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3.1.2概率的意义


3.1.2 概率的意义 教材分析
本节内容是数学必修三(人教 A 版)第三章、第一节第二小节,第 113-118 页,“概率的意义” ,按 照教学内容交叉编排、螺旋上升的方式,本章是在统计的基础上展开对概率的研究.本节是从频率的角度 来解释概率,其核心内容是介绍试验概率的意义.本节课的学习,将为后面学习理论概率的意义和用列举 法求概率打下基础.重点是对概率的理解和它在实

际中应用,学生初学概率,面对概率的意义描述,会感 到困惑, 概率是什么?是否是频率?辩证理解频率和概率的关系是一大难点, 由于本节内容非常贴近生活, 因此丰富的问题情境会激发学生浓厚兴趣,学生过去的生活经验会给这节课学习概率带来障障,正确理解 每次试验结果的随机性与大量试验结果的规律性是又一难点.

课时分配
本节内容用 1 课时完成,主要讲解概率的意义.

教学目标
重 点:概率的正确理解及其在实际生活中的应用. 难 点:利用概率思想正确处理和解释实际问题,随机试验结果的随机性与规律性的关系. 知识点:①正确理解概率的含义. ②随机性与规律性:解释每次试验结果的随机性,多次试验结果的规律 性,进一步说明频率与概率之间的区别.③概率与公平性的关系.④概率与决策的关系.⑤概率与 预报的关系⑥试验与发现,遗传机理中的统计规律. 能力点:学生经历试验,统计,分析,归纳,总结,进而了解并感受概率的定义的过程,引导学生从数学 的视角,观察客观世界;用数学的思维,思考客观世界;以数学的语言,描述客观世界.学生经 历试验,整理,分析,归纳,确认等数学活动,感受数学活动充满了探索性与创造性,感受量变 与质变的对立统一规律,培养对概率的精准,新颖,独特的思维方式的能力. 教育点:通过对概率的实际意义的理解,体会知识来源于实践并应用于实践的辩证唯物主义观,进而体会 数学与现实世界的联系.认识事物之间的普遍联系与相互转化,培养学生用联系的观点看问题. 自主探究点:①有人说,既然抛掷一枚硬币出现正面向上的概率为 0.5,那么连续抛掷两次一枚质地均匀 的硬币,一定是一次正面向上,一次反面向上.你认为这种想法正确吗? ②某中学高一年级有 12 个班,要从中选 2 个班代表学校参加某项活动,由于某种原因,一班必 须参加,另外再从二至十二班中选 1 个班.方法:掷两个骰子得到的点数和是几,就选几班,公 平吗? 考试点:概率内容高考必考. 易错易混点:频率与概率关系,等可能与非等可能问题,有序与无序问题. 拓展点: 大千世界充满了随机事件,生活中处处有概率.利用概率的理论意义,对各种实际问题作出合理 解释和正确决策,是我们学习概率的一个基本目的.

教具准备

导学案,乒乓球 9 白 1 黄、学生每人 1 枚硬币、8 个骰子、三角板和多媒体.

课堂模式:学案导学. 【教学过程】 一、引入新课
1

1.创设情境,揭示课题(导学案题组) 同学们,我们上节课学习了随机事件的概率,请回忆必然事件、不可能事件、确定事件、随机事件 的定义,概率、频率定义,频率与概率关系,并回答下列问题: (1)指出下列事件是必然事件、不可能事件,还是随机事件: ①枣庄明年 1 月 1 日刮西北风; ②三个乒乓球放入两个盒子里,其中一盒必有两个球; ③手机的电池没电,能打电话; ④一个电影院某天的上座率超过 50% ; ⑤明天坐公交车比较拥挤; ⑥将一枚硬币抛掷 4 次出现两次正面和两次反面; 学生思考,然后找两位同学说出答案. 答案:②是必然事件,③是不可能事件,①④⑤⑥是随机事件. (2)下列说法: ①频率是反映事件发生的频繁程度,概率反映事件发生的可能性的大小;②做 n 次随机试验,事件 A 发生的频率

m 就是事件的概率;③百分率是频率,但不是概率;④频率是不能脱离具体的 n 次试验的试验 n

值,而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值;⑤频率是概率的近似值,概率是频率的稳定值. 其中正确的是___. 学生思考,然后找两位同学说出答案.答案: (4) (1) (5). 【设计意图】通过问题复习回顾随机事件概率有关的概念,做好知识铺垫. 某超市为了促销,搞摸奖活动,促销员大喊:“快来摸奖,中奖率 50℅,买两张,中一张!”,买两 张真的能中一张吗?,要解决这个问题,我们来学习概率的意义. 【板书】3.1.2 概率的意义 【设计意图】由实际问题,引入课题.

