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高三三角函数练习题


一、选择题(每题 5 分,共 50 分) 1、若 α 是第二象限角,且 sin α =

2 , cos α = ( 3
C、



A、

1 3

B、 ?

1 3

5 3

D、

?

5 3


2、把函数 y = sin( 2 x ? A、非奇非偶函数

π
4

) 的图像向右平移

π
8

个单位,所得图像所对应的函数是( C、奇函数 D、偶函数

B、既是奇函数,又是偶函数

5π 3、函数 y = sin( 2 x + ) 的图像的一条对称轴方程是( ) 2
A、 x = ?

π

2

B、 x = ?

π

4、函数 y = sin( x + A、 [

π
4

4

C、 x =

π

8


D、 x =

5π 4

) 的单调递增区间是(

π

2 4 5、 sin163 sin 223 + sin 253 sin 313 = 1 1 3 A. ? B. C. ? 2 2 2

,π ]

B、 [0,

π

]

C、 [ ?π ,0]

[ , ] 4 2
( D. )

π π

3 2

6、 如果函数 f ( x ) = sin(πx + θ ).(0 < θ < 2π ) 的最小正周期是 T, 且当 x = 2 时取得最大值, 那么( )

A、T=2 θ =

π
2
2

B、T=1, θ = π

C、T=2, θ = π

D、T=1, θ =

π
2

7、函数 y = sin ( x +

π
4

) ? sin 2 ( x ?

π
4

) 是(

) B、周期为 π 的偶函数 D、周期为 2π 的偶函数 )

A 、周期为 π 的奇函数 C、周期为 2π 的奇函数 8、下列函数中,周期为 1 的奇函数是( A、 y = 1 ? 2 sin 2 πx B、 y = sin( 2πx +

π
3

)

9、为了得到函数 y = sin( 2 x ? A、向右平移 C、向左平移

π
6

C、 y = tan π x 2

D、 sin πx cos πx

) 的图像,可以将函数 y = cos 2 x 的图像( )
B、向右平移 D、向左平移

π π
6

个单位长度 个单位长度

π π
3 3

个单位长度 个单位长度 图

6

10. 函数 y = A sin(ωx + ?)(ω > 0, ? < 象如图所示,则函数表达式为 (A) y = ?4 sin(

π , x ∈ R) 的 部分 2
( )

π π π π x + ) (B) y = 4 sin( x ? ) 8 4 8 4

(C) y = ?4 sin(

π π π π x ? ) (D) y = 4 sin( x + ) 8 4 8 4


二、填空题(每题 5 分,共 25 分)
11、 tan 2010 = 12、已知 f ( x ) = cos x ?
0

1 cos 2 x, x ∈ R 的最大值是 2

。 , cos 2θ = 。

13、已知 sin

θ
2

+ cos
0

θ
2

=

2 3 ,那么 sin θ = 3
0



14、已知 A = 45 , B = 30 , c = 10, 则 b =

(2)若 sinα ≠ sinβ,则 α ≠ β; (3)若 sinα>0, 15.给出下列命题: (1)若 α ≠ β,则 sinα ≠ sinβ; 则 α 为第一或第二象限角; (4)若 α 为第一或第二象限角,则 sinα>0. 上述四个命题中,正 确的命题有__________个。 三、 解答题: 16、已知 tan(

π
4

+α) =

1 sin 2α ? cos2 α , (1)求 tan α 的值; (2)求 的值. 2 1 + cos2α

17、已知函数 f ( x ) = 2 cos x (sin x ? cos x ) + 1 x ∈ R . , (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 ? , ? 上的最小值和最大值. 8 4

? π 3π ? ? ?

18、函数 f ( x ) = 2 sin x ? (sin x + cos x ) (1) 、求函数 f ( x ) 的最小正周期和最大值。 (2) 、说明函数 f ( x ) 是由函数 y = sin x 的图像经过怎样的伸缩和平移变换得到?

第四章 三角函数 一、基础知识 定义 1 角,一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向,则 角为正角, 若旋转方向为顺时针方向, 则角为负角, 若不旋转则为零角。 角的大小是任意的。 定义 2 角度制,把一周角 360 等分,每一等价为一度,弧度制:把等于半径长的圆弧所对 的圆心角叫做一弧度。360 度=2π 弧度。若圆心角的弧长为 L,则其弧度数的绝对值|α|=

L , r

其中 r 是圆的半径。 在直角坐标平面内, 把角α的顶点放在原点, 始边与 x 轴的正半轴重合, 定义 3 三角函数, 在角的终边上任意取一个不同于原点的点 P,设它的坐标为(x,y) ,到原点的距离为 r,则正 弦函数 sinα=

y x y x ,余弦函数 cosα= ,正切函数 tanα= ,余切函数 cotα= , r r x y 1 sin α cos α , cot α = ,商数关系:tanα= ; cot α cos α sin α

定理 1 同角三角函数的基本关系式, 倒数关系:tanα=

乘积关系: tanα×cosα=sinα,cotα×sinα=cosα; 平方关系: 2α+cos2α=1, tan2α+1=sec2 sin α, cot2α+1=csc2α. 定理 2 诱导公式(Ⅰ)sin(α+π)=-sinα, cos(π+α)=-cosα, tan(π+α)=tanα; (Ⅱ)sin(-α)=-sinα, cos(-α)=cosα, tan(-α)=-tanα; (Ⅲ)sin(π-α)=sinα, cos(π-α)=-cosα, tan=(π-α)=-tanα; ( Ⅳ)sin ?

