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1.2.2等差数列求和


1.2.2 等差数列求和
问题 1:如何计算: 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? .... ? n ? 高斯的计算 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? .... ? 100 的方法: 将 1 ~ 100 的数分成“两个一组” ,共 50 组,即
1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? .... ? 100 ? ?1 ? 100 ? ? ? 2 ? 9

9 ? ? ... ? ?50 ? 51 ? ? ?1 ? 100 ? ? 50 ? 5050

现在我们也想将 1 ~ n 的数分成“两个一组”那么共

n 2

( n 为偶数),或
n ? n ?n ? 1? 2 n ?1 2

n ?1 2

( n 为奇数)组,即

当 n 为偶数时: 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? .... ? n ? ?1 ? n ? ? 当 n 为奇数时: 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? .... ? n ? ?1 ? n ? ?

2 n ?1 2

?

?

n ?n ? 1?

综上所诉我们可以发现, 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? .... ? n 求和公式 S n ?

2 n ?n ? 1? 2

与我们的项数 n 为奇或偶无关.

问题 2:你还能如何计算 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? .... ? n ? 由高斯的计算方法,我们不难发现他的计算方法属于将第一项与倒数最后一项相加,第二项与倒数第二项相加,… 那么我们是否可以这样设想?
. ?S n ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? . . .? n ? . ? S n ? n ? ?n ? 1? ? ?n ? 2 ? ? ?n ? 3 ? ? . . . ? 1
? 2 S n ? ?1 ? n ? ? ?2 ? ? n ? 1 ?? ? ?3 ? ? n ? 2 ?? ? ... ? ?n ? 1? ? 2 S n ? ?1 ? n ?n
? Sn ?

?1 ? n ?n
2

我们发现利用“倒序相加法” ,可以克服对项数 n 为奇数偶数的讨论. 问题 3:利用上述方法,你可以设想下任意等差数列求和的推导公式吗?
? S n ? a 1 ? a 2 ? a 3 ? a 4 ? ... ? a n ? 2 ? a n ? 1 ? a n ? ? S n ? a n ? a n ? 1 ? a n ? 2 ? a n ? 3 ? ... ? a 3 ? a 2 ? a 1
? 2 S n ? ? a 1 ? a n ? ? ? a 2 ? a n ?1 ? ? ? a 3 ? a n ? 2 ? ? ... ? ? a n ? a 1 ?

由“等差数列中,若 m ? n ? i ? j ,则 a m ? a n ? a i ? a j ”可知:
? 2 S n ? ? a 1 ? a n ? ? ? a 2 ? a n ?1 ? ? ? a 3 ? a n ? 2 ? ? ... ? ? a n ? a 1 ? ? n ? ? a 1 ? a n ?
n ? ?a 1 ? a n ? 2

? Sn ?

探究:思考等差数列求和公式与梯形面积公式的关系. 例题 1:已知等差数列中,(1) a 1 ? 2 , a 50 ? 48 ,求 S 50 的值.(2) a 3 ? a 48 ? 50 ,求 S 50 .(3)已知 a 6 ? 100 ,求 S 11 的 值. (4)若 S 7 ? 35 ,求 a 4 .(5) 若 a 3 ? a 5 ? 6 , a 10 ? a 12 ? 24 ,求 S 14 .

例题 2:等差数列{ a n }中, a 4 ? 14 ,前 10 项和 S 10 ? 185 ,求 a n .

例题 3:现有 200 根相同的钢管,把它们堆放成正三角形垛,那么剩余钢管的根数最少为( C . 19 A .9 B . 10 D . 29 例题 4:已知等差数列 ?a n ? 中, a 1 ? 2 , d ? 3 ,求 ?a n ? 的前 10 项和 S 10 .(2)求前 n 项和 S n .

)

探究:若已知首项 a 1 与公差 d 如何快速求 ?a n ? 的前 n 项和 S n ?
Sn ? n ? ?a 1 ? a n ? 2 ? n ? ?a 1 ? a 1 ? ? n ? 1 ?d ? 2 ? 2 na 1 ? n ? n ? 1 ?d 2 ? na 1 ? 1 2 n ? ? n ? 1 ?d

故等差数列求和公式有两组:
Sn ? n ? ?a 1 ? a n ? 2 1

……………………….(1)

S n ? na 1 ?

n ? ? n ? 1 ?d …………………(2)

2

对(1)进行讨论: S 2 n ? 1 ? 对(2)进行讨论:S n ?
d

? 2 n ? 1 ?? a 1
2

? a 2 n ?1 ?