二、探究新知
【探究新知一】概率的正确理解 思考 1:既然抛掷一枚硬币出现正面的概率为 0.5,那么连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币,一定是一次 正面朝上,一次反面朝上,你认为这种想法正确吗? 学生回答“是”与“否” ,同学们的观点不一致,让学生做试验. 探究 1:教师引导学生做试验:全班同学各取一枚同样的硬币,连续两次抛掷,观察它落地后朝向,并记 录结果.重复上面的过程 10 次,将全班同学的试验结果汇总,计算三种结果发生的频率。你有什么发现? 随机事件 频数 频率 教师归纳:通过试验我们发现,正面向上的概率是 0.25,反面向上的概率也是 0.25,而一正一反的概率 为 0.5.上述实验告诉我们, 随机试验在一次试验中发生与否是随机的, 但随机性中蕴含着规律性. 认识了这种随机性中的规律性,就能比较准确的预测随机事件发生的可能性 【设计意图】通过学生抛硬币试验,培养其动手、观察和总结的能力,澄清错误认识,正确理解概率意义. 思考 2:如果某种彩票的中奖概率为 的张数?) 学生回答出两种不同答案“一定”或“不一定”,出现分歧.在彩票有足够多的情况下,可以近似看 成有放回的抽样,引导学生将上述问题变更为教科书边空的模拟试验.学生做试验. 正 正 正反 反正 反反

1 ,那么买 1000 张这种彩票一定能中奖吗?(假设彩票有足够多 1000

探究 2:请同学们把同样大小的 9 个白色乒乓球和 1 个黄色乒乓球放在 1 个不透明的袋中,然后每次摸出
1 个球后再放回袋中,这样摸 10 次,观察是否一定至少有 1 次摸到黄球.
2

学生通过观察得出结论:黄色乒乓球可能一次也摸不到.中奖概率为

1 ,买 1000 张不一定中奖. 1000

教师解释原因:买一千次彩票,等于做一千次实验,因为每次实验结果都有随机性,所以买一千张彩 票不一定中奖.随着试验次数的增加,即随着所买彩票张数的增加,其中奖彩票所占的比例可能越接近于

1 999 1000 ) ? 0.632 . .但这种随机性中具有规律性,买 1000 张彩票中奖概率为 1 ? ( 1000 1000

【设计意图】 提出问题,引导学生讨论,讲出自己的想法,进而分析学生的解释,引出概率含义正确理解.
【探究新知二】概率与公平性 大家在看体育比赛的时候, 有没有注意到在乒乓球、 足球、 排球等比赛开始时候是如何决定发球权的? 爱好看体育节目的同学回答掷硬币,老师提出问题: 问题:在乒乓球、排球等比赛中,裁判通过让运动员猜上抛均匀塑料圆板着地是正面还是反面来决定哪方 先发球,这样做是否公平? 学生感觉公平,不会解释,老师解释:这个规则是公平的,因为抽签上抛后,正面朝上与反面朝上的 概率均是 0.5,因此任何一名运动员猜中的概率都是 0.5,也就是每个运动员取得先发球权的概率都是 0.5. 探究 3:枣庄一中东校高一年级有 10 个班,要从中选 2 个班代表学校参加某项活动.由于某种原因,一班 必须参加,另外再从二至十二班中选 1 个班.有人提议用如下方法:掷两个骰子得到的点数和是几,就选 几班,你认为此方法公平吗? 要求学生讨论,交流,作出判断.(导学案列出表,让学生填空) 1点 1点 2点 3点 4点 5点 6点 2 3 4 5 6 7 2点 3 4 5 6 7 8 3点 4 5 6 7 8 9 4点 5 6 7 8 9 10 5点 6 7 8 9 10 11 6点 7 8 9 10 11 12

