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2015-2016学年高中数学 2.2.1.1对数课件 新人教A版必修1


第二章

基本初等函数(Ⅰ)

2.2 对数函数

2.2.1

对数与对数运算

第一课时

对数

课前预习目标

课堂互动探究

课前预习目标
梳理知识 夯实基础

r /> 学习目标 1.理解对数的概念,了解常用对数和自然对数. 2.能够进行对数式与指数式的互化. 3.掌握对数的三个重要结论.

课前热身 1.对数的概念 如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做________,记作 ________,其中a叫做________,N叫做____. 2.对数的基本性质 (1)___________________________________________; (2)___________________________________________; (3)___________________________________________.

3.两种重要对数 (1)常用对数:__________________________叫做常用对 数.记做________. (2)自然对数:________________________称为自然对 数,简记为lnN,其中e=2.71828…为无理数. 4.对数与指数间的关系 当________时,ax=N?x=logaN.

1.以a为底N的对数 自 我 校 对

x=logaN

对数的底数

真数

2.(1)负数和零没有对数 (2)loga1=0 (3)logaa=1 3.(1)以10为底的对数 (2)以e为底的对数 4.a>0,a≠1 lgN

思考探究 义?

为什么logaN(a>0,且a≠1)中N>0,才能有意

提示 依据对数定义,若ax=N,则x=logaN,对于a>0, 不论x取何实数总有ax>0,故需N>0.

名师点拨 1.对数的概念 对数式logaN可看作一符号,表示底为a(a>0,a≠1),幂为 N的指数或表示方程ax=N(a>0,a≠1)的解.也可以看作一种 运算,即已知底为a(a>0,a≠1),幂为N,求幂指数的运算或 求解方程ax=N(a>0,a≠1).因此,又可看作幂运算的逆运 算.

“log”同+、×、

等符号一样,表示一种运算,即已知

一个数和它的幂求指数的运算,这种运算叫对数运算,不过对 数运算的符号写在数的前面.

2.对数的性质 (1)零和负数没有对数 对数符号logaN(a>0,且a≠1),只有在N>0时才有意义. (2)loga1=0(a>0,a≠1).由a0=1(a>0,a≠1),及指数与 对数的关系,得loga1=0. (3)logaa=1(a>0,a≠1). 由于a1=a(a>0,a≠1),根据指数与对数的关系,得logaa =1.

(4)alogaN=N(a>0,a≠1,N>0)的推导方法 由ab=N ①, ②,

得b=logaN

将②代入①有alogaN=N.

3.对数与指数的关系 (1)指数式ab=N(a>0,a≠1)与对数式logaN=b(a>0, a≠1),实质上是表示a,b,N之间的同一关系的两种等价的表 示形式.即 当a>0,a≠1时,ab=N?logaN=b.

(2)指数式和对数式相应各数的名称 式子 a 指数式 ab=N 底数 底数 名称 b 指数 对数 N 幂值 真数

对数式 logaN=b

(3)并非任何指数式都可以直接化为对数式,如(-3)2=9 就不能直接写成log-39,只有符合a>0,a≠1,且N>0时,才有 ax=N?x=logaN.

课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通

典例剖析



指数式与对数式的互化
将下列对数形式化为指数形式或将指数形式化

【例1】 为对数形式:

(1)72=49; (2)log1 8=-3;
2

?1?- (3)?4? 2=16; ? ?

(4)lg1000=3; 1 (5)3 = ; 9
-2

(6)lnx=2. 【分析】 化. 解答本题可以从指数式与对数式的关系进行转

【解】 (2)∵log1
2

(1)∵72=49,∴log749=2.
?1?- 8=-3,∴?2? 3=8. ? ?

?1?- (3)∵?4? 2=16,∴log1 ? ? 4

16=-2.

(4)∵lg1000=3,∴103=1000. 1 1 (5)∵3 =9,∴log39=-2.
-2

(6)∵lnx=2,∴x=e2.

变式训练1 1 (1)3 =27;
x

将下列指数式与对数式进行互化.

?1? (2)?4?x=64; ? ?

(3)5



1 2

1 = ; 5
2

(4)log

4=4;

(5)lg0.001=-3; (6)log
2 -1

( 2+1)=-1.