?

2 ? ? 2 n ? 1 ?a n 2

? ? 2 n ? 1 ?a n ,我们不难发现中间项与前 n 项和的关系.

d ? ? 2 n ? ? a1 ? ? n , 我们不难发现等差数列前 n 项和 S n 公式为 “二次函数且不含常数项的式子.” 2 2? ?

? 例题 5:有两个等差数列 ?a n ?、b n ? 满足
例题 6:对等差数列求和最值问题

a 1 ? a 2 ? a 3 ? a 4 ? .... ? a n b 1 ? b 2 ? b 3 ? b 4 ? .... ? b n

?

7n ? 2 n?3

,求

a5 b5

.

[1]已知等差数列 ?a n ? 的前 n 项和 S n ? n ? 16 n ,则当 n ?
2

时, ? S n ? min ? 时, S n 取得最 时, S n 取得最 时, S n 取得最 时, S n 取得最

。 (大、小)值。 (大、小)值。

[2]已知等差数列 ?a n ? 的前 n 项和 S n ? ? n ? 17 n ,则当 n ?
2

[3]已知等差数列 ?a n ? 的前 n 项和 S n ? ? 3 n ? 64 n ,则当 n ?
2

[4]已知数列 ?a n ? 通项公式为 a n ? 2 n ? 9 ,则当 n ? [5]已知数列 ?a n ? 通项公式为 a n ? 10 ? 2 n ,则当 n ?

(大、小)值。 (大、小)值。 时, S n 有最大值。 时, S n 有最小值。 (大、小)值; (大、小)值;

[6]已知等差数列 ?a n ? 的前 n 项和 S n 满足: S 9 ? 0、 S 11 ? 0 ,则当 n ? [7]已知等差数列 ?a n ? 的前 n 项和 S n 满足: S 23 ? 0、 S 24 ? 0 ,则当 n ? [8]已知等差数列 { a n } 中,已知 a 1 ? 25 且 S 9 ? S 17 ,则当 n ? [9]已知等差数列 { a n } 中,已知 a 1 ? 0 且 S 8 ? S 17 ,则当 n ? 例题 7:已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n ? ?
3 2 n ?
2

时, S n 取得最 时, S n 取得最

205 2

n ,求数列 ? a n

? 的前 n 项和 T

n

.

例题 8:甲、乙两物体分别从相距 70 m 的两处相向运动,甲第一分钟走 2 m ,以后每分钟比前 1 分钟多走 1 m ,乙每分 钟走 5 m .(1)甲、 乙开始运动后, 几分钟相遇?(2)如果甲、 乙到达对方起点后立即折返, 甲继续每分钟比前 1 分钟多走1 m , 乙继续每分钟走 5 m ,那么开始运动几分钟后第二次相遇?

例题 9:讨论 S n 、 S 2 n ? S n 、 S 3 n ? S 2 n 三者的关系.

练习: 1、已知数列 { a n } 是等差数列, a 1 ? a 2 ? 4 , a 7 ? a 8 ? 28 ,则该数列前 10 项和 S 10 ? (
A . 64 B . 100
C . 10

)

D . 120
*

2、已知数列 { a n } 满足 a 1 ? 2 , a n ? 1 ? a n ? 1 ( n ? N ),则数列 ?a n ? 的前 n 项和 S n 等于(
A.

)

n 2

?n

2

?1

?

B .

n 2

?n ? 1?

C .

n 2

?1 ? n ?

D.

n 2

?5 ? n ?

3、首项为 0 的等差数列 { a n } 的前 n 项和 S n ,则 S n 与 a n 的关系为(
A .Sn ?