1 2 3 4 5 6 5 ,3 班: ,4 班: ,5 班: ,6 班: ,7 班: ,8 班: , 36 36 36 36 36 36 36 4 3 2 1 9 班: ,10 班: ,11 班: ,12 班: .显然,2 班、12 班机会最小,7 班机会最大. 36 36 36 36
从表格分析:2 班: 学生不列表快速方法:如:12=6+6,一种可能;11=5+6=6+5,两种.10=4+6=5+5=6+4,三种可能. 【设计意图】提出问题,引导学生讨论,利用学生所学概率知识判断,使学生体会概率在游戏的公平性方 面的应用 【探究新知三】 概率与决策 拿出事先准备好的 8 个质地均匀骰子,让学生分 8 组掷骰子,观察向上出现的点数,填写表格: 向上出现点数 频数 频率 经过做试验知道,每个点数出现的频率近似为 1点 2点 3点 4点 5点 6点 总数

1 1 ,概率为 . 6 6

思考 3.如果连续 10 次掷一枚骰子,结果都是出现 1 点,你认为这枚骰子的质地均匀吗?为什么? 大多数同学认为不均匀.老师给出分析.

3

分析:利用刚学过的概率知识我们可以进行推断,如果它是均匀的,通过试验和观察,可以发现出现各个面 的可能性都应该是

1 1 10 ,从而连续 10 次出现 1 点的概率为( ) ≈0.000 000 01 653 8,这在一次试验(即连续 6 6

10 次投掷一枚骰子)中是几乎不可能发生的.而当骰子不均匀时,特别是当 6 点的那面比较重时(例如灌了铅 或水银),会使出现 1 点的概率最大,更有可能连续 10 次出现 1 点. 如果我们面临的是从多个可选答案中挑选正确答案的决策任务,“使样本出现的可能性最大”可以作 出决策准则,这种判断问题的方法称为极大似然法. 极大似然法是统计中最重要的的统计思想方法之一. 【设计意图】让学生体会极大似然法的统计思想,引导学生用所学知识解释极大似然法这种统计思想的合 理性. 【探究新知四】 概率与预报 让学生阅读课本 P117 页.学生讨论、交流,形成正确认识. 思考 4:某地气象局预报说,明天本地降水概率是 70%,你认为下面两个解释中哪个能代表气象局的观点? (1)明天本地有 70%的区域下雨,30%的区域不下雨; (2)明天本地下雨的机会是 70%. 结论: 显然是不正确的, (1) 因为 70℅概率是说降水的概率, 而不是说 70℅的区域降水.正确为 (2) . 生活中,我们经常听到这样的议论: “天气预报说昨天降水概率为 90%,结果根本一点雨都没下, 天气预报也太不准确了”,学了概率后,你能给出解释吗? 解:天气预报的“降水”是一个随机事件,概率为 90%指明了“降水”这个随机事件发生的概率,我 们知道:在一次试验中,概率为 90%的事件也可能不出现,因此, “昨天没有下雨”并不说明“昨天的降 水概率为 90%”的天气预报是错误的. 【设计意图】纠正有关对天气预报的错误理解,使学生理解降水概率的确切含义. 【探究新知五】试验与发现 老师介绍孟德尔生平. 让学生阅读课本 P117 页. 思考并回答下列问题: ①为什么表面相同的豌豆会长出不同的后代? ②为什么每次试验的结果比例都稳定在 3:1 附近? ③孟德尔在创立遗传学的过程中,统计与概率所起的作用是什么? 【设计意图】通过孟德尔的试验,让学生了解概率应用的广泛性,并注意在科学发现中,试验、观察、猜 想等方法是十分重要的.实践出真知.八年耕耘源于对科学的痴迷, 一畦畦豌豆蕴藏遗传的秘密.试验设计开 辟了研究的新路,数学统计揭示出遗传的规律.让学生学习科学探索的精神. 【探究新知六】遗传机理中的统计规律 让学生阅读课本 P118 页 孟德尔通过豌豆进行杂交试验的进一步研究发现了生物遗传的基本规律.下面给出简单的解释: 每个豌豆均有两个特征因子组成,下一代是从父母辈中各随机地选取一个特征组成自己的两个特征. 每个结果都是随机事件.显性因子和隐性因子是有区别的. 用符号 YY 代表纯黄色豌豆的两个特征因子,用符号 yy 代表纯绿色豌豆的两个特征因子 【板书】 Y y 纯黄色豌豆 YY 纯绿色豌豆 yy Y YY Yy 第一代豌豆 Yy y Yy yy 第二代豌豆 YY Yy Yy yy 由于下一代是从父母辈中各随机地选取一个特征组成自己的两个特征,因此在第二代中 YY,yy 出现的 概率是