?π ? ?π ? 。 ? α ? =cosα, cos ? ? α ? =sinα(奇变偶不变,符号看象限) ?2 ? ?2 ?

定理 3 正弦函数的性质,根据图象可得 y=sinx(x∈R)的性质如下。单调区间:在区间

π 3 ? π π? ? ? ?2kπ ? 2 ,2kπ + 2 ? 上为增函数,在区间 ?2kπ + 2 ,2kπ + 2 π ? 上为减函数,最小正周期 ? ? ? ?
为 2 π . 奇偶数. 有界性:当且仅当 x=2kx+ 取最小值-1。对称性:直线 x=k π +

π
2

时,y 取最大值 1,当且仅当 x=3k π -

π
2

时, y

π
2

均为其对称轴,点(k π , 0)均为其对称中心,值域为

[-1,1]。这里 k∈Z. 根据图象可得 y=cosx(x∈R)的性质。 单调区间: 在区间[2kπ, 2kπ+π] 定理 4 余弦函数的性质, 上单调递减,在区间[2kπ-π, 2kπ]上单调递增。最小正周期为 2π。奇偶性:偶函数。对称性: 直线 x=kπ 均为其对称轴,点 ? kπ +

? ?

π

? ,0 ? 均为其对称中心。有界性:当且仅当 x=2kπ 时,y 2 ?

取最大值 1;当且仅当 x=2kπ-π 时,y 取最小值-1。值域为[-1,1]。这里 k∈Z. 定理 5 正切函数的性质:由图象知奇函数 y=tanx(x ≠ kπ+

π

2

)在开区间(kπ-

π

函数, 最小正周期为 π,值域为(-∞,+∞) ,点(kπ,0)(kπ+ , 定理 6

π
2

2

, kπ+

π
2

)上为增

,0)均为其对称中心。

两角和与差的基本关系式:cos(α ± β)=cosαcosβ ? sinαsinβ,sin(α ± β)=sinα

cosβ ± cosαsinβ; tan(α ± β)= 定理 7

(tan α ± tan β ) . (1 ? tan α tan β )

和差化积与积化和差公式:

sinα+sinβ=2sin ?

?α + β ? 2

? ?α ? β ? cos ? ? ? 2

? ?α + β ? ,sinα-sinβ=2sin ? ? ? 2

? ?α ? β ? cos ? ? ? 2

? ?, ?

? ?α + β ? ?α ? β ? , cosα-cosβ=-2sin ? ? sin ? ? ? 2 ? ? 2 1 1 sinαcosβ= [sin(α+β)+sin(α-β)],cosαsinβ= [sin(α+β)-sin(α-β)], 2 2 1 1 cosαcosβ= [cos(α+β)+cos(α-β)],sinαsinβ=- [cos(α+β)-cos(α-β)]. 2 2
cosα+cosβ=2cos ? 定理 8 tan2α=

?α + β ? 2

? ?α ? β ? cos ? ? ? 2

? ?, ?

倍角公式:sin2α=2sinαcosα, cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α,

2 tan α . (1 ? tan 2 α )

(1 ? cos α ) (1 + cos α ) ?α ? ?α ? ,cos ? ? = ± , ?=± 2 2 ?2? ?2? (1 ? cos α ) sin α (1 ? cos α ) ?α ? tan ? ? = ± = = . (1 + cos α ) (1 + cos α ) sin α ?2? ?α ? ?α ? 2 tan ? ? 1 ? tan 2 ? ? ? 2 ? , cos α = ?2?, 定理 10 万能公式: sin α = ?α ? ?α ? 1 + tan 2 ? ? 1 + tan 2 ? ? ?2? ?2? ?α ? 2 tan ? ? ?2? . tan α = ?α ? 1 ? tan 2 ? ? ?2? 如果 a, b 是实数且 a2+b2 ≠ 0, 则取始边在 x 轴正半轴, 终边经过点(a, 定理 11 辅助角公式: b a
定理 9 半角公式:sin ? b)的一个角为β,则 sinβ=
2 2

a2 + b2

,cosβ=

a2 + b2

,对任意的角α.

asinα+bcosα= ( a + b ) sin(α+β). 定理 12 正弦定理:在任意△ABC 中有

a b c = = = 2 R ,其中 a, b, c 分别是 sin A sin B sin C

角 A,B,C 的对边,R 为△ABC 外接圆半径。 定理 13 余弦定理:在任意△ABC 中有 a2=b2+c2-2bcosA,其中 a,b,c 分别是角 A,B,C 的 对边。 定理 14 图象之间的关系:y=sinx 的图象经上下平移得 y=sinx+k 的图象;经左右平移得 y=sin(x+ ? )的图象 (相位变换) 纵坐标不变, ; 横坐标变为原来的

1

ω

, 得到 y=sin ωx ( ω > 0 )

的图象(周期变换) ;横坐标不变,纵坐标变为原来的 A 倍,得到 y=Asinx 的图象(振幅变 换) ;y=Asin( ω x+ ? )( ω >0)的图象(周期变换) ;横坐标不变,纵坐标变为原来的 A 倍,得 到 y=Asinx 的图象(振幅变换) ;y=Asin( ω x+ ? )( ω , ? >0)(|A|叫作振幅)的图象向右平移 个单位得到 y=Asin ω x 的图象。 定义 4 函数 y=sinx ? x ∈ ?? ?

