满分 16 分) 20.(本题 16 分)已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx
3 2

(1)若函数 y ? f ( x)在x ? 2处有极值 ? 6,求y ? f ( x)的单调递减区间;
' ' (2) 若y ? f ( x)的导数f ( x)对x ? [?1,1]都有f ( x) ? 2,求

b 的范围. a ?1

20.解: (1) f ( x) ? 3x ? 2ax ? b, 依题意有 ?
' 2

? f ' (2) ? 0 ? f (2) ? ?6

? 5 ? ? 12 ? 4a ? b ? 0 ?a ? ? 即? 解得 ? 2 ?8 ? 4a ? 2b ? ?6 ? b ? ?2 ? ?
1 由f ' ( x) ? 0得 ? ? x ? 2 3

? f ' ( x) ? 3x2 ? 5x ? 2

∴ y ? f ( x)的单调递减区间 是 (? , 2) (也可写成闭区间) (2)由?

1 3

? f ' (?1) ? 3 ? 2a ? b ? 2
'

? 2a ? b ? 1 ? 0 得? ? f (1) ? 3 ? 2a ? b ? 2 ?2a ? b ? 1 ? 0

不等式组所确定的平面区域如图所示。

?2a ? b ? 1 ? 0 ? a ? 0 由? 得? ?2a ? b ? 1 ? 0 ?b ? ?1
b , 则z表示平面区域内的 设 a ?1 点(a, b)与点P(1, 0)连线的斜率, z?
? kPQ ? 1,由图可知z ? 1或z ? ?2
即 b ? (??, ?2) ? [1, ??). a ?1

b

O Q

· P a


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