1 1 ,Yy 出现的概率是 .所以黄色豌豆(YY,Yy):绿色豌豆(yy)约等于 3:1. 4 2

实际上, 遗传机理中的统计规律问题可以化归为同时抛掷两枚硬币的试验问题,把正面看成显性因子, 反面看成隐性因子. 【设计意图】 让学生体会统计与概率在科学研究中的重要作用, 突出概率的应用性及其与其他学科的联系。
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三、理解新知
1.频率与概率有什么区别和联系? 找学生说出区别与联系,老师归纳: 区别:① 频率是随机的,在试验之前不能确定;② 概率是一个确定的数,与每次试验无关; 联系 ③ 随着试验次数的增加,频率在概率附近波动;④频率是概率的近似值,概率是用来度量事 件发生可能性的大小. 2.正确理解概率的含义.在概率定义的基础上,从以下两个方面正确理解概率的含义,澄清日常生活中遇 到的一些错误认识:①试验:通过抛掷一枚质地均匀的硬币;通过从盒子中摸球的试验,掷骰子.②随机 性与规律性:解释每次试验结果的随机性,多次试验结果的规律性,进一步说明频率与概率之间的区别. 【设计意图】进一步明确频率与概率的关系

四、运用新知
类型一:概率的正确理解(导学案题组) 例 1.①H7N9 病毒可防可控.禽流感疫情过后,某养鸡场扩大养鸡规模,实行鸡苗人工孵化,10000 个鸡蛋 能孵出 8513 只小鸡,根据概率的统计定义解答下列问题: (1)求这种鸡蛋的孵化概率(孵化率) ; (2)30000 个鸡蛋大约能孵化多少只小鸡? (3)要孵化 5000 小只鸡,大概得备多少个鸡蛋?(精确到百位) 【板书】解: (1)这种鸡蛋的孵化频率为

8513 =0.8513,它近似的为孵化的概率. 10000 x 8513 (2)设能孵化 x 个,则 = ,∴x=25539,即 30000 个鸡蛋大约能孵化 25539 只小鸡. 30000 10000
(3)设需备 y 个鸡蛋,则

5000 8513 = ,∴y≈5873,即大概得准备 5873 个鸡蛋. y 10000

【设计意图】利用频率近似代替概率. ②某种病治愈率是 0.3,那么前 7 个人没有治愈,后 3 个人就一定治愈吗? 思维过程:治愈率 0.3,只是说明 10 人中可能有 3 人能治愈,后 3 人可能治愈 3 人,2 人,1 人,0 人. 变式训练:①某厂产品的次品率为 0.02,问“从该厂产品中任意地抽取 100 件,其中一定有 2 件次品”这 一说法对不对?为什么? ②一次抽奖活动中,中奖的概率为 0.3,解释该概率的含义; 学生思维过程:①不对.抽取 100 件,如果产品足够多,有可能 0 件,1 件,2 件,。 。。100 件. ②抽取 10 张彩票,可能有 3 张中奖. 【设计意图】正确理解现实生活中概率. 类型二:游戏的公平性(导学案题组) 例 2.甲乙两人做游戏,下列游戏中不公平的是( ) A.抛一枚骰子,向上的点数为奇数则甲胜,向上的点数为偶数则乙胜 B.同时抛两枚相同的骰子,向上的点数之和大于 7 则甲胜,否则乙胜. C.从一副不含大、小王的扑克中抽一张,扑克牌是红色则甲胜,是黑色乙胜. D.甲乙两人各写一个字,若是同奇或同偶则甲胜,否则乙胜. 让学生说出思维过程,老师总结:对于 A、C、D,甲胜,乙胜的概率向占