? ω

? ?

? π π ?? , ? 的反函数叫反正弦函数,记作 y=arcsinx(x∈[-1, 1]),函 ? ? 2 2 ?? ?

数 y=cosx(x∈[0, π]) 的反函数叫反余弦函数,记作 y=arccosx(x∈[-1, 1]). 函数

y=tanx ? x ∈ ?? ?

? ?

? π π ?? , ? ? 的反函数叫反正切函数。记作 y=arctanx(x∈[-∞, +∞]). y=cosx(x∈[0, ? ? 2 2 ??
? π? ? ,则 sinx<x<tanx. ? 2?
) B. sin168 < sin11 < cos10
0 0 0 0 0 0 0

π])的反函数称为反余切函数,记作 y=arccotx(x∈[-∞, +∞]). 定理 15 若 x ∈ ? 0,

例 2、下列关系式中正确的是( A. sin11 < cos10 < sin168
0

C. sin11 < sin168 < cos10
0 0

0

D. sin168 < cos10 < sin11
2

0

例 4 已知函数 y=sinx+ 1 + cos x ,求函数的最大值与最小值。 例5 求y =

sin x cos x 的值域。 1 + sin x + cos x 2 5 π , ≤ α ≤ π ,则 tan α = 5 2


例 6 已知 sin α = 例 7 已知 sin(α-β)= 的值。

5 5 ?π ? ? 3π ? , sin(α+β)=, α-β∈ ? , π ? , 且 α+β∈ ? 求 ,2π ? , sin2α,cos2β 13 13 ?2 ? ? 2 ?

【例 8】 (2006 重庆)设函数 f ( x ) =

3 cos 2 ω x + sin ω x cos ω x + a (其中 ω > 0, a ∈ R ) ,

且 f ( x ) 的图象在 y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为 (Ⅰ)求 ω 的值; (Ⅱ)如果 f ( x ) 在区间 [ ?

π

π 5π

6



, ] 上的最小值为 3 ,求 a 的值。 3 6

【例 9】 (2005 全国卷Ⅰ)设函数 f ( x ) = sin( 2 x + ? ) ( ?π < ? < 0), y = f ( x ) 图像的一条 对称轴是直线 x =

π
8



(Ⅰ)求φ; (Ⅱ)求函数 y=f(x)的单调增区间; (Ⅲ)画出函数 y=f(x)在区间[0,π]上的图像。 例 10.(2006 福建) 已知函数 f ( x ) = sin 2 x + 3 sin x cos x + 2 cos 2 x, x ∈ R. (I)求函数 f ( x ) 的最小正周期和单调增区间; (II)函数 f ( x ) 的图象可以由函数 y = sin 2 x ( x ∈ R ) 的图象经过怎样的变换得到?

1、设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 b + c = a + 3bc ,求:
2 2 2

(Ⅰ)A 的大小;(Ⅱ) 2sin B cos C ? sin( B ? C ) 的值.

2、在 ?ABC 中,A、B 为锐角,角 A、B、C 所对应的边分别是 a,b,c,且 sin A =

5 , 5

sin B =

10 , 、求 A+B 的值; 、若 a ? b = 2 ? 1 ,求 a,b,c 的值; (1) (2) 10

3.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且满足 cos

A 2 5 = , 2 5

AB ? AC = 3 . (I)求 ?ABC 的面积; (II)若 c = 1 ,求 a 的值.

4、在 ?ABC 中, BC =

5, AC = 3,sin C = 2sin A

(1)求 AB 的值; (2)求 sin ? 2 A ?

? ?

π?

? 的值 4?

5、在锐角△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的边,且 3a = 2c sin A (Ⅰ)确定角 C 的大小: (Ⅱ)若 c= 7 ,且△ABC 的面积为

3 3 2

,求 a+b 的值。

6、在 ?ABC 中,内角 A , B , C 对边的边长分别是 a , b , c ,已知 a + c = 2b .
2 2 2

(Ⅰ)若 B =

π

4

,且 A 为钝角,求内角 A 与 C 的大小; (Ⅱ)求 sin B 的最大值.

7、已知向量 m = (sin A, cos A), n = (1, ?2), 且 m ? n = 0 。 (2)求函数 f ( x ) = cos 2 x + tan A sin x ( x ∈ R ) 的值域。 (1)求 tan A 的值;


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