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高二数学选修2-2复合函数的导数教案


快乐不是因为拥有的多而是计较的少。 高二数学选修 2-2 复合函数的导数教案 一、学习目标 理解并掌握复合函数的求导法则. 二、重点难点 本节的重点是复合函数的求导方法:复合函数对自变量的导数 等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积. 本节的难点是:正确分解复合函数的复合过程 做到不漏 不重 熟练 正确. 三、典型例题 1.求复合函数的导数 例 1 求 y =

sin(tan x2)的导数. 【点评】 求复合函数的导数 关键在于搞清楚复合函数的结构 明确复合次数 由外层向内层逐层求导 直到关于自变量求导 同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果. 2.和、差、积、商的导数中的复合函数的导数. 例 2 求 y =sin 43 x cos3 4 x 的导数 【点评】 复合函数为三层复合.正确认识复合过程关键是熟悉初等函数和导数公式. 例 3 求 y =的导数. 【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数.求导数后要予以化简整理. 3.开阔思路 恰当选用求导数方法. 例 4 求 y =sin4x +cos 4x 的导数. 【解法一】y =sin 4x +cos 4x=(sin2x +cos2x)2-2sin2cos2x=1-sin22 x =1-(1-cos 4 x)=+cos 4 x. y′=-sin 4 x. 【解法二】y′=(sin 4 x)′+(cos 4 x)′=4 sin 3 x(sin x)′+4 cos 3x (cos x)′= 4 sin 3 x cos x +4 cos 3 x (-sin x)=4 sin x cos x (sin 2 x -cos 2 x)=-2 sin 2 x cos 2 x=-sin 4 x 【点评】 解法一是先化简变形 简化求导数运算 要注意变形准确.解法二是利用复合函数求导数 应注意不漏步. 例 5 求 y = (0<A < 【解法一】y =(0<A < ∴ y ==sin()+cos() =2 [sin()+cos()]=2 sin()=2 cos

y′=(2 cos )′=-sin . 【解法二】y′=()′+()′ =(1-sin A)(-cos A)+(1+sin A)cos A = ∵ A ∈(0 ) =[(cos -sin )-(cos +sin )] =-sin . 【解法三】∵ 0<A < y =+=(cos -sin )+(cos +sin )=2 cos . y′=-sin . 【点评】 解法一和解法三都是先化简 但难易有别 繁简差异较大 恰当选择公式是关键.解法二是从和的导数求导数入手.后面的化简较繁. 例 6 曲线 y =x(x +1) (2-x)有两条平行于直线 y =x 的切线 求此二切线之间的距离. 【解】y =-x 3 +x 2 +2 x y′=-3 x 2+2 x +2 令 y′=1 即 3 x2-2 x -1=0 解得 x =-或 x =1.于是切点为 P(1 2) Q(- -) 过点 P 的切线方程为 y -2=x -1 即 x -y +1=0. 显然两切线间的距离等于点 Q 到此切线的距离 故所求距离为 =. 【点评】 例 6 复习导数的运算和导数的几何意义.


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