1 ,游戏是公平的;对于 B,点 2

数之和大于 7 和点数之和小于是 7 相等,但点数小于等于 7 时,乙胜,游戏不公平. 【设计意图】让学生学会从概率的角度解决问题.
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变式训练:在乒乓球比赛中,裁判员有时也用数名运动员伸出手指数的和的单数与双数来决定谁先发球,其 具体规则是:让两名运动员背对背站立,规定一名运动员得单数胜,另一名运动员得双数胜,然后裁判员让 两名运动员同时伸出一只手的手指,两个人的手指数的和为单数,则指定单数的运动员得到先发球权,若两 个人的手指数的和为双数,则指定双数胜的运动员得到先发球权,你认为这个规则公平吗? 让学生分析:是公平的.由于 2 人出手指的结果有单数和双数,每个人出单数和双数的机会是相等的,因此,和 为单数和双数的机会是相等的,因而是公平的. 【设计意图】用概率解决生活中问题. 类型三:决策中的概率思想(导学案题组) 例 3.①连续掷硬币 100 次,结果 100 次全部是正面向上,出现这样的结果,你会怎么想?如果出现了 51 次正 面向上,你又会怎么想? ②如果一个袋中装有 99 个红色乒乓球,1 个白色乒乓球,或 1 个红色乒乓球,99 个白色乒乓球,在事先不知道 是哪种情况下,一个人从袋中随机摸出 1 个乒乓球,结果发现是红色乒乓球.你认为这个袋中是有“99 个红 色乒乓球,1 个白色乒乓球”,还是“1 个红色乒乓球,99 个白色乒乓球”? 让学生分析思路:根据极大似然法:①100 次全部正面向上,说明质地不均匀.51 次正面向上,质地均匀. ②应认为是有“99 个红色乒乓球,1 个白色乒乓球”,因为红色出现的概率大. 【设计意图】让学生深刻理解掌握极大似然法,并用它解决实际问题. 变式训练.判断正误 (1)如果一件事情发生的机会只有十万分之一,它就不可能发生( ) (2)如果一件事情发生的概率是 0.995,那么它一定发生( ) (3)如果一件事情不是不可能发生,它就必然发生( ) (4)如果一件事情不是必然发生的,那么它就不可能发生( ) 让学生说出思维过程:全错. 【设计意图】让学生试着用概率思想解决实际问题. 类型四:概率与天气预报(导学案题组) 例 4. 某市的天气预报中,有“降水概率预报”,例如预报“明天降水概率为 90%”,这是指( ). A.明天该地区约 90%的地方会降水,其余地方不降水 B.明天该地区约 90%的时间会降水,其余时间不降水 C.气象台的专家中,有 90%认为明天会降水,其余的专家认为不降水 D.明天该地区降水的可能性为 90% 分析:降水概率为 90%,指降水的可能性为 90%,并不是指降水时间,降水地区或认为会降水的专家 占 90%. 学生回答 D. 【设计意图】对天气预报形成正确认识. 类型五:遗传机理中的统计规律(导学案题组) 例 5.在孟德尔豌豆实验中,若用纯黄色圆粒和纯绿色皱粒作为父本进行杂交,试求子二代结果中性状分别 为黄色圆粒、黄色皱粒、绿色圆粒和绿色皱粒的比例为多少? 分析:记纯黄色圆粒为 XXYY,纯绿色皱粒为 xxyy,其中 X,Y 为显性,x,y 为隐性,子一代为 XY,Xy,xY,xy, XY XY Xy xY xy XXYY XXYy XxYY XxYy Xy XXYy XXyy XxYy Xxyy xY XxYY XxYy xxYY xxYy xy XxYy Xxyy xxYy xxyy

黄色圆粒:XXYY 为 1 个,XxYY 为 2 个,XXYy 为 2 个,XxYy 为 4 个,共 9 个; 黄色皱粒:XXyy 为 1 个,Xxyy 为 2 个,共 3 个;
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绿色圆粒:xxYY 为 1 个,xxYy 为 2 个,共 3 个; 绿色皱粒:xxyy 为 1 个. 所以黄色圆粒、黄色皱粒、绿色圆粒、绿色皱粒的比例 9:3:3:1. 【设计意图】让学生用统计、概率的思想解决问题. 练习:P118 2,3 【设计意图】让学生利用本节所学知识解决实际问题.根据课堂时间,适当选取.