1 解 (1)log327=x. (2)log1 64=x.
4

1 1 (3)log5 =-2. 5 (4)( 2)4=4. (5)10-3=0.001. (6)( 2-1) 1= 2+1.




用指数式求对数式中变量的值
求下列各式中x的值:

【例2】

1 (1)x=log279; (2)log1 x=-4;
2

(3)logx8=-3; (4)lnx=-1. 【分析】 把对数式化为指数式,然后求x的值.

【解】
3x

1 1 x (1)∵x=log279,∴27 =9,
-2

2 即3 =3 ,∴x=-3. (2)∵log1
2

?1?- x=-4,∴x=?2? 4=16. ? ?


(3)∵logx8=-3,∴x 3=8, 即x=8
- 1 3

1 =2.

1 (4)∵lnx=-1,∴x=e-1=e.

规律技巧

对数和对数的底数与真数三者之间,已知其中

两个就可利用对数式和指数式的互化求出另外一个.

变式训练2

求下列各式中x的值.

3 (1)logx27= ; 2 2 (2)log2x=- ; 3 (3)lgx=-2; (4)lnx=0.

3 2 3 解 (1)logx27=2?x 2 =27?x=27 3 =9.

3 2 2 1 2 - 3 (2)∵log2x=-3,∴x=2 = 2 = 2 . 23 1 (3)∵lgx=-2,∴x=10 =100.
-2

(4)∵lnx=0,∴x=e0=1.



对数性质的应用
求下列各式中x的值.

【例3】

(1)log2(lgx)=0; (2)ln(log3x)=1; (3)log(
2 +1)

(3+2 2)=x. 利用对数的性质loga1=0,logaa=1,求x的

【分析】 值.

【解】

(1)∵log2(lgx)=0,∴lgx=1,∴x=10.

(2)∵ln(log3x)=1,∴log3x=e,∴x=3e. (3)∵log(
2 +1)

(3+2 2)=x,

∴( 2+1)x=3+2 2=( 2+1)2,∴x=2.

变式训练3 ( ) 1 A.3 B.

(1)已知log7[log3(log2x)]=0,那么x 1 2 3 1 1



1 2

等于

C. 2 2

D. 3 3

(2)31+log34=________.

解析 (1)由已知得log3(log2x)=1?log2x=3? x=2 =8,∴x
3
- 1 2

1 1 = = . 8 2 2

(2) 31+log34=3×3 log34=3×4=12.

答案

(1)C

(2)12

易错探究 【例4】 已知log(x-1)(x2-8x+7)=1,求x. 【错解】 x2-8x+7=x-1,即x2-9x+8=0,

解得x=1,或x=8.

【错因分析】 个条件.

忽略了对数中底数x-1>0,且x-1≠1这

【正解】

?x2-8x+7=x-1, ? 由对数的性质得?x-1>0, ?x-1≠1, ?

解得x=8.

当堂检测 1.下列指数式与对数式互化不正确的一组是( A.e =1与ln1=0 C.log39=2与9 =3
1 2

)

0

B.8

1 - 3

1 1 1 =2与log82=-3

D.log77=1与71=7

解析

由log39=2得32=9,故选C.

答案

C

2.下列函数与y=x有相同图象的一个函数是( A.y= x2 C.y=alogax(a>0且a≠1) x2 B.y= x

)

D.y=logaax(a>0且a≠1)

x2 解析 ∵y= x =|x|,y= x =x(x≠0),y=alogax=x(x>0),
2

y=logaax=x(x∈R),故只有D与y=x的图象相同.

答案

D

3.计算:

=________.

解析

答案

8 -3

4.2log525+3log264-8ln 1=________.

解析

设log525=a,log264=b,ln 1=c.

则5a=25.2b=64,ec=1. 又因为52=25,26=64,e0=1, 所以a=2,b=6,c=0. 所以2log525+3log264-8ln 1=2×2+3×6-8×0=22.

答案

22

5.已知函数f(x)= ________.

?log2x,x>0, ? ??1?x ? ? ,x≤0, ? ??2?

若f(a)=3,则a=

解析

当a>0时,f(a)=log2a=3,解得a=8.
1 2

?1? 当a≤0时,f(a)=?2?a=3,解得a=log ? ?

3.

综上a=8或a=log 3.

1 2

答案 8或log 3

1 2


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