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(全国通用)2016高考数学二轮复习 解答题的解题模板5 空间中的平行、垂直与空间角的问题课件 理


模板5 空间中的平行、垂直与空间角的问题
【例 5 】 ( 满分 12 分 )(2015· 衡水中学期末 ) 如图,四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形,O 为底面中心, A1O⊥平面 ABCD,AB=AA1= 2. (1)证明:A1C⊥平面 BB1D1D; (2)求平面 OCB1 与平面 BB1D1D 所夹锐角 θ 的大小.

[规范解答]

(1)∵A1O⊥平面 ABCD,BD?平面 ABCD,

∴A1O⊥BD.又底面 ABCD 是正方形,∴BD⊥AC, 又 A1O∩AC=O,∴BD⊥平面 A1OC, 又 A1C?平面 A1OC,∴BD⊥A1C.2 分 又 OA1 是 AC 的中垂线,∴A1A=A1C= 2,
2 且 AC=2,∴AC2=AA2 + A C , 1 1

∴△AA1C 是直角三角形,∴AA1⊥A1C.

4分

又 BB1∥AA1,∴A1C⊥BB1,又 BB1∩BD=B, ∴A1C⊥平面 BB1D1D. 6分

(2)由题设易知 OA,OB,OA1 两两垂直, 以 O 为原点建立空间直角坐标系.如图. ∵AB=AA1= 2,∴OA=OB=OA1=1, ∴A(1,0,0),B(0,1,0),C(-1,0,0), D(0,-1,0),A1(0,0,1). → → 由A1B1=AB,易得 B1(-1,1,1). 设平面 OCB1 的法向量 n=(x,y,z). → =(-1,0,0),OB → =(-1,1,1), ∵OC 1 8分

→ ? ? ?n· OC=-x=0, ?x=0, ∴? ∴? ? → ?y=-z, ? n · OB =- x + y + z = 0 , ? 1 取 n=(0,1,-1), 10 分

→ 由(1)知, A1C=(-1, 0, -1)是平面 BB1D1D 的法向量, → ∴cos θ=|cos〈n,A 1C〉|= π π 又∵0≤θ≤2,∴θ =3. 1 1 = . 2× 2 2 12 分

[解题模板]

第一步

根据条件合理转化,写出垂直(或平

行)所需的条件;

第二步 严格按照定理条件书写解题步骤;
第三步 找出 ( 或作出 ) 具有公共交点的三条两两垂直的直

线,建立空间直角坐标系; 第四步 求直线的方向向量或平面的法向量; 第五步 计算向量的夹角; 第六步 得到所求两个平面所成的角.

【训练 5】 (2015· 江苏卷)如图,在四棱锥 P-ABCD 中, 已知 PA⊥平面 ABCD,且四边形 ABCD 为直角梯形, π ∠ABC=∠BAD= ,PA=AD=2,AB=BC=1. 2 (1)求平面 PAB 与平面 PCD 所成二面角的余弦值; (2)点 Q 是线段 BP 上的动点,当直线 CQ 与 DP 所成 的角最小时,求线段 BQ 的长.

→ ,AD → ,AP → }为正交基底建立如图 解 以{AB 所示的空间直角坐标系 A-xyz,则各点的坐 标为 B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0), P(0,0,2).
→ → (1)因为 AD⊥平面 PAB, 所以AD是平面 PAB 的一个法向量, AD → =(1,1,-2),PD → =(0,2,-2). =(0,2,0).因为PC 设平面 PCD 的法向量为 m=(x,y,z),
? ?x+y-2z=0, → → 则 m· PC=0,m· PD=0,即? ? ?2y-2z=0.

令 y=1,解得 z=1,x=1.

所以m=(1,1,1)是平面PCD的一个法向量.

→· AD m 3 → 从而 cos〈AD,m〉= =3, → |AD||m| 3 所以平面 PAB 与平面 PCD 所成二面角的余弦值为 3 . → =(-1, → =λBP → =(-λ, (2)因为BP 0, 2), 设BQ 0, 2λ)(0≤λ≤1),

→ =(0,-1,0),则CQ → =CB → +BQ → =(-λ,-1,2λ), 又CB → → 1+2λ CQ · DP → → → 又DP=(0, -2, 2), 从而 cos 〈CQ, DP〉 = = . 2 → → 10 λ + 2 |CQ||DP| 设 1+2λ=t,t∈[1,3],
2 2 t 2 9 → ,DP → 〉= 则 cos2〈CQ = ≤ . 2 ? ? 2 1 5 10 20 5t -10t+9 9? t -9? + 9 ? ?

9 2 3 10 → → 当且仅当 t=5, 即 λ=5时, |cos 〈CQ, DP〉 |的最大值为 10 .

因为 y=cos x

? π? 在?0,2?上是减函数, ? ?

此时直线 CQ 与 DP 所成角取得最小值. 又因为 BP= 12+22= 5, 2 2 5 所以 BQ=5BP= 5 .


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