五、课堂小结
概率是一门研究现实世界中广泛存在的随机现象的科学,正确理解概率的意义是认识、理解现实生活 中有关概率的实例的关键,学习过程中应有意识形成概率意识,并用这种意识来理解现实世界,主动参与 对事件发生的概率的感受和探索.通过以上例题与练习可以感到,数学特别是概率正越来越多地应用到我 们的生活当中.它们已经不是数学家手中的抽象理论,而成为我们认识世界的工具.从彩票中奖,到证券分 析;从基因工程,到法律诉讼;从市场调查,到经济宏观调控;概率无处不在. 概率是描述随机事件发生 的可能性大小的一个数量,即使是大概率事件,也不能肯定事件一定会发生,只是认为事件发生的可能性 大.孟德尔通过试验、观察、猜想、论证,从豌豆实验中发现遗传规律是一种统计规律,这是一种科学的 研究方法,我们应认真体会和借鉴.利用概率思想正确处理和解释实际问题,是一种科学的理性思维,在 实践中要不断巩固和应用,提升自己的数学素养. 思想方法:通过具体事例找出一类问题方法,特殊到一般思想. 【设计意图】让学生学会学习,反思,总结,同时应加强对学生在数学知识与思想方法的认识与指导.

六、布置作业:(作业印在导学案上)
【设计意图】培养学生自觉学习的习惯,检查学习效果,及时反馈,查漏补缺. 必做题: 1.在下列各事件中,发生的可能性最大的为 ( ) A.任意买 1 张电影票,座位号是奇数 B.掷 1 枚骰子,点数小于等于 2

C.有 10 000 张彩票,其中 100 张是获奖彩票,从中随机买 1 张是获奖彩票 D.一袋中装有 8 个红球,2 个白球,从中随机摸出 1 个球是红球. 2.酒宴中的“行酒令” ,其规则是:先按饮酒人数制作出与人数相等的酒签,然后由其中一人将制作的一 个签数放到左手(不可为 0) ,由其余人猜其左手签数,要求只能从 1 至总人数的 1 个数中任选一整数,并 且后猜者与先猜者不得重复,当猜者所猜数字与设计者左手中的签数相同时,猜中者就需饮酒,这个游戏 规则是公平的吗?. 3. 为了增强学生对非博会的了解和认识, 枣庄一中西校决定在全校 3000 名学生中随机抽取 10 名学生举行 一次有关非博会的知识问卷,小明认为被选取的可能性为

1 ,不可能抽到他,所以他就不想去查阅、咨 300

询有关非博会的知识,你认为他的做法对吗?请说明理由. 选做题: 【设计意图】对学有余力的学生留出自我发展的空间,尝试能力,拓展创新. 4.在网上或报纸中找出使用概率的例子,并说明这个概率是如何被使用的. 【探究】我们学习了随机事件的概率,理解了概率的意义,概率的基本性质如何?请看课本 P119-121. 【设计意图】通过本题的探究,让学生预习下节内容.

七、教后反思
本节课采用试验、启发、探究相结合的教学方法,通过设置问题引导学生观察分析,使学生在独立思 考的基础上进行合作交流,在思考、探索和交流的过程中获得对概率意义的理解.学生能够运用概率的计 算公式,计算一些简单事件发生的概率,从而实现对可能性从定性化到定量化的研究.通过演示试验大大
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激发了学生学习的积极性,用生活事例加强概念的理解,培养了学生学习数学的兴趣.在轻松愉快的学习 情境中,使学生应用数学的知识,解决了生活中的问题.多媒体、导学案教学的利用,不但给学生一种活 生生的生活情境,而且可以加大信息量,提高课堂效率.让学生参与课堂讨论,自主探索,在自主探索中 发现概念的形成过程,提升学生的整体认识水平.在知识的学习中,重视知识的形成过程和概括过程;在 解决问题中,引导学生多角度进行全面分析.利用小组合作学习的方式,让学生之间建立了相互依存的形 式.在小组合作学习的过程中,学生各自发表了自己的见解,互相评价,互相完善.

八、 板书设计
一、引入新课 3.1.2 概率的意义 四、运用新知 类型一:概率的正确理解 例 1. ① ② 变式训练 类型二:概率与公平性 例2 类型三:极大似然法 例3 三、理解新知 变式训练 类型四:概率与预报 例 4. 类型五:概率与统计 例 5. 五.小结 1.知识: 2.思想方法: 六.作业 必做题 1,2,3 选做题 4

二、探究新知

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