)
D . Sn ? n an
2

n 2

an

B . S n ? na n

C .Sn ? an

4、已知等差数列 { a n } 中, a 2 ? 6 , a 5 ? 15 ,若 b n ? a 2 n ,则数列的前 5 项和等于(
A . 30 A .8 A . 18 A .4 或 5 B . 45 B .7 B . 36 B .5 或 6

)

C . 90
C .6 C . 72
2

D . 186

5、设 S n 是等差数列 { a n } 的前 n 项和,若 S 7 ? 35 ,则 a 4 ? (
D. 5

) ) )

6、已知 S n 是等差数列 { a n } 的前 n 项和,若 a 2 ? a 5 ? a 8 ? 12 ,则 S 9 ? (
D .无法确定 D .不存在

7、已知等差数列 { a n } 的前 n 项和 S n ? ? n ? 13 n ,使得 S n 取得最大值得正数 n 是(
C .6 或 7

8、等差数列 { a n } 中 a 1 ? 16 ,前 n 项和为 S n ,若
A . 3 n ? 13 B . ? 3 n ? 19

S 10 S5

?

1 2

,则 a n ? (
D.

)
3 2 n? 29 2

C .?
*

3 2

n?

35 2

9、设函数 f ? n ? 1 ? ?

2 f ?n ? ? n 2

( n ? N ),且 f ?1 ? ? 2 ,则 f ? 20 ? ? (

)

A . 95 B . 97 D . 192 C . 105 10、一个等差数列的前 n 项和为 25 ,前 2 n 项和为 100 ,则它的前 3 n 项之和为( ) C . 200 A . 275 B . 255 D . 125 11、 等差数列 { a n } 中 a 1 ? ? 5 , 它的前 11 项的平均值为 5 , 若从中抽去一项, 余下的 10 项的平均值为 4 , 则抽去的是( A . a8 B . a6
C . a 10

)

D . a 11

12、已知等差数列 { a n } 的通项 a n ? 2 n ? 1 ,则由 b n ?
A . n ?n ? 2 ? B .
1 2 n ?n ? 4 ?
C .

a 1 ? a 2 ? ... ? a n n

所确定的数列 ?b n ? 的前 n 项之和是(
1 2 n ?n ? 7 ?

)

1 2

n ?n ? 5 ?

D.

13、设等差数列 ?a n ? 满足 3 a 8 ? 5 a 13 ,且 a 1 ? 0 ,则前 n 项和为 S n 中最大的是(
A . S 20 B . S 21
C . S 10

)

D . S 11

14、已知等差数列 ?a n ? 的前 n 项和 S n 满足 S 8 ? 20 ,且首项与公差互为相反数,则 a 1 ? 15、已知 ?a n ? 是等差数列,且 a 2 ? 1, a 5 ? ? 5 . (1)求 ?a n ? 的通项 a n ;(2)求 ?a n ? 的前 n 项和 S n 的最大值. 16、已知数列 ?a n ? 的前 n 项和 S n ? 32 n ? n ,求数列 ? a n ? 的前 n 项和 T n .
2

.

17、在数列 ?a n ? 中, a 1 ? 1 , a n ? 1 ? 2 a n ? 2 .
n

(1)设 b n ?

an 2
n ?1

,证明:数列 ?b n ? 是等差数列;(2)求数列 ?b n ? 的前 n 项和 T n .
1

18、 f ? x ? ? 设 的值.

2 ?
x

, 利用课本中推导等差数列前 n 项和公式的方法, f ? ? 5 ? ? f ? ? 4 ? ? ... ? f ?0 ? ? ... f ?5 ? ? f ?6 ? 求
2

引深探究: 1、 求下面数表中第 24 行的第 12 个数.
1 2

3 6

4 7 8 9

5

…. 2、 下表给出一个“等差矩阵” :
4

7

?

?

?

?

?

?

... ... ... ... ... ...
a1 j

... ... ... ... ... ...
a2 j
a3 j

7

12

?
? ?

?
?

?
?

?
?

?
?

?
?

?

?

?

?
...
a i1 ...

?

?
...
a i2 ...

?

?
...
a i3 ...

?

?
...
a i4 ...

?

?
...
a i5 ...

?

a4 j ...
a ij ...

...

...

其中每行、梅列都是等差数列 a ij 表示位于第 i 行第 j 列的数. (1)写出 a 45 的值;(2)写出 a ij 的计算公式;(3)写出 2008 这个数在等差数列阵中所在的一个位置.


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